Относительные показатели

Вывод: данная величина коэффициента ранговой корреляции говорит о том, что связь между среднегодовой стоимостью основных фондов и объемом товарной продукции – прямая, тесная, т.к. чем ближе по абсолютной величине коэффициент корреляции рангов к 1, тем теснее связь.

 

Задание  7: «Корреляционно-регрессионный анализ»

Определить  тесноту парной связи и форму связи с использованием корреляционно-регрессионного анализа между признаками среднегодовая стоимость основных фондов и объем товарной продукции

7.1. В качестве  исходной информации  использовать индивидуальные значения  признаков по предприятиям

 

ЛИНЕЙНАЯ  ЗАВИСИМОСТЬ

Данный вид зависимости  описывается уравнением:

y = a₀ + a₁ * x

Для определения параметров а₀ и а₁ на основе требований метода наименьших квадратов составляется система нормальных уравнений:

 

,

,

 

где - индивидуальное значение соответственно факторного и результативного признаков;

- параметры уравнения регрессии.

Из решения системы  уравнений получаются следующие  параметры уравнения регрессии.

                               

     ;

                                 

;

 

Для нахождения параметров уравнения составим вспомогательную  таблицу (таблица 8).

 

 

 

 

 

 

Таблица 8

Номер предприятия	среднегодовая стоимость  основных фондов, млн. руб.	Объем товарной продукции, млн. руб.	Xi2	Xi*Yi	Yi2
1	180,1	163,8	32436	29500,38	26830,44
2	294,5	236,5	86730	69649,25	55932,25
3	420,8	843,3	177073	354860,64	711154,89
4	469,7	1005,9	220618	472471,23	1011834,81
5	426,9	696,3	182244	297250,47	484833,69
6	552,4	1031,3	305146	569690,12	1063579,69
7	664,6	1361,2	441693	904653,52	1852865,44
8	784,2	1712,9	614970	1343256,18	2934026,41
9	341,8	538,9	116827	184196,02	290413,21
10	438	350,4	191844	153475,20	122780,16
11	825,4	2149,9	681285	1774527,46	4622070,01
12	179,8	352,8	32328	63433,44	124467,84
13	551,5	1187,1	304152	654685,65	1409206,41
14	323,4	262,4	104588	84860,16	68853,76
15	354,2	438,8	125458	155422,96	192545,44
16	551,9	1150,5	304594	634960,95	1323650,25
17	228,3	249,4	52121	56938,02	62200,36
18	367,4	655,3	134983	240757,22	429418,09
19	930,3	2549,5	865458	2371799,85	6499950,25
20	179,6	536,8	32256	96409,28	288154,24
21	404,8	311,2	163863	125973,76	96845,44
22	473,3	809,7	224013	383231,01	655614,09
23	180,4	166,7	32544	30072,68	27788,89
24	828,3	2185,1	686081	1809918,33	4774662,01
25	862,8	2066,2	744424	1782717,36	4269182,44
Итого	11814,4	23011,9	6857727	14644711,14	33398860,51

 

а₀= -477,327

а₁= 2,9578

y= -477,327+2,9578*x

Теснота связи при  линейной зависимости измеряется с  помощью линейного коэффициента корреляции, который определяется по формуле:

                            

 

Величина линейного  коэффициента корреляции 0,9554 говорит о наличии тесной прямой связи между среднегодовой стоимостью основных фондов и объемом товарной продукции.

Так же наличие этой связи можно  рассмотреть на графике:

При подборе адекватной математической функции важное значение имеет остаточная дисперсия результативного  признака.

, где

 

- соответственно эмпирическое (фактическое)  и выровненные значения результативного признака.

Чем меньше остаточная дисперсия, тем  лучше подбор линии регрессии, т.к  эта линия должна проходить в  максимальной близости от эмпирических данных. Таким образом, сравнив остаточную дисперсию двух видов зависимостей, мы сможем сделать вывод о том, какая из них подходит больше.

Рассчитаем остаточные дисперсии  результативного признака для степенной зависимости.

