Различные трактовки определения пирамиды

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

Введение…………………………………………………………………………..3

 

1. Исторические сведения  о пирамиде……………………………………..4

2. Различные трактовки  определения пирамиды………………………….6

3. Диагональные сечения  пирамиды………………………………………..7

4. Виды пирамид …………………………………………………………….8

4.1 Правильная пирамида……………………………………………...8

4.2 Усеченная пирамида……………………………………………...10

5. Площадь боковой и  полной поверхности усеченной  пирамиды……..13

6. Измерение объема пирамиды…………………………………………...14

7. Тетраэдр…………………………………………………………………..16

 

Заключение……………………………………………………………………...24

 

Список использованной литературы………………………………………..25

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Египетские пирамиды – одно из семи чудес света.… Как загадочны эти фигуры! Сколько тайн хранят они в себе! С самого детства я задумывалась об этом. Они манили меня к себе своей таинственностью. Когда я пошла в десятый класс, мы начали изучать стереометрические фигуры и, конечно, затронули тему «Пирамида». Мне стало очень интересно, и я решила изучить свойства этой необычной фигуры немного подробнее, ведь тема «Пирамиды» затрагивает глубокие аспекты современных научных дисциплин и является одной из наиболее актуальных для пытливых умов современных ученых. Пирамиды представляют интерес для математиков, историков, физиков, биологов, медиков, философов. Чем больше мы узнаем о пирамидах, тем больше у нас возникает вопросов. Хотя не стоит забывать и о том, что пирамиды таят в себе ответы на огромное количество вопросов, которыми сейчас задается наука.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пирамиды, несмотря на свою древность, могут многому нас научить. Исследованием пирамид с использованием новейших приборов занимались американцы, японцы. Пирамиды снимали со спутников. Американская станция "Маринер"' передала фотографии с Марса, на которых изображены такие же пирамиды, что наводит на мысль об их внеземном происхождении. Так что же такое пирамиды?

 

1. ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ О ПИРАМИДЕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Усыпальницы египетских фараонов. Крупнейшие из них — пирамиды Хеопса, Хефрена и Микерина в Эль-Гизе в древности считались одним из Семи чудес света. Возведение пирамиды, в котором уже греки и римляне видели памятник невиданной гордыни царей и жестокости, обрекшей весь народ Египта на бессмысленное строительство, было важнейшим культовым деянием и должно было выражать, по всей видимости, мистическое тождество страны и ее правителя. Население страны работало на строительстве гробницы в свободную от сельскохозяйственных работ часть года. Ряд текстов свидетельствует о том внимании и заботе, которые сами цари (правда, более позднего времени) уделяли возведению своей гробницы и ее строителям. Известно также об особых культовых почестях, которые оказывались самой пирамиде.

Пирамиды выстроены на левом — западном берегу Нила (Запад — царство мертвых) и возвышались над всем городом мертвых — бесчисленными гробницами, пирамидами, храмами.

Самая большая из трех — пирамида Хеопса (зодчий Хемиун, 27 в. до н. э.). Ее высота была изначально 147 м, а длина стороны основания — 232 м. Для ее сооружения потребовалось 2 млн. 300 тыс. огромных каменных блоков, средний вес которых 2,5 т. Плиты не скреплялись строительным раствором, лишь чрезвычайно точная подгонка удерживает их. В древности пирамиды были облицованы отполированными плитами белого известняка, вершины их были покрыты медными листами, сверкавшими на солнце (известняковую обшивку сохранила только пирамида Хеопса, покрытие других пирамид арабы использовали при строительстве Белой мечети в Каире).

Близ пирамиды Хефрена возвышается одна из крупнейших статуй древности и нашего времени — высеченная из скалы фигура лежащего сфинкса с портретными чертами самого фараона Хефрена.

Великие пирамиды были окружены рядом небольших усыпальниц жен фараонов и их приближенных. В такие комплексы обязательно входили святилища Верхнего и Нижнего Египта, большие дворы для проведения праздника хеб-су, заупокойные храмы, служители которых должны были поддерживать культ умершего царя. Пространство вокруг пирамиды, окруженное стенами, посредством длинного крытого перехода соединялось с храмом на берегу Нила, где встречали тело фараона и начинались погребальные церемонии.

