Моделирование роста наноструктур вариационным методом Монте-Карло

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 5

1. МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО 6

1.1. Описание численного метода Монте-Карло 6

1.2. Процессы в приповерхностном слое моделируемой структуры 8

1.3. Алгоритм 10

2. ИСЛЕДОВАНИЕ РОСТА СЛОЯ ГЕТЕРОСРУКТУРЫ Si-Ge 14

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 26

СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ 27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Существенный вклад в  исследования деталей миграции атомов в процессе формирования наноструктур наряду с современными экспериментальными методиками вносит моделирование. Моделирование кинетики роста тонких слоев и наноструктур на их основе позволяет разобраться в ключевых атомарных процессах, определяющих морфологию, структуру и другие свойства нанообъектов. Вычислительный эксперимент может сократить поиск оптимальных технологических режимов, получить ответы на вопросы, не доступные для реального эксперимента, а также предсказать новые явления. Методом Монте-Карло (МК) с использованием решеточных моделей твердых слоев, в отличие от методов ab initio или молекулярной динамики, можно проводить модельные исследования систем, размеры которых сравнимы с реальными (до нескольких сотен нанометров), и время моделируемого процесса также оказывается сопоставимо с экспериментом (секунды и минуты). Имитация в модельной систем стохастических процессов позволяет учесть флуктуации различных характеристик атомных образований, например, плотности островков, шероховатости ступени и т.п. Кроме того, имитационное моделирование способствует наглядности представлений о процессах, происходящих на поверхности и в растущем слое.

Целью курсовой работы моделирование роста наноструктур вариационным методом Монте-Карло является научиться моделировать рост наноструктур и с помощью модели изучить рост наноструктур. Курсовая состоит из двух частей. В первой части описывается модель роста и численный метод, во второй приведены результаты расчетов по модели.

Актуальность темы является значимость изучения процессов роста  наноструктур. Из-за проблем визуального наблюдения и дороговизны оборудования, работу будет проще реализовать в виде компьтерной модели.

 

 

1. МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО
1. Описание численного метода Монте-Карло

Метод Монте-Карло  — общее название группы численных методов, основанных на получении большого числа реализаций стохастического (случайного) процесса, который формируется таким образом, чтобы его вероятностные характеристики совпадали с аналогичными величинами решаемой задачи. 

Например, двойной интеграл по области в виде единичного квадрата может быть представлен в виде

где    - это случайные числа, равномерно распределённые на интервале

При интегрировании по прямоугольнику R, не совпадающему с единичным квадратом, необходимо сначала произвести преобразование переменных.

 

 

 

Обобщим метод Монте-Карло  на область произвольной конфигурации. Пусть требуется вычислить двойной  интеграл по области  произвольной конфигурации.

 

 

Построим прямоугольник  R охватывающий область и введём функцию, совпадающую с области и равную нулю за пределами области .

               

 

                   

Очевидно, что искомый  интеграл

2. Процессы в приповерхностном слое моделируемой структуры

В модельной системе может  происходить целый ряд различных по своей природе событий: 1) диффузионный скачок атома в свободный узел в первой, во второй либо в третьей координационных сферах; 2) десорбция атома с открытой поверхности; 3) адсорбция атома на открытую поверхность с полным или частичным прилипанием; 4) испарение с последующей реадсорбцией частиц в закрытых полостях; 5) химические превращения частиц одного сорта в другой; 6) реконструкция ковалентных связей в алмазоподобной решетке в виде образования и распада димеров. Одним из наиболее важных событий в модели является диффузионный скачок атома в соседний свободный узел. Любой диффузионный шаг происходит в два этапа: выход атома из своего узла  и встраивание его в соседний свободный узел. Каждый из этих этапов описывается своими независимыми параметрами. Для описания ковалентного взаимодействия обычно используется квазихимическое приближение. В этом случае считается, что каждый атом взаимодействует с атомами своего окружения независимо.

