Электронные системы и сигналы

ЭЛЕКТРОННЫЕ СИСТЕМЫ  И СИГНАЛЫ

Электронные системы, в большинстве своем предназначены для измерения параметров различных физических сигналов. При этом сигналы усиливаются, отфильтровываются друг от друга, от посторонних шумов и помех, преобразуются из непрерывной формы в дискретную и т. д. и, в конце концов, появляются на выходе системы. В общем виде указанный процесс может иллюстрироваться рис. 1 а, б; на вход электронной системы поступает некоторое воздействие обычно в форме изменяющегося во времени напряжения U_вх(t) и через некоторое время на выходе системы появляется тот или иной отклик –выходное напряжение Uвых(t).

Рис. 1

 

Выходной сигнал может  существенно отличаться от входного – в зависимости от свойств электронной системы, через которую он прошел, и от того, каким операциям преобразования он в этой системе подвергся. При измерениях, однако, необходимо совершенно точно и однозначно по выходному сигналу определять входной сигнал. Для этого необходимо знать свойства электронной системы и определять, как они изменяют входной сигнал.

 

Введение в  теорию сигналов

Сигнал является отображением некоторых сведений – сообщения – и представляет физический процесс, с помощью которого осуществляется передача сообщения.

При физических исследованиях  сигналами могут быть звуковые или электромагнитные волны, уровень ионизирующего излучения и т. д. Обычно физические сигналы преобразуются в электрические сигналы, которые после усиления и соответствующей обработки снова преобразуются в вид, удобный для анализа и хранения. В процессе преобразования сигналов возможна как утрата части информации, так и добавление ложной информации, что затрудняет распознание  истинного сообщения. Чтобы свести к минимуму потери информации, параметры сигналов и характеристики систем должны быть согласованы.

Имеются два способа  выражения параметров сигналов и  характеристик электронных систем – временной и спектральный.

При временном способе  сигнал представляется в виде непрерывной функции времени или в виде суммы элементарных импульсов, следующих друг за другом через конечные или бесконечно малые промежутки времени.

Спектральный способ основан на представлении сигнала  в виде спектра – суммы гармонических составляющих различных частот, разделенных бесконечно малыми или конечными промежутками. Оба способа описания сигналов совершенно адекватны, и выбор того или иного способа произволен.

Сигналы принято называть регулярными, если они могут быть представлены в виде заранее заданных математических функций, и нерегулярными (случайными), если это не может быть сделано. Регулярные сигналы подразделяются на три основных типа – периодические, почти периодические и непериодические. Нерегулярные сигналы могут быть стационарными и нестационарными.

 

Периодические сигналы

Периодическим принято  называть сигнал, повторяющийся через регулярные интервалы времени Т:

X(t)=X(t±nT),

 

где t– время (-∞<t<+∞); п – целое число; Т – период повторения.

 

Периодический сигнал несет  информацию, ограниченную одним периодом; все остальные периоды являются точной копией первого и дополнительной информации не несут. Строго периодических сигналов не существует, любой реальный повторяющийся процесс всегда имеет начало и конец.

Простейшим периодическим сигналом является гармонический синусоидальный сигнал

где U_o – амплитуда колебания; ωt+φ₀ мгновенная фаза; ω– частота, рад/с; φ₀ – начальная фаза; T – период, с.

Сложные периодические сигналы  удобно анализировать с помощью рядов Фурье, представляя сигнал в виде бесконечной суммы синусоидальных и косинусоидальных составляющих:

 

здесь a₀ – постоянная составляющая сигнала

 

a_k – амплитуда k-й косинусоидальной составляющей сигнала

 

b_k – амплитуда k-й синусоидальной составляющей сигнала

 

Если воспользоваться  формулой Эйлера

то  можно представить ряд Фурье  в комплексной форме

 

 

Комплексная амплитуда С_к определяется по формуле

 

Ряд Фурье можно также  представить в виде

где

 

Совокупность амплитуд гармонических составляющих A_k носит название спектра амплитуд, φ_k – спектра фаз, C_k – комплексного спектра.

График амплитудного спектра периодического сигнала (рис. 2, a,б) дискретен и гармоничен – спектральные составляющие (гармоники) находятся в простых кратных отношениях.

