Шпаргалка по "Математике"

 

№23 а)Непрерывность ф-ии в точке и  на промежутке.б) Св-ва ф-ций, непрерывных  на отрезке. в)Точки разрыва.г)Примеры.

а) Функция у= f (х) наз непрерывной в точке х_о, если она удовлетворяет след условиям:1)определена в точке х_о, т е сущ f (х_о), 2) сущ конечные односторонние пределы ф-ии при х→х_о слева и справа. 3) Эти пределы равны значению ф-ии в точке f (х_о)=lim_x→xo-o f (х)= lim_x→xo+o f (х). Ф-ия у= f (х) наз непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

б)1^о Если ф-ия у= f (х) непрерывна на отрезке [a;b],то она ограничена на этом отрезке. (рис.) 2^о Если ф-ия у= f (х) непрерывна на отрезке [a;b],то она достигает на этом отрезке наименьшего значения т и наименьшего М. (рис). 3^о Если ф-ия у= f (х) непрерывна на отрезке [a;b] и значения ее на концах отрезка f (а) и f (b) имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется т. Е є (a;b) такая, что f (Е)=0. (рис).

в) Если в какой-либо точке х_о для ф-ии у=f(х) не выполняется по крайней мере одно из условий непрерывности, то точка х_о наз точкой разрыва ф-ии, причем 1)если сущ конечные односторонние пределы ф-ии, не равные др другу, т е lim_x→xo-o f (х)≠ lim_x→xo+o f (х), то точка х_о наз точкой разрыва 1-го рода. 2)если хотябы один из односторонних пределов ф-ии =∞ или несущ: lim_x→xo-o f (х)=∞, lim_x→xo+o f (х)=∞, то точка х_о наз точкой разрыва 2-го рода.

г) Пример: Исследовать ф-цию на непрерывность, установить характер точек разрыва. У=х/(х-1) х=1 1) f(1)-неопределенна, 2) lim_x→1-o х/(х-1)= -∞, lim_x→1+o х/(х-1)= +∞,

х=1- точка разрыва 2-го рада.

 

№28 Теоремы Ролля и Лагранжа (без  док-ва). Геометрическая интерпретация  этих теорем.

Теорема Роля: Пусть ф-ия у= f (х) удовлетворяет след условиям: 1) непрерывна на отрезке [a;b],2) дифференцируема на интервале (a;b), 3) на концах отрезка принимает равные значения f (а)=f (b), тогда внутри отрезка сущ по крайней мере одна точка С є (a;b), производная в кот =0, f ^/(С)=0.Рассм геометрич смысл теоремы: Теорема Роля утверждает, что если ф-ция удовлетворяет всем указанным условиям, то внутри интервала найдется хотыбы одна точка С (в нашем сл их 3-С₁,С₂,С₃), касательная к графику в этой точке будет параллельна оси ОХ.

Теорема Лагранжа: Пусть ф-ия у= f (х) удовлетворяет след утверждениям: 1) непрерывна на отрезке [a;b],2) дифференцируема на интервале (a;b), то тогда внутри интервала (a;b) сущ по крайней мере одна точка С є(a;b), производная ф-ии в кот =отношению приращения ф-ии на этом интервале к приращению аргумента f ^/(С)=(f (b)- f (с))/ (b-с). Рассм геометрич смысл теоремы: Теорема Лагранжа утверждает, что в интервале (a;b) найдется по крайней мере одна точка С такая, что касательная проведенная к графику ф-ии в этой точке будет || прямой АВ, соединяющей концы графика ф-ии на отр АВ.

 

№24 а)Производная и ее геометрический смысл.б) Уравнение касательной к  плоскости кривой в заданной точке.

а)Производной ф-ии у= f (х)  наз предел отношения приращения ф-ции ∆у к приращению аргумента ∆х при условии, что ∆х→0: у^/=lim_∆х→0∆у/∆х.. Геометрич смысл производной ф-ии в точке: производная ф-ии в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику ф-ии в этой точке. k=f ^/(х_о).

б) у-у_о= f ^/ _хо (х_о)(х-х_о)- уравнение касательной.

 

№25 а)Дифференцируемость ф-ции одной  переменной.б) Связь м/д дифференцируемостью  и непрерывностью ф-ии (доказать теорему).