 Полная энергия взаимодействия  атома со своим окружением  определяется как сумма этих  элементарных взаимодействий. Однако, такое приближение часто неадекватно описывает моделируемую систему. В модели предусмотрен вариант независимого задания ковалентного взаимодействия для каждого локального окружения атома. Вероятность диффузионного скачка атома сорта k с места кристаллической решетки a в b определяется следующим выражением:

,

где ν – частота Дебая (обычно 1013 с-1), k_B – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура, E_k(dif) – энергия активации диффузионного скачка атома сорта k:

, – суммарная энергия ковалентного  взаимодействия атома k с окружающими его соседями в первой координационной сфере. Энергетические поправки

 

понижают энергию активации  диффузионного скачка из энергетически  невыгодного места a. Энергетическая поправка

является дополнительным барьером для встраивания данного  атома сорта k в невыгодную конфигурацию на месте b.

Десорбция атома представляет собой частный случай диффузионного  шага, когда в первой координационной  сфере узла, в который встраивается атом, нет ни одного атома. Энергетический барьер, который необходимо преодолеть атому для десорбции, состоит  из двух слагаемых: энергии отрыва атома  от решетки и энергии сублимации E_sub(i) (i – индекс сорта атома), которая зависит только от сорта атома.

В модели предусмотрена возможность  задания одно- и двухкомпонентных химических реакций следующего вида: 1) A → B, превращение молекулы сорта A в молекулу сорта B, продукт реакции будет занимать тот же узел, что и реагент; 2) A → B + C, распад молекулы сорта A на две молекулы сорта B и C, причем молекулы B и C могут быть одинакового сорта, один из продуктов реакции будет занимать место реагента, а другой продукт занимает один из свободных узлов в первой координационной сфере. Если в первой координационной сфере нет свободных узлов, то реакция распада невозможна; 3) A + B → C, слияние молекул сортов A и B, образование молекулы сорта C. Продукт реакции равновероятно может занять как место реагента A, так и место реагента B, а узел другого реагента становится свободным; 4) A + B → C + D, в результате реакции между молекулами сортов A и B образуются две молекулы сортов C и D. Продукты такой реакции располагаются в узлах реагентов случайным образом.

В модели можно задать любое  количество химических реакций и  определить для каждой из них свой энергетический барьер. В качестве A, B, C и D в задаваемой формуле химических превращений может участвовать  любой сорт частиц. Важно отметить, что реакции в нашей модели могут происходить только между  частицами, входящими в состав приповерхностного  слоя. Реакции между частицами, еще  не осажденными на поверхность или  между частицами, испарившимися  с поверхности, не рассматриваются.

3. Алгоритм

Оригинальный алгоритм планирования событий на реальной шкале времени (ПСШВ) позволяет моделировать на атомном уровне поведение многокомпонентной системы, содержащей более 107 частиц, за реальные времена. Алгоритм ПСШВ основан на вычислении времени ожидания события (времени оседлости атома), находящегося в узле регулярной решетки, в данном окружении. Суть алгоритма сводится к следующему. Для каждого атома определяются возможные типы событий. Нормированные вероятности всех возможных событий складываются, образуя единичный вектор – вектор событий, длина отрезка для каждого события на этом векторе пропорциональна вероятности события. Далее с помощью случайного числа R = (0;1) на этом векторе выбирается одно конкретное событие, которое и планируется для данного атома. Для этого (и любого другого) события время

ожидания τ_i вычисляется следующим образом:

где R – случайная величина, равномерно распределенная в диапазоне (0;1); E_event – энергия активации, необходимая для того, чтобы с участием данной частицы произошло событие. Все атомы модельного слоя, имеющие возможность совершить событие, включаются в основной массив TimeLine, элементы которого упорядочены по времени оседлости атомов. Каждая ячейка массива содержит информацию о координатах атома и типе события. В соответствии со временами оседлости всех атомов системы выстраивается очередность событий на шкале времени. События последовательно реализуются. После каждой реализации события очередность уточняется в связи с произошедшими изменениями. Такая схема позволяет обходиться без ≪пустых≫ событий, а также исключать из рассмотрения ≪пустые≫ интервалы времени. На рис. 1а показан фрагмент модельной поверхности, где атомы, имеющие различное время оседлости, окрашены разным цветом.

Для наглядности алгоритма  шкала времени оседлости сопоставлена с цветовой шкалой. Начало отсчета времени находится слева. На рис. 1б ниже цветовой шкалы условно показан массив TimeLine, перед упорядочением атомов по времени. Перед началом имитационного моделирования процесса всем атомам исходного слоя назначаются события, вычисляются соответствующие времена оседлости и строится массив TimeLine относительно начального момента текущего времени tcur0 = 0.