В спектре периодического сигнала не может быть гармоники  с частотой ниже, чем основная (кроме  постоянной составляющей, имеющей нулевую частоту).

Гармонические составляющие периодического процесса взаимо независимы, что позволяет изменять и даже совсем удалять из спектра любые гармоники, при этом амплитуды и фазы оставшихся не изменяются. Это очень важно, ибо бесконечно широкий спектр, начинающийся от постоянного тока и кончающийся бесконечно высокими частотами, не может быть преобразован полностью, так как полоса пропускаемых частот у реальных электронных систем ограничена.

Под шириной спектра  понимается область частот, в которой сосредоточена основная энергия сигнала. Во многих случаях большая часть энергии сигнала сосредоточена в области первых 10 – 20 гармоник.

 

 

 

 

 

Рис. 2

 

 

В отдельные моменты  времени гармоники сложного периодического сигнала могут складываться в одной фазе или быть в противофазе – возникают максимумы и минимумы.

Отношение максимального уровня сигнала  к минимальному называется динамическим диапазоном сигнала и обычно выражается в децибелах (дБ)

Разложение периодического сигнала в тригонометрический или экспоненциальный ряд Фурье не является единственно возможным: имеется множество ортогональных функций –полиномы Лежандра, Якоби, Эрмита, Чебышева, функции Лягерра, Бесселя и т. д., которые обеспечивают быструю сходимость ряда, аппроксимирующего заданную функцию сигнала с необходимой точностью.

Почти периодические  сигналы

Под почти периодическим  принято понимать сигнал с дискретным, но не гармоническим спектром. В этом случае соотношение частот составляющих не является целочисленным и может быть любым, в том числе и иррациональным. Например, почти периодическим является сигнал в виде суммы, разности или произведения двух косинусоидальных (синусоидальных) колебаний разных частот.

Пусть имеется сигнал

Таким образом, в результате сложения двух гармонических колебаний различных частот получается одно колебание, амплитуда и фаза которого изменяются по времени с разностной частотой. Если отношение частот иррационально, то невозможно найти время Т, при котором бы точно выполнялось условие периодичности.

Если отношение частот не целочисленно, но рационально, то всегда можно найти некоторые целые  числа m и п, при которых , а период результирующего колебания .

При иррациональном отношении  частот период может быть определен лишь приближенно.

 

Непериодические сигналы

Непериодический сигнал является частным случаем периодического сигнала, у которого период бесконечно велик: . Внутри заданного промежутка сигнал может обладать периодичностью, например, состоять из конечного числа периодов гармоничного или сложного периодического колебания. Спектральный анализ непериодического сигнала может быть проведен лишь в том случае, если математическая функция, аппроксимирующая сигнал, абсолютно интегрируема и имеет конечное число минимумов, максимумов и точек разрыва. Спектральный анализ практически любых непериодических сигналов может быть выполнен путем представления их в виде интеграла Фурье.

Предельный переход  от ряда Фурье к интегралу Фурье производится так:

В последнем выражении

является комплексной спектральной плотностью амплитуд сигнала, имеет размерность: единица измерения амплитуды/единица измерения частоты и называется прямым преобразованием Фурье. Обратное преобразование Фурье

 

позволяет представить  сигнал в виде интегральной суммы  бесконечно малых гармонических составляющих.

Отличие интеграла Фурье  от ряда Фурье заключается в том, что интеграл Фурье представляет непериодическую функцию суммой периодических составляющих, в то время как ряд Фурье представляет периодическую функцию суммой периодических составляющих. Следствием этого является то, что спектр периодического сигнала дискретен и состоит только из гармоник основной частоты; спектр непериодического сигнала непрерывен и содержит все частоты от

Отрицательная частота – математическая абстракция – появляется в выражении интеграла Фурье в результате комплексной формы записи. Если оперировать только положительными частотами, то каждой частоте ω будут соответствовать две функции: sin ω t и cos ω t. Этого можно избежать, введя комплексную функцию вида exp(j ω t), единственную для каждого значения частоты. Комплексную спектральную плотность непериодического сигнала можно представить в виде

 

Модуль комплексной  спектральной плотности А (ω) принято называть амплитудным спектром сигнала, φ(ω) – фазовым спектром.

