Задача по "Теории вероятности"

Задача 5. Плотность вероятности  случайной величины Х имеет вид:

Известно, что вероятность Р(Х 4) = 0,5.

Найти:

а) параметр а;

б) дисперсию  D(X);

в) вероятность  Р(2 Х 5);

г) функцию  распределения F(X).

Решение.

а) Заметим, что исходя из условия величина Х  распределена по нормальному закону распределения с параметрами  = 3 и а = ?.

Р(Х 4) = Р(4 Х ) = Ф( ) – Ф( ) = Ф( ) – Ф( ) 0,5 - Ф( ).

Из условия  Р(Х 4) = 0,5 имеем:

Ф( ) 0;

  0;

а 4.

б) D(X) = = 9.

в) Р( Х ) = Ф( ) – Ф( );

Р(2 Х 5) = Ф( ) – Ф( ) = Ф( ) - Ф( ) = Ф( ) + Ф( ) 0,1293 + 0,2486 = 0,3779.

г) Функция  нормального распределения имеет  вид:

F(X) = + Ф( ).

Из условия  имеем:

F(X) = + Ф( ).

Ответ:   а  4;   D(X) = 9;   Р(2 Х 5) 0,3779;   F(X) = + Ф( ).