Далее начинается моделирование  процесса. На рис.1а представлена последовательность шагов алгоритма: 1) выбирается атом с минимальным временем осёдлости (крайний левый атом), совершается событие и определяется время оседлости этого атома на новом месте; 2) определяются новые времена оседлости атомов, окружающих старое место и атомов, окружающих новое место; 3) атомы, затронутые событиями, размещаются в соответствии с новыми временами оседлости. После того как произошло первое событие с временем оседлости τ₁, время в системе сдвинулось на интервал τ₁, и установилось новое значение текущего времени t_cur1 = t_cur0 + τ₁. Времена оседлости атомов затронутых событием, отсчитываются от нового значения t_cur1. Для атомов, не затронутых произошедшим событием, время оседлости, отсчитанное от t_cur1, уменьшается на τ₁.

После n-го события t_cur(n) = t_cur(n-1) + τ_n. Перемещение атома в массиве TimeLine означает обнуление прежней ячейки и добавление в соответствующее место массива новой ячейки. Поэтому 4-м шагом (линия 4 на рис. 1б) является уплотнение массива TimeLine за счет удаления пустых ячеек.

Рисунок 1а. Исходное состояние поверхности: а) фрагмент модельной поверхности со ступенью, разным цветом отмечены атомы, имеющие разное время оседлости, б) цветовая шкала иллюстрирует различия во времени оседлости атомов (слева направо увеличение времени)

Для ускорения счета основной массив TimeLine из N0 атомов-ячеек разбивался на N под-массивов, так чтобы каждый подмассив содержал N0/N атомов-ячеек, равномерно распределенных на всем интервале времен оседлости (рис. 1б). В этом случае перемещать нужно будет не все атомы, а только атомы под-массивов, затронутых событием, что существенно сокращает время счета.

Одним из главных преимуществ  обратного алгоритма, основанного  на вычислении времени ожидания является то, что все события происходят в реальномь масштабе времени. Если задавать в модели реальные значения энергетических параметров различных событий, кинетика модельного процесса будет идти с временными характеристиками, соответствующими реальному процессу.[22]

Рисунок 1б. | а) Схема алгоритма ПСШВ: 1 – исходное расположение атомов во временном массиве; 2 – атомы в массиве после совершения 1-го события с минимальным временем ожидания; 3 – временной массив после пересчета времени «оседлости» атомов, затронутых событием, 4 – начало нового цикла (атомы перед совершением 2-го события). Атомы располагаются в массивах в соответствии с их временами «оседлости» (слева атом с минимальным временем оседлости, справа – с максимальным). Стрелками указаны перемещения атомов во временном массиве. Ближайшие соседи атома на старом месте отмечены двойным сплошным кружком, а на новом месте пунктирным кружком. б) Разложение основного массива TimeLine на N под-массивов

 

 

 

 

 

 

2. ИСЛЕДОВАНИЕ РОСТА СЛОЯ ГЕТЕРОСРУКТУРЫ Si-Ge

Интерес к кремниевым и германий-кремниевым нитевидным нанокристаллам (ННК), или нановискерам, обусловлен их возможным применением в современных нано и оптоэлектронных приборах. Перспективным является использование ННК Ge и Si в качестве химических и биологических сенсоров, туннельных диодов, элементов памяти, одноэлектронных транзисторов [1–5]. Одним из этапов создания электронных приборов на основе ННК является формирование p–nпереходов и гетеропереходов (ГП) [6]. В Si–Ge нанопроволоках можно создавать аксиальные и радиальные переходы [7–11]. На германиевых вискерах, покрытых кремниевой оболочкой, создаются вертикальные транзисторы с более высокой подвижностью [12], а вискеры с аксиальной гетероструктурой Si–Ge пригодны для создания туннельных приборов и сверхрешеток [13]. Формирование аксиальных гетеропереходов в ННК не требует дополнительных технологических операций в отличие от планарных структур, так как гетеропереходы формируются непосредственно в процессе роста. Важно, что гетероструктуры Si–Ge совместимыс традиционной кремниевой технологией.