 

                     Расчетная таблица для определения дисперсии результативного признака   Таблица 9

Номер предприятия	фондоотдача	y(x)	(y-y(x))2
1	0,90949473	55,38	11755,01
2	0,80305603	393,76	24729,48
3	2,00403992	767,33	5771,29
4	2,14157973	911,97	8822,98
5	1,63106114	785,37	7934,14
6	1,86694424	1156,58	15695,69
7	2,04814926	1488,45	16193,03
8	2,18426422	1842,21	16720,87
9	1,57665301	533,66	27,44
10	0,8	818,21	218842,27
11	2,60467652	1964,07	34532,00
12	1,9621802	54,49	88987,59
13	2,1524932	1153,92	1100,89
14	0,8113791	479,24	47018,55
15	1,23884811	570,34	17302,51
16	2,08461678	1155,10	21,19
17	1,09242225	197,95	2647,39
18	1,78361459	609,38	2108,42
19	2,74051381	2274,35	75707,91
20	2,98886414	53,90	233191,88
21	0,7687747	720,01	167122,01
22	1,71075428	922,62	12750,36
23	0,92405765	56,27	12195,49
24	2,63805385	1972,65	45135,07
25	2,39476124	2074,70	72,17
Итого	43,8612527		1066385,63

 

 

СТЕПЕННАЯ ЗАВИСИМОСТЬ 

Данный вид зависимости  описывается уравнением           

Для определения параметров производится логарифмирование степенной функции:

lg y = lg a₀ + a₁*lg x

Для определения параметров логарифмической  функции строится система нормальных уравнений по способу наименьших квадратов:

Для нахождения параметров уравнения составим вспомогательную  таблицу.

Таблица 10

Расчетная таблица для  определения параметров степенной  функции

Номер предприятия	среднегодовая стоимость основных фондов, млн. руб.	Объем товарной продукции, млн. руб.	lg xi	(lg xi)2	lg yi	lg yi*lg xi
	xi	yi
1	180,1	163,8	2,25551	5,08734	2,214	4,994
2	294,5	236,5	2,46909	6,09638	2,374	5,861
3	420,8	843,3	2,62408	6,88577	2,926	7,678
4	469,7	1005,9	2,67182	7,13863	3,003	8,022
5	426,9	696,3	2,63033	6,91862	2,843	7,477
6	552,4	1031,3	2,74225	7,51996	3,013	8,263
7	664,6	1361,2	2,82256	7,96685	3,134	8,846
8	784,2	1712,9	2,89443	8,37771	3,234	9,360
9	341,8	538,9	2,53377	6,42000	2,732	6,921
10	438	350,4	2,64147	6,97739	2,545	6,721
11	825,4	2149,9	2,91666	8,50693	3,332	9,720
12	179,8	352,8	2,25479	5,08408	2,548	5,744
13	551,5	1187,1	2,74155	7,51607	3,074	8,429
14	323,4	262,4	2,50974	6,29879	2,419	6,071
15	354,2	438,8	2,54925	6,49867	2,642	6,736
16	551,9	1150,5	2,74186	7,51780	3,061	8,393
17	228,3	249,4	2,35851	5,56255	2,397	5,653
18	367,4	655,3	2,56514	6,57994	2,816	7,225
19	930,3	2549,5	2,96862	8,81272	3,406	10,112
20	179,6	536,8	2,25431	5,08190	2,730	6,154
21	404,8	311,2	2,60724	6,79770	2,493	6,500
22	473,3	809,7	2,67514	7,15636	2,908	7,780
23	180,4	166,7	2,25624	5,09060	2,222	5,013
24	828,3	2185,1	2,91819	8,51582	3,339	9,745
25	862,8	2066,2	2,93591	8,61957	3,315	9,733
Итого	11814,4	23011,9	65,53844	173,02813	70,721	187,152

lg a₀ = -0,955      a₀=0,111           a₁ = 1,442

lg y = -0,955+ 1,442*lg x               y = 0,111*x^1,442

При парных нелинейных зависимостях для определения тесноты связи между результативным и факторным признаками и оценки степени влияния факторного признака на результативный используются индексы корреляции и детерминации.

1. Индекс корреляции:

,

Где - факторная дисперсия результативного признака y;

- общая дисперсия результативного  признака.

Величина индекса корреляции находится в пределах от -1 до +1. Чем  ближе по абсолютной величине индекс корреляции к 1, тем теснее связь.

Факторная дисперсия  рассчитывается следующим образом:

,

Где - теоретическое значение результативного признака (значение линии регрессии) при значении факторного признака x_i;

- среднее значение результативного признака.

Общая дисперсия результативного  признака:

,

Где y_i – эмпирическое значение результативного признака.