б)Теорема: Если ф-ия у= f (х) дифференцируема в точке х_о, то она в этой точке непрерывна.

По усл ф-ия у= f (х) дифференцируема в точке х_о, т е сущ конечный предел lim_∆х→0∆у/∆х= f ^/(х_о),где f ^/(х_о)-постоянная величина, не зависящая от ∆х. Тогда на основании теоремы о связи бесконечно малых с пределами ф-ий можно записать: ∆у/∆х= f ^/(х_о)+L(∆х), где L(∆х)- бесконечно малая величина при ∆х→0 или ∆у= f ^/(х_о) ∆х +L(∆х) ∆х.  При ∆х→0 на основании св-в бесконечно малых устанавливаем, что ∆у→0 и следов по опред ф-ия у= f (х) в точке х_о явл непрерывной. Обратная теорема не верна. Т о неперерывность ф-ии необходимое, но не достаточное усл дифференцируемости ф-ии.

 

№37 а)Понятие первообразной ф-ции. б)Неопределенный интеграл и его св-ва (одно доказать).

а) Ф-ия F(x) наз первообразной ф-ией для ф-ии f (х) на интервале Х, если в каждой точке этого интервала F^/ (x)= f (х).

б) совокупность всех первообразных ф-ции f (х) на промежутке Х наз неопред интегралом от ф-ии  f (х). Обозначается ∫ f (х)dx=F(x)+C , (х)-подынтегральная ф-ия. f (х)dx-подынтегральное выражение, dx-дифференциал переменной интегрирования. Св-ва: 1)Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной ф-ии (∫ f (х)dx)^/= f(х). Дифференцирую левую и правую части равенства, получаем: (∫ f (х)dx)^/=( F(x)+C)^/= F^/ (x)+C^/= f (х). 2) дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению. d (∫ f (х)dx)= f (х)dx. 3) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой ф-ии равен этой ф-ии с точностью до постоянного слагаемого ∫ d F(x)= F(x)+С. 4) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: ∫С f (х)dx=С ∫f(х)dx; 5) Интеграл от суммы (разности) ф-ий равен сумме (разности) интегралов от этих ф-ий:  ∫(f(х)+- g(х)) dx= ∫f(х) dx +-  ∫g(х) dx.

 

№38 Метод замены переменной в неопределенном интеграле и особенности применения этого метода при вычислении определенного  интеграла.

Пусть задан интеграл ∫ f (х)dx- не может быть непосредственно преобразован к табличному интегралу. Введем новую переменную  t след образом: х=φ(t). Dx= φ^/(t)dt. ∫ f (х)dx=∫ f [φ(t)]φ^/ (t)dt=∫ φ(t)dt-формула замены переменной в неопред интеграле.

Пусть ф-ия х= φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [L;B], причем а=φ(L), b=φ(B). А данная ф-ия f (х) не прерывна в каждой точке х, где х= φ(t), тогда справедлива след формула: ∫^b_a f (х)dx=∫^b_a f [φ(t)]φ^/ (t)dt-  формула замены переменной в определенном интеграле.

 

№41 а)Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу. б)ТФормула Ньютона-Лейбница.

а)Теорема: Пусть ф-ия f (х) непрерывна на отрезке [a;b], тогда в каждо точке х отрезка [a;b] производная ф-ии Ф(х) по переменному верхнему пределу равна подынтегральной ф-ии f (х), т е Ф^/(х)=(∫^х_аf(t)dt)=f(x).

б) Пусть ф-ия у=f (х) непрерывна на отрезке [a;b], F(x)-любая первообразная для ф-ии f (х) на отрезке [a;b], тогда определенный интеграл от ф-ии f (х) на отр [a;b] равен приращению первообразной F(x) на этом отрезке: ∫^b_af(x)dx=F(b)-F(a)=F(x)|^b_a.-формула Ньютона-Лейбница.

 

№42 а)Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.б)Интеграл Пуассона(без док-ва)

а) Несобственным интегралом с бесконечным верхним переделом ∫^+∞_а f(x)dx от ф-ии f(x) наз предел интеграла ∫^t_а f(x)dx, t→+∞, ∫^+∞_а f(x)dx=lim_t→+∞ ∫^t_а f(x)dx. Если этот предел сущ или равен конечному числу, то интеграл наз сходящимся, а противном случае расходящимся. Аналогично: Несобственный интеграл с нижним бесконечным пределом: ∫^b_-∞ f(x)dx=lim_t→-∞ ∫^b_t f(x)dx.

