Функции распределения двухмерных случайных величин

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ НЕКОММЕРЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГУМАНИТАРНЫЙ ИНСТИТУТ (г. Москва)                                                          Байкальский филиал                                                                                                         Экономический факультет

 

 

 

 

РЕФЕРАТ

 

по дисциплине: Теория вероятностей и математическая статистика                                                     на тему: Функции распределения двухмерных случайных величин

 

 

 

 

 

Выполнила: Чувашова Д.А.                                                                                                                          студент II курса ЭФО, группа Э 201 - 01                                                                                                                        Проверил:_______________

 

 

 

 

Улан – Удэ                                                                                                                                                                              2011 г.

Содержание

Введение

1. Функции распределения двухмерной случайной величины
2. Свойства функции распределения случайной величины

Список литературы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

До сих пор  рассматривались случайные величины, возможные значения которых определялись одним числом. Такие величины называются одномерными. Например, число очков, которое возможно выписать при бросании игральной кости - дискретная одномерная величина; расстояние от орудия до места падения снаряда – непрерывная одномерная случайная величина.

Кроме одномерных случайных величин изучают величины, возможные значения которых определяются двумя, тремя,…, n числами. Такие величины называются соответственно двумерными, трехмерными, …, n – мерными.

Двумерную случайную величину будем обозначать через (X, Y).  Каждую из величин X и Y называют составляющей (компонентой); обе величины X и Y, рассматриваемы одновременно, образуют систему двух случайных величин.

Двухмерную случайную величину (X, Y)                                                                     X, Y                                    геометрически  можно представить как случайную точку             Y                                                          (X, Y) на плоскости xOy либо как случайный вектор,                                                                                                     направленный из начала координат в точку (X, Y).

                                                                                                          O                            X

                                                                                                                                                     (Рис.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Функции распределения двухмерной случайной величины

 

Функция распределения  двухмерной случайной величины (X,Y) называют функцию F(x,y), определяющую для каждой пары чисел x, y вероятность того, что X примет, значение, меньше x, и при этом Y примет значение, меньше y:

F (x, y) = p ({X

Геометрически двухмерная функция                                           y                                                                                  распределения F (x, y) – это вероятность                                 Y                                                                          попадания случайной точки (X, Y) в                                                                        (X, Y)                                                          бесконечный квадрант с вершиной в точке                                                                                                             (x, y), лежащей левее и ниже ее.                                                                                                          x                                                                                                     Компонента  X приняла значения,                                                O                          X                                                                                  меньшие действительного числа x,                                                                                             (Рис. 2)                                                                                                          это функция распределения                                                                                                                      а компонента Y – меньшие действительного числа y, это функция распределения                                                                                                

Пример. Найти вероятность того, что в результате испытания составляющая X двухмерной случайной величины (X,Y) примет значение X<2 и при этом составляющая Y примет значение Y<3, если известна функция распределения системы

F (x, y) =

Решение. По определению  функции распределения двухмерной случайной величины,

F (2, 3) F (x, y) = p ({X

Положив x=2, y=3, получим искомую вероятность

 p ({X

 

2. Свойства двумерной функции распределения

 

Свойство 1. Значения функции распределения удовлетворяют двойному неравенству

Доказательство. Свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность – неотрицательное число, не превышающее 1.

Свойство 2. F (x, y) есть неубывающая функция по каждому аргументу, т.е.

Доказательство. Событие, состоящее в том, что составляющая X примет значение меньше и при этом составляющая Y<y, можно подразделить на следующие два несовместимых события: 1) X примет значение,  меньше , и при этом с вероятностью P (                                                     2) X примет значение удовлетворяющее неравенству с вероятностью                                                                                                                                                                    По теореме сложения:                                                                                                                                                                                                                                                     Отсюда                                                                                                                                                                                                                                                                            или                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        Любая вероятность есть число неотрицательное, поэтому                                                                                                                                                                         что и требовалось доказать.                                                                                                                                         Аналогично и для y.

Свойство 3. а) При функция распределения системы становится функцией распределения составляющей X:

  .  

ри x = ∞ функция распределения системы становится функцией распределения составляющей Y:

 

. а) Так как событие Y<∞ достоверно, то определяет вероятность события X<x, т.е. представляет собой функцию распределения составляющей X.

Свойство 4. Имеют места предельные соотношения:

                                                                   3)            

                                                                    4)

Доказательство. 1)   есть вероятность события ; но такое событие невозможно (поскольку невозможно событие ), следовательно, вероятность этого события равна нулю.

Свойство становится наглядно ясным, если прибегнуть к геометрической интерпретации: при  правая граница бесконечного квадранта (рис. 1) неограниченно сдвигается влево и при этом вероятность попадания случайной точки в квадрант стремится к нулю.

2)  Событие  невозможно, поэтому

3) Событие  невозможно, поэтому

4) Событие  достоверно, следовательно, вероятность этого события                  

Свойство становится наглядно ясным, если принять во внимание, что при  бесконечный квадрант (рис. 1) превращается во вся плоскость xOy и, следовательно, попадание случайной точки (X; Y) в эту плоскость есть достоверное событие.

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. В. Е. Гмурман, Теория вероятностей и математическая статистика, Москва, «Высшая школа» 2002г.
2. А. И. Волковец, А. Б. Гуринович, Теория вероятностей и математическая статистика, Конспект лекция, Минск 2003 г.
3. И. И. Баврин, Теория вероятностей и математическая статистика, Москва, «Высшая школа» 2005г.