Шпаргалка по "Математике"

№11 Теорема  и формулы Крамера решения  системы n линейных уравнений с n переменными (без вывода).

Теорема: Пусть ∆-определитель матрицы системы А, ∆_j-определитель матрицы полученный из матрицы А заменой j-столбца столбцом свободных членов, если определитель матрицы А не =0, то система имеет ед. решение, найденное по формуле x_j=∆j/∆. Формулы x_j=∆j/∆(j=1,2,…,n) получили название формул Крамера.

 

 

№12 Понятие функции, способы задания ф-ций. Область определения. Четные и нечетные, ограниченные, монотонные функции.

Если каждому элементу х множества  Х соответствует вполне определенный элемент у из множества У, то говорят, что на множестве Х задана ф-ция у=f(x), при этом х- независимый аргумент, у- зависимая переменная. F означает, что над переменной х необходимо провести какие-то операции, чтобы получить значение у. Множество Х- область опред. или область существования ф-ции D(f), D(y), множество У –значения ф-ции E(f),E(y).

Способы задания ф-ций: 1. Аналитический, т е ф задается в виде у=f(х).2. Табличный, задается таблица содержащая значения аргумента х и соответствующие значения ф-ции у(х). 3.  Графический, состоит в том, что изображается график ф-ции, на числовой плоскости отмечаются точки, первая координата соответствует аргументу х, а вторая значения ф-ции у(х). Область определения может представлять собой: 1. интервал D(f)=(a;b); a<x<b.2.Отрезок D(f)=[a;b]; a<=x<=b. 3.полуинтервал D(f)=(a;b]; a<x<=b. D(f)=[a;b); a<=x<b.4.бесконечный интервал D(f)=(-∞;+∞);-∞<x<+∞. D(f)=(-∞;a];-∞<x<=a. D(f)=(b;+∞);b<x<+∞. 5.совокупность нескольких интервалов, полуинтервалов и отрезков.

Ф-ция у=f(x) наз четной, если для любого х из области определения выполняется у(-х)=у(х) и нечетной, если у(-х)=-у(х). Ф-ция  у=f(x) наз ограниченной(sinx,cosx) на промежутке х, если сущ. такое положительное число М, что для всех х из этого промежутка (х€Х). f(x) по модулю не превосходит М(|f (х)|<=М), в противном случае ф-ция называется неограниченной.

Ф-ция у=f(x) наз. возрастающей(убывающей) на промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее(меньшее) значение ф-ции. Возрастающие (убывающие) ф-ции называются монотонными. у=е^х, у=log_1/3х.

 

№1. а)Понятие матрицы. б)Виды матрицы. в)Транспонирование матрицы. г)Равенство матриц. д)Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц.

а)Матрицей размера m×n наз прямоугольная таблица сост из m-строк и n-столбцов.

        ⌠а₁₁а₁₂а_13……а_1n ⌠                           

  А=  |a₂₁a₂₂a_33……a_2n   |=(a_ij)_m×n=[a_ij]_m×n.  

         |……………… |                             

        ⌡a_m1a_m2a_m3…a_mn⌡

a_ij-элементы матрицы. i-номер строки j-номер столбца

б)Матрица сост из одной строки наз матрицей строкой(вектором строкой):В=(b₁₁b_12…b_1n).

Матрица сост из одного столбца  наз матрицей-столбцом(вектором-столбцом).

     [c₁₁] 

C=| c₂₁ |

     | … |

     [c_m1]

Если кол-во строк = кол-ву столбцов, то матрица наз квадратной размера m×n (матрица порядка m). Диагональная матрица-матрица все элементы кот, кроме диагональных =0.

Элементы матрицы у  кот номер столбца = номеру строки наз диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Если у диагональной матрицы все диагональные элементы =1, то она наз единичной. (Е=(…)). Матрица любого размера называется нулевой если все ее элементы равны 0.