 

№43 вычисление площадей плоских фигур  с помощью определенного интеграла. Примеры.

1)Пусть ф-ия у= f(x) неопределенна и неотрицательна на отр [a;b], тогда согласно геометрическому смыслу определенного интеграла S криволинейной трапеции, ограниченной кривой у= f(x), осью ОХ, слева прямой х=а, справа прямой х=b численно равна опред интегралу от ф-ии f(x) на отрезке [a;b]. S=∫^b_af(x)dx. (рис).

2)Если ф-ия у= f(x) неположительная на отр [a;b], то S над кривой  у= f(x) вычисляется по формуле : S=-∫^b_af(x)dx. (рис).

3)Пусть плоская область  ограничена сверху ф-ией у= f(x), снизу ф-ией у= g(x), слева и справа прямыми х=а, х=b, тогда ее S вычисляется по формуле: S=∫^b_a[f(x)-g(x)]dx. (рис).

    Пример: Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями у= -х²,у=е^2х,х=0,х=1. (рис). S=∫¹_o(e^2x+x²)dx=∫¹_oe^2xdx+∫¹_ox²dx=| 2x=t, 2dt=dt, x=0 t=0, x=1 t=2|= 1/2∫²₀e^tdt+x³/3|¹_o=1/2e^t|²_o+1/3=1/2(e²-e^o)+1/3=e²/2-1/6 (кв.ед).

 

№45 а)Понятие о дифференциальном уравнении.б)Общее  и частное решения.в) Задача Коши.г)Задача о построении матеметической модели демографического процесса.

а)Дифференциальным уравнением наз уравнение, связывающее искомую ф-цию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков донной ф-ии.

б)Общим решением дифференциального ур-ния g(x,y,y^/,…,y⁽ⁿ⁾)=0 n-го порядка наз такое его решение у=φ(х,с_1,…,с_п), кот явл ф-ией переменной х и произвольных независимых постоянных С_1,С₂,…,С_п. (независимость постоянных означает отсутствие каких-либо соотношений м/д ними). Частным решением дифференциального ур-ния наз решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных С_1,С₂,…,С_п.

 

№47 Однородные и линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и их решения. Примеры.

Однородные: у^/=f(y/x). Решение: Выполняем замену у=и(х)х. у^/=и^/х+х^/и=и^/х+и. и^/х+и=f(их/х).Получили уравнение с разделяющими переменными: и^/х=f(и)и. хdи/х=f(и)-и. Пример: (ху-х²)у^/=у²-уравнение с разделяющими переменными у^/=у²/(ху-х²)=у²/х²(у/х-1)=(у/х)²/(у/х-1)-однородное уравнение. и^/х+и=f(их/х)=(их/х)²/(их/х-1); и^/х+и=и²/(и-1); dи/dx∙х=(и²/(и-1))-и; dи/dx∙х=и/(и-1); dи∙х=и(и-1) dx; (и-1)/и dи=dх/х; ∫(и-1)/и dи =∫ dх/х; ∫(и-1)/и=∫и/и-∫1/и=и-ln|и|; и=ln|u|+C=lnx; u=ln|u|+ln|x|+ln|C|; u=ln|cux|; y|x=ln|c∙y/x∙x|; y/x=ln|cy|; y=xln|cy|.

Линейные: у^/+Р(х)у=Q(x). Решение: Замена у=u(x)∙v(x) или y=uv. y^/=u^/v+v^/u, y=u(x)v(x). u(v^/+P(x) v)+u^/v= Q(x). Пусть { v^/+P(x) v =0; u^/v= Q(x)}. Каждое уравнение системы явл дифференциальным уравнением с разделяющими переменными. Решаем их и записываем общее решение, как у=u v. Пример: у^/-2у=е^2х, у= u(x)∙v(x), y^/=u^/v+v^/u, u^/v+v^/u-2 uv=е^2х; u(v^/-2v)+u^/v=e^2x; {u^/-2v=0,u^/v=e^2x}; dv/dx=2v; dv=2vdx; dv/v=2dx; ∫dv/v=2∫dx; ln|v|=2x+C (C=0); v=e^2x. u^/v=e^2x; u^/e^2x=e^2x; u^/=1; du/dx=1; du=dx; ∫du=∫dx; u=x+C; y=uv=(x+C)e^2x-общее решение.