Все пирамиды точно сориентированы по сторонам света, что свидетельствует о высоком уровне астрономических знаний древних египтян, расчет углов наклона граней совершенно безукоризнен. В пирамиде Хеопса угол наклона таков, что высота пирамиды равна радиусу воображаемой окружности, в которую вписано основание пирамиды.

Замечательной инженерной находкой древних зодчих и строителей было сооружение в толще каменной кладки над погребальной камерой пяти разгрузочных камер, с помощью которых удалось снять и равномерно распределить колоссальную нагрузку на ее перекрытия. Помимо камер в пирамиде есть и другие пустоты — коридоры, проходы и галереи, входы в которые были тщательно замурованы и замаскированы. Тем не менее захоронения в пирамидах были разграблены, видимо, довольно скоро после погребения фараонов. Воры хорошо знали все ловушки, так что они, скорее всего, были связаны либо со строителями, либо со жрецами, осуществлявшими захоронения.

Сооружения в Эль-Гизе своей грандиозностью и видимой бесполезностью поражали воображение уже в древности, что лучше всего передает арабская пословица: «Все на свете боится времени, но время боится пирамид».

 

2. РАЗЛИЧНЫЕ ТРАКТОВКИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПИРАМИДЫ

 

Пирамиду Евклид определяет как телесную фигуру, ограниченную плоскостями, которые от одной плоскости (основания) сходятся в одной точке (вершине). Это определение подвергалось критике уже в древности, например, Героном, предложившим следующее определение пирамиды: это фигура, ограниченная треугольниками, сходящимися в одной точке, и основанием которой служит многоугольник. Важнейшим недостатком этого определения является использование неопределенного понятия основания. Тейлор определил пирамиду как многогранник, у которого все грани, кроме одной, сходятся в одной точке. Лежандр в “Элементах геометрии” так определяет пирамиду: “Телесная фигура, образованная треугольниками, сходящимися в одной точке и заканчивающаяся на различных сторонах плоского основания”. После этой формулировки разъясняется понятие основания. Определение Лежандра является явно избыточным, т.е. содержит признаки, которые можно вывести из других. А вот еще одно определение, которое фигурировало в учебниках XIX века: пирамида - телесный угол, пересеченный плоскостью.

Чаще всего учащиеся сталкиваются со следующим определением, которое я считаю самым объективным:

Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника, – основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания, – вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. Каждая боковая грань – треугольник. Одной из его вершин является вершина пирамиды, а противолежащей стороной – сторона основания пирамиды.

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

У пирамиды, изображенной на рис. 1, основание – многоугольник ABCD, вершина пирамиды – S, боковые ребра – SA, SB, SC, SD, боковые грани – ∆ASB, ∆BSC, ∆CSD, ∆ASD, высота SO.

Чтобы получить пирамиду, достаточно какой-нибудь многогранный угол Sпересечь произвольной плоскостью ABCD и взять отсеченную часть SABCD(рис. 2).

 

 

3. ДИАГОНАЛЬНЫЕ СЕЧЕНИЯ ПИРАМИДЫ

 

Сечения пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину, представляют собой треугольники (рис. 3). В частности, треугольниками являются диагональные сечения. Это сечение плоскостями, проходящими через два несоседних боковых ребра пирамиды.

Плоскость, проведенная через вершину пирамиды и через какую-нибудь диагональ основания, называется диагональной плоскостью (рис. 4).

∆CEF – сечение пирамиды SABCD

∆SDB – диагональное сечение пирамиды SABCD

 

Сечение пирамиды плоскостью с заданным следом g на плоскости

1. Проведем прямую CD, CD×g ≡ F, F є (SCD)

2. Рассмотрим грань SCD. Проведем прямую FE, получим точки пересечения с ребрами пирамиды: SD×FE ≡ H иSC×FH ≡ G

3. Проведем прямую AD. Найдем точку пересечения AD со следом g,

AD×g ≡ K

4. Теперь уже  в грани SAD появились две точки K и H. Проведем прямую KH, она пересекает ребро SA в точке L:KH×SA ≡ L

5. Проведем прямую AB, найдем пересечение с прямой g:

g×AB ≡ M

6. В грани получились  две точки M и L. Получаем прямуюML. Находим пересечение с ребром SB: CB×ML ≡ N

7. Соединим N и G. Сечение GHLN построено (рис. 5).

 

4. ВИДЫ  ПИРАМИД 

 

4.1 Правильная пирамида

 

Определение: Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в центр основания.

Очевидно, у правильной пирамиды боковые ребра равны; следовательно, боковые грани – равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.

Пусть SABCDE – правильная пятиугольная пирамида (рис. 6). Тогда по определению ее основание ABCDE – правильный плоский пятиугольник; центр основания пирамидыO – основание высоты пирамиды SO.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из вершины пирамиды, называется апофемой.

Например, SK – апофема правильной пирамиды.

При повороте вокруг прямой OS на 360˚/5 правильный многоугольник ABCDE каждый раз совместится с собой, тогда совместится с собой и пирамида. Значит, прямая, на которой лежит высота правильной n-угольной пирамиды, есть ее ось симметрии n-го порядка.

Отсюда следует, что у правильной пирамиды:

1.     боковые ребра равны

2.     боковые грани равны

3.     апофемы равны

4.     двугранные углы при основании равны

5.     двугранные углы при боковых ребрах равны

6.     каждая точка высоты равноудалена от всех вершин основания

7.     каждая точка высоты равноудалена от всех боковых граней

Теорема: Если в пирамиде все боковые ребра равны, то вершина проектируется в центр описанной около основания окружности.

 

Дано: SABCDE – правильная пирамида (рис. 7); SA = SB = SC = SD = SE; SO ABCDE

Доказать: O – Центр описанной окружности

Доказательство: S – точка, равноудаленная от всех вершин многоугольника ABCDE.

Т.к наклонные равны, значит и проекции будут равны → O – центр окружности, описанной около многоугольника.

Теорема: Если в пирамиде все двугранные углы при основании равны, то вершина проектируется в центр вписанной в основание окружности.

Дано: SABCDE – правильная пирамида (рис. 8);  AB =  BC =  CD =  DE =  AE; SO ABCDE

Доказать: O – центр вписанной окружности

Доказательство:

Проведем OK AB, OL BC, OM CD, ON ED, OP AE, тогда по теореме о трех перпендикулярах SK AB, SL BC, SM CD, SN ED, SP AE, значит,  SKO,  SLO,  SMO,  SNO,  SPO – линейные углы двугранных углов при основании пирамиды. По условию двугранные углы равны, значит и соответствующие линейные углы будут равны. Поэтому ∆SKO = ∆SLO = ∆SMO = ∆SNO = ∆SPO как прямоугольные треугольники, в которых катет SO общий, а острые углы равны. Из равенства треугольников следует, что OK = OL = OM = ON = OP → точка O равноудалена от всех сторон многоугольникаABCDE. Значит, она – центр вписанной окружности.

Теорема доказана.

 

Симметрия правильной пирамиды

 

1. Плоскости симметрии: при четном числе сторон основания  — плоскости, проходящие через  противолежащие боковые ребра; и  плоскости, проходящие через медианы, проведенные к основанию противолежащих  боковых граней (рис. 9).

2. Ось симметрии: при четном числе сторон основания  — ось симметрии, проходящая через  вершину правильной пирамиды  и центр основания (рис. 10).

 

4.2 Усеченная пирамида

 

 

(*)Теорема:

 

Плоскость, пересекающая пирамиду и параллельная ее основанию отсекает подобную пирамиду.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство:

Пусть S – вершина пирамиды, A – вершина основания и A1 – точка пересечения секущей плоскости с боковым ребром SA (рис. 11). Подвергнем пирамиду преобразованию гомотетии (фр. homothetie греч. homos равный, одинаковый, общий + thetos расположенный) относительно вершины S с коэффициентом гомотетии:

k = SA1/SA

 

При этой гомотетии плоскость основания переходит в параллельную плоскость, а следовательно, вся пирамида – в отсекаемую этой плоскостью часть. Так как гомотетия есть преобразование подобия, то отсекаемая часть пирамиды является пирамидой подобной данной. Теорема доказана.

По теореме (*) плоскость, параллельная плоскости основания пирамиды и пересекающая ее боковые ребра, отсекает от нее подобную пирамиду. Другая часть представляет собой многогранник, который называется усеченной пирамидой. Грани усеченной пирамиды, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями; остальные грани называются боковыми гранями. Основания усеченной пирамиды подобные многоугольники, их стороны попарно параллельны, поэтому боковые грани – трапеции.