в)Транспонирование матрицы- переход от матрицы А к матрице А^/, в кот строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица А^/ наз транспонированной относительно матрицы  А. Св-ва: 1) (А^/)^/=А, 2) (λА^/)^/=λА^/, 3) (А+В)^/=А^/+В^/.4) (АВ)^/=А^/В^/.

г)Две матрицы А и В одного размера наз равными,если они совпадают поэлементно, т е a_ij=b_ij для любых i=1,2,…m; j= 1,2,…,n.

д)1. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А на число λ наз матрица В=λА, элементы кот b_ij=λa_ij для i=1,2,…,m;  j=1,2,…,n. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы. Произведение матрицы А на число 0, равно нулевой матрице. (0А=0).

2. сложение  матриц. Суммой двух матриц А и В одинакового размера m×n наз матрица С=А+В, элементы кот c_ij=a_ij+b_ij  для i=1,2,…,m;  j=1,2,…,n. ( т е матрицы складываются поэлементно). В частности А+0=А.

3. Вычетание  матриц. Разность двух матриц одинакового размера опред ч/з предыдущие операции А-В= А+(-1)В.

4. Умножение  матриц.  Умножение матрицы А на матрицу В определено, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Произведением матрицы А размера m×k на матрицу В размера k×n наз матрица С размера m×n, каждый элемент кот = сумме произведений элементов i-строки матрицы А на соответствующие элементы j-столбца матрицы В. c_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+…+a_ikb_ik.

 

 

№4. а)Понятие минора к-го порядка. б)Ранг матрицы(определение).в)Вычисление ранга  матрицы с помощию элементарных преодразований.Пример.

Минором M_ij эл-та a_ij квадр.м-цы A n-ого порядка наз-ся опред-ль квадр.подм-цы n-1-го порядка, полученной из исходной вычёкиванием i-строки и j-ст-ца.

а)В матрице А размера т×п вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы к-го порядка, где к<=min(m;n). Определители таких подматриц наз минорами к-го порядка матрицы А.

б)Рангом матрицы А наз наивысший порядок отличных от 0 миноров этой матрицы.

в)Элементарные преобразования: 1) отбрасывание нулевой строки(столбца). 2) Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное 0. 3) Изменение порядка строк (столбцов) матрицы. 4) Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов др строки (столбца), умноженных на любое число. 5) Транспонирование матрицы.

Пример. (0 -1   3  0  2)

         А= (2 -4   1  5  3)= (2 -4 1 5 3)

               (-4 5 7 -10 0)    (0 -1 3 0 2).

               (-2 1 8  -5  3)

r(A)=2. Матрица имеет ступенчатый вид и содержит миноры 2-го порядка, не =0, например |2 -4|

                  |0 -1|=-2 не=0.

 

№5. а)Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. б)Теорема о ранге матрицы.

Линейная зависимость и независ.строк  м-цы.Расм.прямоуг.м-цы А_mxn

l₁=(a₁₁,a₁₂,a₁₃,a₁₄,..,a_1n) – 1-я строка; l2=(a₂₁,a₂₂,a₂₃,a₂₄,..,a_2n) – 2-я строка.

l_m=(a_m,a_m2,a_m3,a_m4,..,a_mn)  Линейной комбинацией строк м-цы наз-ся выраж. λ– «лямбда».

λ _{1 *} k₁+ λ ₂k₂+… + λ _m-1k_{m -1}+ λ _mk_m  , где все λ -это числа.

Опред.:строки l₁,l₂,..,l_m – линейно независимые,если их линейная комбинация равна нулевой строке,когда все числа λ =0 (λ ₁=0, λ ₂=0, λ ₃=0,.. λ _m=0). Если опред-ль А не=0, то строки линейно независимы.

Опр:строки l₁,l₂,l₃,..l_m-1,l_m – лин.завис.,если их лин.комбинация = нулевой строке только, когда хотя бы одно из чисел λ ₁, λ ₂, λ _m ≠0.