 

№48 а)Определение числового ряда.б) Сходимость числового ряда.в) Необходимый  признак сходимости рядов (доказать). Примеры.

а)Числовым рядом наз бесконечная последовательность чисел и_1,и_2,…,и_п,…, соединенных знаком сложения. и₁₊и_2+…+и_п…=∑^∞_п=1и_п,, и₁₊и_2+…+и_п…-члены ряда, и_п-общий или п-ый член ряда.

б)Ряд наз сходящимся, если сущ конечный предел последовательности его частичных сумм, т е lim_n→∞S_n=S. Число S- сумма ряда. В этом смысле можно записать и₁₊и_2+…+и_п+…=∑^∞_п=1и_п=S.

в)Теорема( необходимый признак сходимости). Если ряд сходится, то предел его общего члена и_п при п→∞ равен нулю, т е lim _п→∞u_n=0. Выразим п-ый член ряда ч/з сумму его п и (п-1) членов, т е и_п=S_n-S_n-1. Т к ряд сходится, то lim _п→∞ S_n=S и lim _п→∞S_n-1=S, следов. lim _п→∞u_n= lim _п→∞ (Sn- S_n-1)= lim _п→∞ S_n- lim _п→∞S_n-1=S-S=0.

Пример: ∑^∞_п=1(4n+3)/(5n-7); lim _п→∞u_n= lim _п→∞(4n+3)/(5n-7)=4/5≠0, т е ряд расходится.

 

№14 а) Уравнение линии на плоскости. б)Точка пересечения двух линий.в) Огсновные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести).

Опр. Урав-ем линии(кривой) на плоскости Oxy наз-ся урав-е, кот.удовлетворяют координаты x и y каждой точки данной линии и не удовлет.координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Точка пересеч-я  двух линий: система двух прямых A₁x+B₁y+C₁=0;A₂x+B₂y+C₂=0 – если прямые не параллельны, т.е. А₁/А₂  НЕ РАВНО В₁/В₂, то реш-е системы дает единственную точку пересеч-я прямых.

Осн.виды урав-ий прямой на плос-ти: 1)Урав-е пря-й, проход-щей через данную точку в данном направ-и: y-y₁=k(x-x₁). 2)Если в урав-и k-производное число,то это урав-е определяет пучок прямых,проходящих через точку M₁(x₁, y₁), кроме прямой, параллельной оси Oy и не имеющей углового коэффициента.При-р:урав-е пучка прямых, проходящ-х через точку A(3;-2), имеет вид y+2=k(x-3). 3)Урав-е прямой, проходящ-й через две данные точки: угловой коэф-т прямой:k=y₂-y₁/x₂-x₁. y-y₁=y₂-y₁/x₂-x₁ * (x-x₁). 4) Урав-е прямой в отрезках наз-ся урав-е x/a +y/b=1. 5) Общее урав-е прямой и его исследование: При любых А,В(не равных одновременно нулю) и С урав-е (А_х+B_y+C=0) есть урав-е некоторой прямой линии на плоскости Oxy. А_х+B_y+C=0 наз-ся общим урав-ем прямой.

 

№30 а)Определение экстремума ф-ии одной  переменной.б) Необходимый признак  экстремума (доказать).

а)Экстремумами наз точки максимума и минимума. Точка х_о наз точкой максимума ф-ии f(x), если в некоторой окрестности т. х_о выполняется неравенство f(x)≥f(x_o). Точка х₁ наз точкой минимума ф-ии f(x), если в некоторой окрестности т. х₁ выполняется неравенство f(x)≤f(x₁).

б)Необходимое условие экстремума: Для того чтобы ф-ия у= f(x) имела экстремум в точке х_о, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю (f ^/(x_o)=0) или не существовала.

 

№50 Признаки сравнения Доламбера сходимости знакоположительных рядов. Примеры.