Экономико-статистический анализ трудовых ресурсов на предприятии

8.2. Исследование  основной тенденции динамики  производительности труда  работников  на предприятии методом аналитического  выравнивания с осуществлением прогноза.

Суть метода заключается в следующем: для  описания основной тенденции используют аналитическое выравнивание некоторой математической функции, отражающей зависимость уровней показателя от времени. В качестве простейших моделей основной тенденции развития могут быть выбраны следующие математические функции:

• линейная функция — прямая , где a, b — параметры уравнения;
• показательная функция -
• степенная функция - кривая второго порядка (парабола)

Выравнивание  по прямой используется, как правило, в тех случаях, когда абсолютные приросты практически постоянны, т. е. когда уровни изменяются в арифметической прогрессии (или близко к ней).

В этом случае влияние равноускоренных (равнозамедленных) и разнонаправленных факторов взаимно усредняется, частично взаимно погашается, а равнодействующее их влияние приобретает характер, близкий к равномерной тенденции.

Прямолинейный тренд выглядит следующим образом:

,

где  - выровненное, т.е. лишенное колебаний значение уровней тренда для периода с номером t.

- свободный член уравнения,  численно равный среднему выровненному  уровню, для момента времени, равного  0 (t=0). - средняя величина изменения уровней ряда за единицу изменения времени. - номера периодов времени, к которым относятся уровни временного ряда.

Нахождение  параметров ведется по методу наименьших квадратов, в соответствии с которым  получают систему нормальных уравнений:

,

где   - фактические (эмпирические) уровни ряда;

- хронологические показатели  времени (порядковый номер периода  или момента времени).

Для решения  системы можно использовать любой известный метод, но предварительно  необходимо  решить  проблему  замены  показателей времени,   что   позволит   значительно      упростить   расчет   параметров.

Хронологические показатели   заменяются    числовыми аналогами таким образом, чтобы сумма новых показателей времени по ряду :

• при нечетном числе уровней (например, - 7) за начало отсчета времени (t=0) принимается центральный интервал (момент), т.е. 0 попадает на период с номером ;

• при четном числе уровней (например, - 6) 0 попадает на середину между периодом и .

При такой нумерации периодов сумма t будет равна 0.

Применение  условных   показателей   времени   позволяет   привести систему нормальных уравнений к виду:

.

Из первого  уравнения: .

Из второго  уравнения: .

Параметр b в трендовом уравнении называется коэффициентом регрессии. Он определяет направление развития явления: при b>0 - уровни ряда динамики равномерно возрастают, при b <0 - равномерно снижаются. Коэффициент регрессии показывает, насколько в среднем изменится уровень ряда при изменении времени на единицу. Это означает, что параметр b можно рассматривать как средний абсолютный прирост с учетом тенденции к равномерному росту (росту в арифметической прогрессии).

Парабола второго  порядка используется для описания рядов динамики, в которых меняется направление развития: со снижения показателей на их рост и наоборот.

Трендовое уравнение имеет вид:

Параметр      с      называется      коэффициентом     регрессии      и характеризует изменение интенсивности развития в единицу времени. При с>0 наблюдается ускоренное развитие, при с<0 - замедленное.

Система уравнений, полученная по методу наименьших квадратов, имеет вид:

Так как  , то система упрощается:

.

Отсюда:

.

 

Прогнозирование – оценка будущего на основе глубокого анализа тенденции развития общественного явления и их взаимосвязи.

На основе уравнения  тренда дается точечная оценка прогноза, но более точные результаты можно  получить, предполагая оценку прогноза в интервале.

Для расчета  доверительного интервала рассчитывают показатель колеблемости уровней динамического ряда около тренда:

,

где  - дисперсия случайная на одну степень свободы;

- количество уровней ряда;

- количество параметров уравнения.

Тогда доверительный  интервал прогноза будет равен:

,

где t – табличное значение критерия Стьюдента при определенном уровне значимости и определенном числе степеней свобод.

Проведем исследование динамики производительности труда работников столярного цеха МУП «Жилищник» с осуществлением прогноза.

 Таблица  11 – Выравнивание по прямой и по параболе динамики производительности труда работников столярного цеха МУП «Жилищник» (приложение 3)

Фактическая динамика производительности труда представлена на рис. 2.