ТЕОР.о ранге  м-цы. Ранг м-цы равен максимальному числу её лин.независ.строк или ст-в м-цы, через которые линейно выражаются все остальные её строки (ст-цы).

Пусть м-ца А размера mxn имеет ранг r(r≤min(m;n)). Это означает,что сущ-ет отличный от нуля минор r-го порядка. Всякий нулевой минор r-го порядка будет наз-ть базисным минором. Пусть для определённости это минор

      |a₁₁ a₁₂ ... a_1r|

      |a₂₁ a₂₂ ... a_2r|

∆= |...                 | ≠0.

      |a_r1 a_r2  ...  a_rr|

Тогда строки м-цы e1,e2,...,er линейно независимы. Предположим противное,т.е.одна из этих строк,напр. еr, явл-ся лин-й комбинацией остальных:

e_r=λ₁e₁+λ₂e₂+...+λ_r-1e_r-1.

Вычтем из эл-тов r-й строки эл-ты 1-й строки,умноженные на λ₁, эл-ты 2-й строки, умноженные на  λ₂, и т.д., наконец,эл-ты (r-1)-й строки,умнож-е на λ_r-1. При таких преобразованиях м-цы её опред-ль ∆ не изм-ся, но т.к. теперь r-я строка будет состоять из одних нулей, то ∆=0 – противоречие, и наше предполож.неверно.

 

6. Векторы.  Операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на число), n-мерный вектор. Понятие о векторном пространстве и его базисе.

 Геом.вектор. Вектор АВ^-> – направленный отрезок прямой (АВ) с нач.в т.А и концом в т.В. При умнож.вектора на число «У» получается коллинеарный в-р.

Длина в-ров |АВ|= кв.корень х²+у²                   

 В-ры,лежащие на одной прямой наз-ся коллинеарными. В-ры,лежащие в одной плоскости или ||-ных плоскостях наз-ся компланарными. Если нач.и конец вектора совп.,то в-р наз-ют нулевым. Длина нул.вект.=0.

Вектором,противоп-м в-ру а^->,наз-ся произвед.в-ра а^->на ч-ло (-1),т.е. - а^->=(-1)а^->.

Координатами в-ра а^-> наз-ся корд-ты его конечной точки. На плоскости Oxy два ч-ла - (х;у), в пространстве Oxyz три ч-ла - (х;у;z).

В-р а^-> = (x;y;z)  мож.б.записан в виде а^-> =   хi^-> +yj^->+zk^->.    i^->,j^->,k^-> – единичные в-ры(орты),совпадающие с направл.соотв.осей Ох,Оу,Оz. хi^->,уj^->,zk^-> - компоненты в-ра.

Операции над  в-ми:

1) Суммой двух в-ров а^-> и b^-> наз-ся в-р с^->=а^->+ b^->,нач.кот.совп-т с нач.в-ра а^->, а конец – с концом в-ра b^->при усл.,что нач.в-ра b^-> совп.с концом в-ра а^->.

Правило треугольника. Для слож.2-х в-ров а^->и b^->  по правилу треуг-ка оба эти в-ра переносятся ||-но самим себе так,чтобы нач.одного из них совп.с концом другого. Тогда в-р суммы задаётся 3-ей стороной образовавшегося треуг-ка, причём его нач.совп.с нач.первого в-ра.

2)умнож.в-ра на ч-ло:при умнож.в-ра на ч-ло Y пол-ся коллинеарный в-р. (Произвед.в-ра а^-> на ч-ло У наз-ся в-р b^->=Уа^->,имеющий длину |b^->|=|У||а^->|,направление кот.совп.с направл.в-ра а^->, если У<0.) Если b^->=  а^->Y,то а^->|| b^->. И наоб.,если а^->|| b^->( а^->не=0),то b^->=  а^->Y.

