Лекция по "Логике"

Лекция 

Введение в алгебру  логики. Понятие высказывания. Логические операции. Таблицы истинности. Операции булевой алгебры. Логические формулы. Законы алгебры логики. Методы решения логических задач

 

С момента зарождения теоретической  науки в 6-5 вв. до н.э. (особенно в Древней Греции) были подвергнуты исследованию методы рассуждений, применяемые для убедительного обоснования утверждений. Так начала складываться наука логика. Установившиеся в Греции демократические формы жизни потребовали развития искусства убеждения - ораторского искусства, риторики. Появились учителя риторики - софисты, учившие не только доказывать истинные утверждения, но и искусно их опровергать. Понятия истины, лжи и противоречия, а также причины истинности или ложности заключений, полученных из истинных посылок, надолго стали предметом изучения в логике.

Стройную научную систему логики впервые разработал великий греческий  учёный Аристотель (ученик Платона, воспитатель  Александра Македонского). В своём  логическом своде «Органон» («Категории», «Об истолковании», «Аналитики» 1-я и 2-я, «Топика») он создал раздел формальной логики силлогистику. Его труды оказали влияние на развитие логической науки во всём мире. В Европе до 17 века вся логика развивалась на основе аристотелевского учения.Первые значительные попытки превращения логики в математическую науку сделал великий немецкий учёный и политический деятель Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716). Однако решающего успеха в этом направлении добился в 1847 году английский математик Джордж Буль (1815-1864), построив алгебру логики, названную в его честь булевой.

Основными разделами современной  математической логики (её классического  варианта) являются логика высказываний, идущая от Дж. Буля и не охватывающая силлогистику Аристотеля, и значительно более широкая логика предикатов, содержащая силлогистику как часть. Современный вид математическая логика приобрела в 1880-е годы в трудах немецкого логика, математика и философа Готлоба Фреге (1848-1925). Он дал первую аксиоматику логики высказываний и предикатов и сделал попытку свести математику к логике.

Основные понятия  формальной логики

Слово логика означает совокупность правил, которым подчиняется процесс  мышления. Сам термин "логика" происходит от древнегреческого logos, означающего "слово, мысль, понятие, рассуждение, закон". Формальная логика - наука о формах и законах мышления. Законы логики отражают в сознании человека свойства, связи и отношения объектов окружающего мира. Логика как наука позволяет строить формальные модели окружающего мира, отвлекаясь от содержательной стороны. Основными формами мышления являются понятия, суждения и умозаключения.     

Понятие - это форма мышления, которая  выделяет существенные признаки предмета или класса предметов, отличающие его  от других. Например, компьютер, человек, ученики. 
     Суждения - это форма мышления, в которой утверждается или отрицается связь между предметом и его признаком, отношения между предметами или факт существования предмета и которая может быть либо истинной, либо ложной. Языковой формой выражения суждения является повествовательное предложение. Вопросительные и побудительные предложения суждениями не являются.     

Суждения рассматриваются не с  точки зрения их смысла и содержания, а только с точки зрения их истинности или ложности. Истинным будет суждение, в котором связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных объектов. "Дважды два равно четырем" - истинное суждение, а вот "Процессор предназначен для печати" - ложное. Суждения могут быть простыми и сложными. "Весна наступила, и грачи прилетели" - сложное суждение, состоящее из двух простых. Простые суждения (высказывания) выражают связь двух понятий. Сложные - состоят из нескольких простых суждений. 
     Умозаключение - прием мышления, позволяющий на основе одного или нескольких суждений-посылок получить новое суждение (знание или вывод). 
     Примерами умозаключений являются доказательства теорем в геометрии. Посылками умозаключения по правилам формальной логики могут быть только истинные суждения. Тогда и умозаключение будет истинным. Иначе можно прийти к ложному умозаключению. 
     Математическая логика изучает вопросы применения математических методов для решения логических задач и построения логических схем, которые лежат в основе работы любого компьютера. Суждения в математической логике называют высказываниями или логическими выражениями. Подобно тому, как для описания действий над переменными был разработан раздел математики алгебра, так и для обработки логических выражений в математической логике была создана алгебра высказываний, или алгебра логики.

Определение высказывания

Алгебра высказываний. Высказывания. Простые и сложные высказывания.

В основе работы логических схем и  устройств персонального компьютера лежит специальный математический аппарат - математическая логика. Математическая логика изучает вопросы применения математических методов для решения логических задач и построения логических схем. Знание логики необходимо при разработке алгоритмов и программ, так как в большинстве языков программирования есть логические операции. 
Алгебру логики иначе называют алгеброй высказываний. В математической логике суждения называются высказываниями.

Логическое высказывание (суждение ) — это любое повествовательное  предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Например: 
Земля - планета Солнечной системы. (Истинно)

2+8<5 (Ложно) 5 · 5=25 (Истинно)

 Всякий квадрат есть параллелограмм (Истинно)

 Каждый параллелограмм есть квадрат (Ложно)

 2 · 2 =5 (Ложно)

Не всякое предложение является высказыванием:

 1. Восклицательные и вопросительные предложения высказываниями не являются.