Рис.2. – Фактические уровни показателя динамики производительности труда  работников 2008 год

Выравнивание  по прямой и по параболе производительности труда работников столярного цеха за 2008 год (приложение 3)

Выравнивание  по линейной модели производится следующим образом :

тыс. руб

 м³

Трендовое уравнение  имеет вид:

Подставляя  в данное уравнение последовательно значения, равные-6, -5, -4,  -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, 6 находим выровненные уровни .

Динамика производительности труда за период с января 2008 года по декабрь 2008 года может быть описана линейным трендом , показывающим, что за анализируемый период уровень производительности труда ежемесячно в среднем составлял 76 тысяч рублей. Несмотря на значительные колебания в значениях, наблюдается тенденция снижения.

Для вариации уровня ряда динамики вычислим общую, направленную и случайную дисперсии. 

Dобщ.= ∑(y_i- )²/n= 6639,5685/12=553, 3

Dнапр.=∑( _t-- )²/n=89,18/12=7,43

Dслуч.=∑( _i- _t)²/n=6539,7905/12=544,98

Проверка значений дисперсий:

Dобщ.=Dнапр.+Dслуч.=7,43+544,98=552,41.

Для проверки близости найденного уровня тренда фактической  динамики показателя вычисляют величину достоверности аппроксимации.

R²= . Характеризует на сколько процентов общая вариация или динамика уровней показателя обусловлена направленными факторами, то есть основной тенденцией, описанной моделью тренда.

На 1,3% производительность труда работников объясняется направленными  по линейному тренду факторами.

Изобразим динамику уровня показателя, выравненного по линейному тренду (рис.3)

Рис.3. – Уровни показателя производительности труда работников, выравненного по линейному тренду, 2008 года

 

Найдем уравнение  параболического тренда.

Выравнивание  производится по параболе:

Найдем параметры a и c :

. Найденное значение с  подставляем в выражение, чтобы  найти а.

Таким образом, уравнение параболического тренда выглядит так:

.

Динамика производительности труда за 2008 год может быть описана уравнением параболического тренда

, показывающим что за анализируемый период уровень производительности в среднем ежемесячно составлял 83,6 тыс.рублей, при этом наблюдалось ежемесячное снижение в среднем на 0,7 тыс. рублей.

Проанализируем  вариацию уровня производительности относительного данного тренда:

Dобщ.= ∑(y_i- )²/n= 6639,5685/12=553, 3

Dнапр.=∑( _t-- )²/n=536,6/12=44,7

Dслуч.=∑( _i- _t)²/n=6133,7685/12=511,15

Проверка значений дисперсий:

Dобщ.=Dнапр.+Dслуч.=44,7+511,15=555,85

R²=

На 8% вариация и  динамика производительности объясняется  направленными по найденной модели параболического тренда факторами  и на 92% объясняется случайными факторами. Поскольку для уравнения параболы значение R² , больше, чем для уравнения прямой, можно сделать вывод, что параболический тренд наилучшим образом описывает фактическую динамику производительности (рис.4).

Рис. 4. – Уровни показателя производительности труда работников столярного цеха, выравненного по параболе, 2008 год

.

Осуществим  точечный и интервальный прогноз  положения тренда.

Определим коэффициент  колеблемости уровней ряда динамики относительно тренда.

, где S(t) – остаточное среднеквадратическое отклонение уровней ряда динамики от тренда.

, 

n-m – число степеней свободы для вариации относительно тренда, где n – число уровней в ряду динамики, m – число параметров в уравнении тренда.

Так как V(t) 10%, можно сделать вывод о том, что динамика производительности труда работников весьма неустойчива, и возможен краткосрочный прогноз.

Точечный прогноз  положения тренда.

_янв.2009

t=7

Найдем границы  интервала: где t_α – коэффициент доверия, определяемый по таблице распределения Стьюдента. Значение этого коэффициента определяют для числа степеней свободы =n-m и α – уровень значимости прогноза; t_α =1,833 (по таблице распределения Стьюдента), α берем равной 0,10, так как анализ проводится по слишком малому числу данных (берется только один год, разбитый  по месяцам).