В общем случае спектральная плотность сигнала определяется на интервале времени – . Однако реальные непериодические сигналы обычно задаются на некотором конечном промежутке времени и, таким образом, спектральная плотность является не только функцией частоты, но и зависит от времени.

Это позволяет говорить о спектральной плотности не вообще, а относить ее к определенному моменту существования сигнала. Так, если при определении спектра учитывается весь предшествующий временной интервал, говорят о текущей спектральной плотности сигнала (текущем спектре). Если спектральная плотность определяется для малого участка сигнала, то вводится понятие мгновенной спектральной плотности (мгновенного спектра).

Распределение энергии  непериодического сигнала по спектру может быть выражено как

 

где W(ω)=A²(ω)/π – энергетическая спектральная плотность сигнала (энергетический спектр, спектр мощности).

Последнее выражение  позволяет определять практическую ширину спектра сигнала Δ ω, т. е. область, в которой сосредоточена основная энергия сигнала:

,

где ω_н и ω_в – нижняя и верхняя граничные частоты спектра, при которых величина энергетической спектральной плотности ниже некоторого заданного значения.

Случайные сигналы

Случайным является сигнал, параметры которого заранее неизвестны, и, следовательно, неизвестна информация, им переносимая. Все реальные сигналы являются случайными, так как в противном случае в них была бы заключена известная информация, передавать и принимать которую бессмысленно.

В общем случае случайный  сигнал можно рассматривать в  виде бесконечной совокупности случайных величин, зависящих от многих независимых переменных. Например, можно представлять случайные сигналы или в виде бесконечно большого числа гармонических составляющих, частоты, амплитуды и фазы которых случайны, или в виде бесконечно большого числа импульсов случайной формы, амплитуды, длительности и частоты повторения. Это позволяет говорить о спектральных и временных статистических параметрах случайных сигналов.

Случайные сигналы могут  быть стационарными и нестационарными. Под стационарными понимают случайные сигналы, статистические параметры которых не зависят от времени. Это означает, что параметры одного участка сигнала близки к статистическим параметрам другого участка той же длительности, взятого в любой момент существования сигнала – в прошлом, настоящем или будущем. В общем случае соответствие тем выше, чем больше длительность участка сигнала, на котором осуществляется определение параметров.

Статистические параметры  нестационарных случайных сигналов зависят от времени, что в значительной мере затрудняет и усложняет их анализ.

Исчерпывающей характеристикой  любого случайного сигнала является распределение вероятностей, показывающее, с какой вероятностью сигнал может принимать одно из множества возможных значений. На практике удобнее пользоваться средними значениями (моментными функциями), получающимися в результате операции усреднения. В общем случае значение случайного сигнала зависит и от времени, и от одной или нескольких других независимых переменных. Поэтому возможно усреднение как по времени, так и по другим переменным.

Временные свойства сигнала  описываются функцией автокорреляции, определяющей степень сходства отдельных участков сигнала. Автокорреляционная функция Ф(t₁;t₂) устанавливает вероятностную связь между отдельными значениями сигнала X(t₁) и X(t₂).

В общем случае автокорреляционная функция

является средним значением  произведения значений сигнала в моменты времени t₁ и t₂. Для нестационарных случайных сигналов функция автокорреляции зависит от моментов времени t₁ и t₂. Для стационарного случайного сигнала автокорреляционная функция зависит лишь от разности (t₂- t₁) = τ и может быть определена как

Автокорреляционная функция  стационарного случайного сигнала  является наиболее объективной временной  статистической характеристикой, сравнительно легко определяемой для большинства  сигналов и удобной для анализа.

Большинство стационарных сигналов обладает эргодическим свойством: их среднее по множеству равно  среднему по времени с вероятностью, равной единице, что упрощает анализ. Случайный сигнал можно рассматривать  в виде суммы бесконечно большого числа простых гармонических колебаний со случайными амплитудами, частотами и фазами. Однако если определить спектральную плотность по одной из реализации случайного процесса, то полученное значение будет величиной случайной и неопределенной. Поэтому при анализе случайных сигналов пользуются усредненной спектральной характеристикой –спектральной плотностью мощности, или спектром мощности, характеризующим распределение мощности случайного сигнала по спектру.