Функция распределения плотности вероятностей и ее свойства

Функция распределения плотности  вероятностей и ее свойства.

 

Из формулы P{Α ≤ X < Β}=F(Β)-F(Α)следует, что вероятность попадания случайной  величины в заданный интервал определяется скоростью изменения функции  распределения вероятностей на этом интервале. Скорость изменения непрерывной  функции равна ее производной. Это  позволяет ввести новую функцию  для задания случайной величины. Рассмотрим снова вероятность попадания  случайной величины в интервал [x,x+Δx]:

 

P{x≤X<x+Δx}=F(x+Δx)-F(x).

 

Пусть Х - непрерывная случайная  величина. Тогда для малых значений Δx эта вероятность будет также  достаточно малой. Поделим ее на Δx и  перейдем к пределу при Δx →0:

 

limΔx →0(P{x≤X<x+Δx}/Δx)=limΔx →0(F(x+Δx)-F(x))/Δx).

 

Если это предел существует, то он равен производной от функции  распределения F(x):

 

limΔx →0(F(x+Δx)-F(x))/Δx)=F'(x)=f(x).

 

Функция f(x) называется плотностью распределения вероятностей случайной величины Х. Из определения следует, что при малых значениях Δx справедливо равенство:

 

P{x≤X<x+Δx}≈f(x)*Δx

 

Рассмотрим свойства плотности  распределения f(x).

 

1. Всегда f(x)≥0, так как функция F(x) является неубывающей функцией.

 

2 Для функции распределения F(x) справедливо равенство:

 

F(x)=-∞∫xf(t)dt.

 

Действительно, так как  по определению f(x)=F'(x), то F(x) является первообразной функцией по отношению к плотности распределения f(x). Следовательно,

 

-∞∫∞f(t)dt=F(t)-∞ιx=F(x)-F(-∞)=F(x)-0=F(x.)

 

3. Вероятность попадания  случайной величины в заданный  интервал [Α ; Β] равна:

 

P{Α≤X<Β}=Α∫βf(t)dt.

 

Действительно, в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница этот определенный интеграл равен F(Β)-F(Α). По 3-му свойству функции распределения вероятностей эта разность и представляет собой  вероятность P{Α≤X<Β} .

 

4. Интеграл от плотности  распределения вероятности по  всей области задания случайной  величины равен единице:

 

-∞∫∞f(t)dt=1 .

 

Равенство -∞∫∞f(t)dt=1 представляет условие нормировки вероятностей для непрерывных случайных величин. По смыслу данный интеграл есть не что иное, как F(∞)=1. Условие нормировки вероятностей часто используется для определения неизвестного параметра закона распределения.

 

Для иллюстрации геометрического  смысла перечисленных свойств приведем пример графика плотности распределения вероятностей. Для большей наглядности на рис. представлен также график соответствующей функции распределения вероятностей.

Фу́нкция распределе́ния в теории вероятностей — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора. При соблюдении известных условий (см. ниже) полностью определяет случайную величину. Определение

 

Пусть дано вероятностное пространство , и на нём определена случайная величина  с распределением . Тогда функцией распределения случайной величины  называется функция , задаваемая формулой:

.

 

Т.е. функцией распределения (вероятностей) случайной величины X называют функцию F(x), значение которой в точке x равно вероятности события , т.е. события, состоящего только из тех элементарных исходов, для которых .

[править]

Свойства

 непрерывна справа:[1]

 

 не убывает на всей числовой  прямой.

.

.

Распределение случайной величины  однозначно определяет функцию распределения.

Верно и обратное: если функция  удовлетворяет четырём перечисленным  выше свойствам, то существует вероятностное  пространство и определённая на нём  случайная величина, такая что  является её функцией распределения.

По определению непрерывности  справа, функция  имеет правый предел  в любой точке , и он совпадает со значением функции в этой точке.

В силу неубывания, функция также имеет и левый предел  в любой точке , который может не совпадать со значением функции. Таким образом, функция либо непрерывна в точке, либо имеет в ней разрыв первого рода.