Использование дисперсионного анализа при факторном исследовании экономических явлений и процессов

 

                                             (2.14)

 

                                                 (2.15)

 

                                                      (2.16)

 

т.е. сами средние, вообще говоря, находить не обязательно. 

 Таким образом, процедура однофакторного дисперсионного анализа состоит в проверке гипотезы H0 о том, что имеется одна группа однородных экспериментальных данных против альтернативы о том, что таких групп больше, чем одна. Под однородностью понимается одинаковость средних значений и дисперсий в любом подмножестве данных. При этом дисперсии могут быть как известны, так и неизвестны заранее. Если имеются основания полагать, что известная или неизвестная дисперсия измерений одинакова по всей совокупности данных, то задача однофакторного дисперсионного анализа сводится к  исследованию значимости различия средних в группах данных [5].

 

 

2.3  Многофакторный дисперсионный анализ

 

Следует сразу же отметить, что принципиальной разницы между многофакторным и однофакторным дисперсионным анализом нет. Многофакторный анализ не меняет общую логику дисперсионного анализа, а лишь несколько усложняет ее, поскольку, кроме учета влияния на зависимую переменную каждого из факторов по отдельности, следует оценивать и их совместное действие. Таким образом, то новое, что вносит в анализ данных многофакторный дисперсионный анализ, касается в основном возможности оценить межфакторное взаимодействие. Тем не менее, по-прежнему остается возможность оценивать влияние каждого фактора в отдельности. В этом смысле процедура многофакторного дисперсионного анализа (в варианте ее компьютерного использования) несомненно более экономична, поскольку всего за один запуск решает сразу две задачи: оценивается влияние каждого из факторов и их взаимодействие [3].

Общая схема двухфакторного эксперимента, данные которого обрабатываются дисперсионным анализом имеет вид (рисунок 2.1):

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 2.1 – Схема двухфакторного эксперимента

Примечание – Источник: [5]

 

Данные, подвергаемые многофакторному дисперсионному анализу, часто обозначают в соответствии с количеством факторов и их уровней.

Предположив, что в рассматриваемой задаче о качестве различных m партий изделия изготавливались на разных t станках и требуется выяснить, имеются  ли существенные различия в качестве изделий по  каждому фактору:

А - партия изделий;

B - станок.

В результате получается переход к задаче двухфакторного дисперсионного анализа.

Все данные представлены в таблице 2.2, в которой по строкам - уровни Ai фактора А, по столбцам — уровни Bj фактора В, а в соответствующих ячейках, таблицы находятся значения показателя качества изделий xijk (i=1,2,...,m; j=1,2,...,l; k=1,2,...,n).

 

Таблица 2.2 – Показатели качества изделий

	B1	B2	…	Bj	…	Bl
A1	x11l,…,x11k	x12l,…,x12k	…	x1jl,…,x1jk	…	x1ll,…,x1lk
A2	x21l,…,x21k	x22l,…,x22k	…	x2jl,…,x2jk	…	x2ll,…,x2lk
…	…	…	…	…	…	…
Ai	xi1l,…,xi1k	xi2l,…,xi2k	…	xijl,…,xijk	…	xjll,…,xjlk
…	…	…	…	…	…	…
Am	xm1l,…,xm1k	xm2l,…,xm2k	…	xmjl,…,xmjk	…	xmll,…,xmlk

Примечание – Источник: [5]

 

Двухфакторная дисперсионная модель имеет вид:

 

                                               xijk=μ+Fi+Gj+Iij+εijk,         (2.17)

 

где  xijk -  значение наблюдения в ячейке ij с номером k;

μ   -  общая средняя;

Fi    -  эффект, обусловленный влиянием i-го уровня фактора А;

Gj  -  эффект, обусловленный влиянием j-го уровня фактора В;

Iij - эффект, обусловленный взаимодействием двух факторов, т.е. отклонение от средней по наблюдениям в ячейке ij от суммы первых трех слагаемых в модели;

εijk - возмущение, обусловленное вариацией переменной внутри отдельной ячейки.

Предполагается, что εijk  имеет нормальный закон распределения N(0; с2), а все математические ожидания F*, G*, Ii*, I*j равны нулю.

Групповые средние находятся по формулам:

 

- в ячейке: ,

по строке:

по столбцу:

общая средняя:

В таблице 2.3 представлен общий вид вычисления значений, с помощью дисперсионного анализа.

 

Таблица 2.3 – Базовая таблица дисперсионного анализа

Компоненты дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Средние квадраты
Межгрупповая (фактор А)		m-1
Межгрупповая (фактор B)		l-1
Взаимодействие		(m-1)(l-1)
Остаточная		mln - ml
Общая		mln - 1

Примечание – Источник: [5]

 

Проверка нулевых гипотез HA, HB, HAB об отсутствии влияния на рассматриваемую переменную факторов А, B и их взаимодействия AB осуществляется сравнением отношений , , (для модели I с фиксированными уровнями факторов) или отношений ,  , (для случайной модели II) с соответствующими табличными значениями F – критерия Фишера – Снедекора. Для смешанной модели III проверка гипотез относительно факторов с фиксированными уровнями производится также как и в модели II, а факторов со случайными уровнями – как в модели I.