2. Индекс детерминации:

Показывает долю факторной дисперсии в общей дисперсии, т.е. характеризует, какая часть общей вариации результативного признака y объясняется изучаемым фактором x.

 

Таблица 11

номер предприятия	среднегодовая стоимость основных фондов, млн. руб.	Объем товарной продукции, млн. руб.	yxi	(yxi-y-)2	(yi-y-)2	(yi-yxi)2
1	180,1	163,8	198,51	521240,61	572558,57	1204,5
2	294,5	236,5	403,41	267359,82	467823,17	27858,1
3	420,8	843,3	674,90	60307,00	5956,13	28358,2
4	469,7	1005,9	790,84	16805,68	7297,26	46251,1
5	426,9	696,3	689,05	53556,12	50254,88	52,5
6	552,4	1031,3	999,20	6197,59	12281,96	1030,4
7	664,6	1361,2	1304,53	147499,58	194237,64	3211,2
8	784,2	1712,9	1656,10	541142,23	627935,80	3226,3
9	341,8	538,9	500,06	176749,45	145600,24	1508,5
10	438	350,4	715,04	42205,09	324986,65	132960,3
11	825,4	2149,9	1783,01	743960,35	1511483,37	134610,2
12	179,8	352,8	198,03	521929,07	322256,04	23953,9
13	551,5	1187,1	996,85	5833,62	71088,36	36193,5
14	323,4	262,4	461,71	210467,41	433064,02	39724,0
15	354,2	438,8	526,43	155273,43	232011,77	7678,8
16	551,9	1150,5	997,90	5993,99	52911,04	23287,7
17	228,3	249,4	279,44	410927,21	450343,00	902,4
18	367,4	655,3	554,95	133609,46	70318,31	10070,2
19	930,3	2549,5	2118,74	1435833,21	2653719,19	185555,4
20	179,6	536,8	197,71	522388,01	147207,27	114980,8
21	404,8	311,2	638,21	79673,94	371217,24	106935,7
22	473,3	809,7	799,59	14612,33	12271,32	102,1
23	180,4	166,7	198,98	520552,09	568178,26	1042,2
24	828,3	2185,1	1792,05	759637,38	1599273,86	154490,0
25	862,8	2066,2	1900,66	960768,92	1312683,48	27402,1
итого	11814,4	23011,9	21375,90	8314523,60	12216958,9	1112590

   

            

Вывод: Данный полученный индекс корреляции свидетельствует о том, что связь тесная между среднегодовой стоимостью основных фондов и объемом товарной продукции.

 

Рассчитаем остаточную дисперсию результативного признака:

Сравним остаточную дисперсию  результативного признака у линейной и степенной зависимостей. У линейной зависимости =42655,43, а у степенной - = 44503,6. Чем меньше остаточная дисперсия, тем лучше подбор линии регрессии. Таким образом, надо выбрать линейный вид зависимости. Эта линия должна проходить в максимальной близости от эмпирических данных.

Так же это можно рассмотреть  на графике, где изображены исследуемые  виды зависимостей.

 

7.2. В качестве  исходной информации использовать  сгруппированные данные, представить в виде корреляционной таблицы, исследовать линейный вид зависимости. Сравнить результаты расчетов, полученные в п. 7.1. и в п. 7.2

Модель регрессии может  быть построена по сгруппированным  данным (таблица 12). Для выявления  связи между признаками по достаточно большому количеству наблюдений используется корреляционная таблица. В корреляционной таблице можно отобразить только парную связь, т.е. связь результативного признака только с одним фактором, и на её основе построить уравнение регрессии и определить показатель тесноты связи.

Для составления корреляционной таблицы парной связи статистические данные необходимо сгруппировать по обоим признакам, затем построить  таблицу, по строкам отложить группы результативного, а по столбцам –  группы факторного признака.

Таблица 12

Объем товарной продукции, млн. руб.	x        y	ССОФ, млн. руб.			fy	yfy	xyfy
		179,6-429,8	429,8-680,1	680,1-930,3
		304,72	554,95	805,18
163,8-959	561,4	13	2	-	15	8421	2565878,7
959-1754,2	1356,6	-	5	1	6	8140	4517071,02
1754,2-2549,5	2151,8	-	-	4	4	8607	6930517,44
fx		13	7	5	25
xfx		3961	3885	4026
x2fx		1206947,17	2155786,52	3241735,20