 - “Какого цвета этот дом?”

- “Пейте томатный сок!”

-“Стоп!”

2. Не являются высказываниями  и определения.

 “Назовем медианой отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой

противоположной стороны”.

Определения не бывают истинными  или ложными, они лишь фиксируют  принятое использование терминов.

 3. Не являются высказываниями и предложения типа “Он сероглаз” или “х -4х+3=0” - в них не указано, о каком человеке идет речь или для какого числа х верно равенство. Такие предложения называются высказывательными формами.

Некоторые высказывания можно разложить на отдельные части, при этом каждая такая часть будет самостоятельным высказыванием. Например, высказывание “Сегодня в 4 часа дня я был в школе, а к 6 часам вечера пошел на каток” состоит из 2 частей. Высказывание может состоять и из большего количества частей.

Высказывание, которое можно разложить  на части, будем называть сложным, а  неразложимое далее высказывание - простым.

Сложное высказывание получается путем  объединения простых высказываний связками - частицей НЕ; союзами И; ИЛИ; НЕВЕРНО, ЧТО...; ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА..., КОГДА...; ЕСЛИ..., ТО... Значение истинности cложных высказываний зависит от истинности входящих в них простых высказываний и объединяющих их связок.

Например, даны четыре простых высказывания:

 На улице идет дождь. (1)

 На улице светит солнце. (2)

На улице пасмурная погода. (3)

 На улице идет снег. (4)

Составим из них сложные высказывания:

 На улице идет дождь и на улице светит солнце.

 На улице светит солнце или на улице пасмурная погода.

 Неверно что на улице идет дождь и на улице идет снег.

 Тогда и только тогда на улице идет дождь, когда на улице пасмурная погода.

 На улице не идет дождь и на улице не идет снег.

 Если на улице идет дождь, то на улице светит солнце.

В математической логике не рассматривается конкретное содержание высказывания, важно только, истинно оно или ложно. Поэтому высказывание можно представить некоторой переменной величиной, значением которой может быть только 0 или 1. Если высказывание истинно, то его значение равно 1, если ложно - 0. Простые высказывания назвали логическими переменными, а сложные высказывания логическими функциями. Значения логической функции также только 0 или 1. Для простоты записи высказывания обозначаются латинскими буквами А, В, С.

Существуют разные варианты обозначения истинности и ложности переменных:

Истина	И	True	T	1
Ложь	Л	False	F	0

 

Использование знаков 0 и 1 подчеркивает некоторое соответствие между значениями логических переменных и функций  в математической логике и цифрами  в двоичной системе счисления. Это позволяет описывать работу логических схем ПК и проводить их анализ и синтез с помощью математического аппарата алгебры логики. 
Любое устройство ПК, выполняющее действия над двоичными числами, можно рассмотреть как некоторый функциональный преобразователь. Причем входные числа - значения входных логических переменных, а выходное число - значение логической функции, которое получено в результате выполнения определенных операций. Таким образом, этот преобразователь реализует некоторую логическую функцию.

Алгебра логики изучает строение (форму, структуру) сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.

Логические операции. Таблицы истинности

Употребляемые в обычной речи связки «и», «или», «не», «если ..., то ...», «тогда и только тогда, когда ...» и т. п. позволяют из уже заданных высказываний строить   новые   сложные   высказывания.   Истинность   или ложность получаемых таким образом высказываний зависит от истинности и ложности исходных высказываний и соответствующей трактовки связок как логических операций над высказываниями.

Логическая операция полностью  может быть описана таблицей истинности, указывающей, какие значения принимает  сложное высказывание при всех возможных  значениях простых высказываний.

В алгебре логики логические связки и соответствующие им логические операции имеют специальные названия и обозначаются следующим образом:

Логическая связка	Название логической операции	Обозначения
не	Отрицание, инверсия	¯,┐¬
И,а,но,хотя	Конъюнкция,логическое умножение	&,·•,^
или	Дизъюнкция, нестрогая дизъюнкция, логическоесложение	+
либо	Разделительная (строгая)    дизъюнкция, исключающее ИЛИ, сложение по модулю 2	, ∆
Если…,то	Импликация, следование
Тогда и только тогда,когда	Эквивалентность, эквиваленция, равнозначность	,~, ,

Логические операции.

A	B	F
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

F = A & B.

Логическое умножение  КОНЪЮНКЦИЯ  - это новое  сложное выражение будет истинным только тогда, когда истинны оба исходных простых выражения. Конъюнкция определяет соединение двух логических выражений с помощью союза И.  

 

 

  

A	B	F
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

F = A + B 

Логическое сложение – ДИЗЪЮНКЦИЯ - это новое сложное выражение  будет истинным тогда и только тогда, когда  истинно хотя бы одно из исходных (простых) выражений. Дизъюнкция определяет соединение двух логических выражений с помощью союза ИЛИ