Если n=1, т.е. при одном наблюдении в ячейке, то не все нулевые гипотезы могут быть проверены так как выпадает компонента Q3 из общей суммы квадратов отклонений, а с ней и средний квадрат , так как в этом случае не может быть речи о взаимодействии факторов.

С точки зрения техники вычислений для нахождения сумм квадратов Q1, Q2, Q3, Q4, Q целесообразнее использовать формулы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q3 = Q – Q1 – Q2 – Q4.

 

Отклонение от основных предпосылок дисперсионного анализа — нормальности распределения исследуемой переменной и равенства дисперсий в ячейках (если оно не чрезмерное) — не сказывается существенно на результатах дисперсионного анализа при равном числе наблюдений в ячейках, но может быть очень чувствительно при неравном их числе. Кроме того, при неравном числе наблюдений в ячейках резко возрастает сложность аппарата дисперсионного анализа. Поэтому рекомендуется планировать схему с равным числом наблюдений в ячейках, а если встречаются недостающие данные, то возмещать их средними значениями других наблюдений в ячейках. При этом, однако, искусственно введенные недостающие данные не следует учитывать при подсчете числа степеней свободы.

 

3 Дисперсионный анализ в контексте  статистических методов

 

 

Статистические методы анализа – это методология измерения результатов деятельности человека, то есть перевода качественных характеристик в количественные.

Основные этапы при проведении статистического анализа:

- содержательный анализ исследуемого объекта, системы или процесса. На этом  этапе  определяется  набор  входных  и  выходных  параметров (X1 ,..., Xp; Y1 ,..., Yq);

- составление плана сбора исходных данных - значений входных переменных (X1,...,Xp), числа наблюдений n. Этот этап выполняется при активном планировании эксперимента.

- получение исходных данных  и ввод их в компьютер. На этом этапе формируются массивы чисел (x1i ,..., xpi ; y1i ,..., yqi), i=1,..., n, где n - объем выборки.

- первичная статистическая обработка данных. На данном этапе формируется статистическое описание рассматриваемых параметров:

а) построение и анализ статистических зависимостей;

б) корреляционный анализ предназначен для оценивания значимости влияния факторов (X1,...,Xp) на отклик Y;

в) дисперсионный анализ используется для оценивания влияния на отклик Y неколичественных факторов (X1,...,Xp) с целью выбора среди них наиболее важных;

г) регрессионный анализ предназначен для определения аналитической зависимости отклика Y от количественных факторов X;

- интерпретация результатов в терминах поставленной задачи [3].

В таблице 3.1 приведены статистические методы, с помощью которых решаются аналитические задачи. В соответствующих ячейках таблицы находятся частоты применения статистических методов:

- метка «-» - метод не применяется;

- метка «+» - метод применяется;

- метка «++» - метод широко применяется;

- метка «+++» - применение метода  представляет особый интерес.

Дисперсионный анализ подобно t-критерию Стьюдента, позволяет оценить   различия   между   выборочными   средними;   однако,   в  отличие  от  t-критерия, в нем нет ограничений на количество сравниваемых средних. Таким образом, вместо того, чтобы поставить вопрос о различии двух выборочных средних, можно оценить, различаются ли два, три четыре, пять или k средних.

Дисперсионный анализ позволяет иметь дело с двумя или более независимыми переменными (признаками, факторами) одновременно, оценивая не только эффект каждой из них по отдельности, но и эффекты взаимодействия между ними.

 

 

Таблица 3.1 – Применение статистических методов при решении аналитических задач

Аналитические задачи, возникающие  в сфере бизнеса, финансов и управления	Методы  описательной  статистики	Методы поверки  статисти-ческих  гипотез	Методы  регресси-онного  анализа	Методы  дисперси-онного  анализа	Методы анализа  категории-альных  данных	Методы  много-мерного  анализа	Методы  дискрими-нантного  анализа	Методы  кластер-ного  анализа	Методы анализа  выжива-емости	Методы анализа  и прогноза  врем. рядов
Задачи горизонталь-ного  (временного) анализа	++	+	-	+	+	-	-	-	-	-
Задачи вертикального  (структурного) анализа	++	-	-	+	++	++	+	+	-	-
Задачи трендового  анализа и прогноза	++	-	+++	++	-	-	-	-	++	+++
Задачи анализа  относительных показателей	++	+	+	-	+	+++	++	++	-	++
Задачи сравнитель- ного  (пространствен-ного) анализа	++	-	+	+	++	+++	++	++	-	+
Задачи факторного анализа	+	+	++	-	++	+++	+	++	-	+