Функции распределения

Задание 1

Дана числовая выборка (0, 1, 1, 0,0,0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0) из распределения Бернулли. Вычислить по ней значения выборочного среднего, выборочных k-ых моментов, выборочной дисперсии. Построить график эмпирической функции распределения.

Решение.

Выборочное среднее:

 

Выборочный момент порядка  k:

 

Выборочная дисперсия:

 

Эмпирическая функция  распределения:

 

 

Задание 2

Дана числовая выборка (1,3,2,5,0,0,1,2,1,1,3,2) из распределения Пуассона. Вычислить по ней значения выборочного среднего, выборочной дисперсии и несмещенное выборочной дисперсии. Построить график эмпирической функции распределения.

Решение.

Выборочное среднее:

 

Выборочная дисперсия:

 

 

Несмещенная выборочная дисперсия:

 

 

Эмпирическая функция  распределения:

 

 

Задание 3

Дана группированная выборка объемом n=100. Вычислить выборочное среднее, выборочную дисперсию, выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса. Построить график эмпирической функции распределения.

	-1	0	1	3	5
	20	15	10	20	35

 

Решение.

Выборочное среднее:

 

Выборочная дисперсия:

 

Коэффициент асимметрии:

 

Коэффициент эксцесса:

 

 

 

Эмпирическая функция  распределения:

 

 

 

Задание 4

Дана группированная выборка объемом n=100 утеряна, осталась лишь информация по интервалам группировки. Вычислить выборочное среднее, выборочную дисперсию. Построить гистограмму.

	10	20	30	25	15

 

Решение.

Выборочное среднее (в качестве примем середины интервалов ):

 

Выборочная дисперсия:

 

Гистограмма:

Пусть – число элементов выборки, попавших в -й интервал. Тогда кусочно-постоянная функция называется гистограммой.

 

 

Задание 5

Пусть (-0.8, 2.9, 4.3, -5.7, 1.1, -3.2) – наблюдающиеся значения выборки. Построить график эмпирической функции распределения и проверить, что F(-5)=1/6, F(0)=1/2, F(4)=5/6. Вычислить выборочное среднее, выборочную дисперсию и несмещенную выборочную дисперсию.

Решение.

Выборочное среднее:

 

Выборочная дисперсия:

 

 

Несмещенная выборочная дисперсия:

 

 

Эмпирическая функция  распределения:

 

Из графика  эмпирической функции видно, что  равенства выполняются: F(-5)=1/6, F(0)=1/2, F(4)=5/6.