 

Определим интервал прогноза на январь 2009 года по следующей формуле: _янв.2009

54,2-47,8≤ _янв.2009≤54,2+47,8

6,4≤ _янв.2009≤102

С вероятностью 0,9 можно утверждать, что в январе 2009 года тренд, описывающий динамику производительности труда, пройдет в пределах от 6,4 тыс. рублей до 102 тыс. рублей.

Интервальный  прогноз уровня ряда динамики. Для расчета границ прогнозных интервалов уровней ряда вносится поправочный коэффициент Q_L в значение предельной ошибки прогноза t).

 

54,2-47,31≤ _янв.2009≤54,2+47,31

6,89≤ _янв.2009≤101,51

 

Таблица 12 – Интервальный прогноз уровней производительности труда на январь 2009 года.

Месяц	tL	QL	L(t)	Интервал прогноза
				Нижняя граница	Верхняя граница
Январь 2009	7	0,995	47,6	6,89	101,51

 

С вероятностью 0,90 можно утверждать, что уровень  производительности труда работников в январе  2009 году составит от 6,89 тыс. рублей до 101,51 тыс. рублей. 

9. Однофакторный  корреляционно-регрессионный анализ  производительности труда работников  на предприятии и основных экономических показателей условий производства.

Корреляционная  связь — это зависимость, при которой с изменением значения признака х закономерным образом изменяется среднее значение признака у.

Наличие множества причин, степень влияния  которых на результативный признак меняется в зависимости от конкретного их сочетания, является отличительной особенностью корреляционных связей.

Корреляционно-регрессионный  анализ состоит из изучения количественной оценки наличия и направления  связи, а также характеристики силы и формы влияния одних факторов на другие.

Задачей корреляционного анализа является определение тесноты связи между  варьирующими признаками и оценка факторов, имеющих наибольшее влияние на результат.

Этапы корреляционно-регрессионного анализа:

1. Математико-экономическое моделирование (построение корреляционного уравнения)

2. Решение принятой модели путем нахождения параметров уравнения.
3. Оценка и анализ полученных результатов.

 

Изобразим на рис.5 поле корреляции зависимости производительности труда от обеспеченности материалом.

Рис. 5. Поле корреляции зависимости производительности от обеспеченности материалом

Анализ рис.5 позволяет предположить наличие зависимости между изучаемыми признаками. Проверим выполнимость условия однородности и нормальности распределения совокупности месяцев по значениям факторного признака Х.

 

Так как V 33%, можно сделать вывод, что совокупность месяцев по признаку производительности труда неоднородная.

Условие невыполнимо, а значит из совокупности наблюдений нужно исключить аномальные значения. Аномальными значениями предположительно являются х=3,1; х=1,3; х=3,8. Исключим их из совокупности и проверим оставшуюся совокупность на однородность.

 

Так как V 33%, можно сделать вывод, что совокупность месяцев по признаку производительности труда однородная. Условие применения метода  КРА выполняется. Проверим совокупность на нормальность распределения по значениям признака х.

 

 

 

Сопоставляя значения признака х с найденными границами интервала, видно, что все они лежат в пределах этого интервала, то есть условие нормальности распределения выполняется. Для нахождения уравнения связи между признаками построим расчетную таблицу.

 

 

Таблица 13 – Однофакторный регрессионный анализ зависимости производительности труда работников столярного цеха МУП «Жилищник» от обеспеченности материалом в 2008 году

№ месяца	Обеспеченность материалом, м3, x	Производительность труда, тыс. руб, у	Расчетные данные
2	9,7	100,5	94,09	974,85	101,34	0,7056	10100,3
3	6,5	86,46	42,25	561,99	71,9	211,9936	7475,33
4	5,5	57,73	30,25	317,515	62,7	24,7009	3332,75
5	7	66,05	49	462,35	76,5	109,2025	4362,6
8	7,6	104,02	57,76	790,552	82,02	484	10820,2
9	10,4	96,81	108,16	1006,824	107,78	120,3409	9372,18
10	6,4	76,12	40,96	487,168	70,98	26,4196	5794,25
11	5,3	53,84	28,09	285,352	60,86	49,2804	2898,75
12	4,8	48,69	23,04	233,712	56,26	57,3049	2370,72
Итого	63,2	690,22	473,6	5120,313	690,34	1083,9484	56527