3) Разностью 2-х в-ров а^->и b^-> наз-ся сумма в-ра  а^-> и в-ра -b^->,противоположного b^->.

||Скалярным  произведением 2-х в-ров наз-ся ч-ло,равное произведению длин этих в-ров на косинус угла между ними: а^-> * b^-> *cosф, где ф-угол между в-рами а^-> и b^->. В-ры явл-ся ||-ми тогда и только тогда, когда их скал.произвед.=0.

  ||n-мерным в-ром наз-ся упорядоченная совокуп.n действительных чисел,записываемых в виде х=(х₁,х₂,..,х_n),где числа х₁,х₂,х₃,..х_n компоненты в-ра.

Равенство в-ров.Векторы х и y равны тогда и только тогда, когда равны их соотв.компоненты,т.е. х=у,если х_i=у_j, i=1,2,…,n.

Суммой 2-х  в-ров одинак.размерности n наз-ся в-р z=x+y,компоненты кот.равны сумме соотв.компонент слагаемых в-ров,т.е.z_i=x_i+y_i,i=1,2,...,n.

Произв-м в-ра на действит.ч-ло Y наз-ся в-р u=Yx,комп-ты кот.равны произв-ю Y на соотв.комп-ты в-ра х,т.е. u_i = Yx_i, i=1,2,...,n.

Линейные оп-ции  над люб.в-рами удовлет.след.св-вам: 1)х+у=у+х – коммутативное, 2)(х+у)+z=х+(у+z) – ассоциативное(сочетательное), 3)альфа(бета*х)=(альфа*бета)х, 4)альфа(х+у)=альфа*х+альфа*у, 5)(альфа*бета)х=альфа*х+бета*х, 6)сущ-т нул.в-р 0=(0,0,…,0)такой,что х+0=х для люб.в-ра х., 7)для люб.в-ра  сущ-т противоп.в-р (-х) такой,что х+(-х)=0., 8)1*х=х для люб.в-ра х.

Опр.:ВЕКТОРНОЕ ПР-ВО:множество в-ров с действит.компонентами,в котором определены операции сложения в-ров и умнож.в-ра на ч-ло,удовлетворяющее приведённым выше 8-ми св-вам.

n-векторное пространство – это множество всех n-мерных векторов.

Вектор а_m наз-ся линейной комб-ей в-ров а₁,а₂,..,а_m в-рного простр-ва R,если он равен сумме произв-ний этих в-ров на произвол.действит.ч-ла: am= Y₁a₁+ Y₂a₂+ ...+Y_m-1a_m-1, где Y₁,Y₂,...,Y_m-1 – какие угодно действит.ч-ла.

Опр.:В-ры а₁,а₂,…,а_m в-рного простр-ва R наз-ся лин.завис.,если сущ-ют такие ч-ла Y1,Y2,...,Ym,не равные одновременно нулю, что Y₁a₁+Y₂a₂+...+ Y_ma_m=0. В противном случае в-ры наз-ют лин.независ.

Лин.простр-во наз.n-мерным,если в нём сущ-ет n линейно независ.в-ров,а любые из (n+1) в-ров уже явл-ся завис. Размерность  пр-ва – это максимально ч-ло содержащихся в нём линейно независ.в-ров. Ч-ло n наз-ся размерностью пр-ва R. Совокупность n линейно независ.в-ров n-мерного пр-ва таких,что любой в-р прост-ва может быть единственным образом представлен в виде их лин.комбинации наз-ся БАЗИСОМ.

Если е₁,е₂,…,е_n – система лин.независ.в-ров пр-ва R и любой в-р а лин.выражается через е₁,е₂,…,е_n, то пр-во R явл-ся n-мерным,а в-ры е₁,е₂,…,е_n – его базисом.

 

 

 

 

2. а)Определители 2-го,3-го и п-го  порядков (определения и из св-ва). б)Теорема Лапласа о разложении  определителя по элементам строки  или столбца.

а) Определителем матрицы 2-го порядка наз число, кот вычисляется по формуле: