Положительные обыкновенные и десятичные дроби

Раздел III. Расширение понятия числа

 

§1. Положительные обыкновенные дроби

 

Определение 1: Положительной обыкновенной дробью называется упорядоченная пара любых натуральных чисел (m;n), причем m называется числителем, n - знаменателем.

Для того чтобы отличать положительные обыкновенные дроби от других упорядоченных пар, условились записывать числитель и знаменатель при помощи горизонтальной черты: , где m, n ÎN .

Читать положительные  обыкновенные дроби можно 2 способами:

1) - «m n-ых»;

2) - «дробь с числителем m и знаменателем n».

Например, - «три восьмых», - «дробь с числителем х и знаменателем у²». Множество всех положительных обыкновенных дробей условились обозначать М₊. 

 

Отношения между положительными обыкновенными дробями

Определение 2: (" ÎМ₊)( )

Для любых положительных  обыкновенных дробей верно, что тогда и только тогда, когда .

Определение 3: (" ÎМ₊)( )

Определение 4: (" ÎМ₊)( )

Определение 5: (" ÎМ₊)( )

Определение 6: (" ÎМ₊)( )

Таким образом, для того, чтобы сравнить две положительные обыкновенные дроби, достаточно:

1. вычислить произведение числителя первой дроби и знаменателя второй, а также произведение знаменателя первой дроби и числителя второй;
2. сравнить найденные произведения;
3. сделать вывод об отношении между исходными дробями, учитывая, что оно совпадает с отношением между вычисленными произведениями.

Например, сравним положительные  обыкновенные дроби  и . Для этого

1) найдем произведение  числителя первой дроби и знаменателя второй, а также произведение знаменателя первой дроби и числителя второй: 

     73 × 203 = 14819                            185 × 92 =  17020

2) сравним найденные произведения: 14819 < 17020

3) сделаем вывод:  < .

Основное свойство дроби 

Если числитель и  знаменатель любой положительной  обыкновенной дроби умножить или  разделить на одно и то же натуральное  число, то получится положительная  обыкновенная дробь, равная данной.

(" ÎМ₊)(" kÎ N)( )

(" ÎМ₊)(" kÎ N)( )

Например,

 

Операции над  положительными обыкновенными дробями

Определение 7: (" ÎМ₊)( )

Сложением положительных  обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями называется операция, в результате которой получается положительная обыкновенная дробь, числитель которой равен сумме числителей, а знаменатель тот же, что и у исходных дробей.

Например,

Определение 8: (" ÎМ₊ Ù )( )

Вычитанием положительных  обыкновенных дробей с одинаковыми  знаменателями называется операция, в результате которой получается положительная обыкновенная дробь, числитель которой равен разности числителей, а знаменатель тот же, что и у исходных дробей.

Например,

Разность  не определена  на М₊, так как уменьшаемое меньше вычитаемого.

Определение 9: (" ÎМ₊)( )

Умножением положительных  обыкновенных дробей называется операция, в результате которой получается положительная обыкновенная дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель равен произведению знаменателей исходных дробей.

Например,

Определение 10: (" ÎМ₊)( )

Делением положительных  обыкновенных дробей называется операция, в результате которой получается положительная обыкновенная дробь, числитель которой равен произведению числителя первой дроби и знаменателя  второй, а знаменатель равен произведению знаменателя первой дроби и числителя второй.

Например,

Определение 11:  (" ÎМ₊)( - несократимая Û НОД(a,b) = 1)

Например, - несократимая, так как НОД(8,13) = 1.

Определение 12: Сокращением положительной обыкновенной дроби называется операция замены данной дроби равной ей несократимой дробью.

Для того, чтобы сократить положительную обыкновенную дробь, достаточно:

1. найти наибольший общий делитель числителя данной дроби и её знаменателя;
2. разделить числитель исходной дроби и её знаменатель на найденный наибольший общий делитель.

Например, сократим дробь  :

1. найдем наибольший общий делитель числителя 306 и знаменателя 438. Используем для этого каноническое разложение указанных чисел.

 

306. 2                           438    2                      306 = 2 × 3² × 17 

153. 3                           219    3                      438 = 2 × 3 × 73

51     3                            73    73

17     17                             1                        НОД(306,438) = 2 × 3 = 6

  1

2. разделим числитель исходной дроби и её знаменатель на найденный наибольший общий делитель 6:

      = = .

            - несократимая, так как НОД(51, 73) =1.

 

Определение 13: Приведением положительной обыкновенной дроби к новому знаменателю называется операция замены данной дроби равной ей дробью, но с другим знаменателем.

Теоретическую основу данной операции составляет основное свойство дроби.

Например, .     

 

Определение 14: Приведением двух или нескольких положительных обыкновенных дробей к общему знаменателю называется операция замены данных дробей равными им дробями, но с одинаковыми знаменателями.

Наименьшим общим знаменателем нескольких дробей является наименьшее общее кратное их знаменателей.

Для того, чтобы привести дроби к общему знаменателю, достаточно:

1. найти наименьшее общее кратное знаменателей исходных дробей – это искомый общий знаменатель;
2. найти дополнительный множитель числителя каждой исходной дроби, равный  частному найденного наименьшего общего кратного и исходного знаменателя;
3. найти новый числитель каждой дроби, равный произведению прежнего числителя и найденного дополнительного множителя.

 

Например, приведем дроби  и к общему знаменателю. Для этого:

1. найдем наименьшее общее кратное знаменателей исходных дробей 70 и 182 – это искомый общий знаменатель. Используем для этого каноническое разложение указанных чисел.

 

70. 2                        182      2                   70 = 2 × 5 × 7            

35. 5                          91      7                 182 = 2 × 7 × 13
7. 7                           13      13

1                                    1                        НОК(70, 182) = 2 × 5 × 7 × 13 = 910

2. найдем дополнительный множитель числителя каждой исходной дроби, равный  частному найденного наименьшего общего кратного и исходного знаменателя.

910 : 70 = 13                    910 : 182 = 5

3. найдем новый числитель каждой дроби, равный произведению прежнего числителя и найденного дополнительного множителя.

 

Операция приведения дробей к общему знаменателю позволяет находить результаты сложения и вычитания обыкновенных положительных дробей с различными знаменателями.

Например, + = .

 

Свойства операций над положительными обыкновенными  дробями

1. Коммутативность  сложения и умножения.

(" ÎМ₊)( )                                     (" ÎМ₊)( )

Для любых двух положительных  обыкновенных дробей и верно, что сумма (произведение) дробей и равна сумме (произведению) дробей и .

Вычитание и  деление не коммутативны.

($ ÎМ₊)( )                                      ($ ÎМ₊)( )

Существуют две положительные обыкновенные дроби и , для которых верно, что разность (частное) дробей и не равна разности (частному) дробей и .

2. Ассоциативность сложения и умножения.

 (" , ÎМ₊)( )

(" , ÎМ₊)( )

Для любых трех положительных  обыкновенных дробей , верно, что сумма (произведение) двух дробей, первая из которых равна сумме (произведению) дробей и , а вторая – дробь , равна сумме (произведению) двух дробей, первая из которых – дробь , а вторая – сумма (произведение) дробей и .

Вычитание и  деление не ассоциативны.

($ , ÎМ₊)( )

($ , ÎМ₊)( )

Существуют три положительные обыкновенные дроби , , для которых верно, что разность (частное) двух дробей, первая из которых равна разности (частному) дробей и , а вторая – дробь , не равна разности (частному) двух дробей, первая из которых – дробь , а вторая – разность (частное) дробей и .

 

3. Дистрибутивность 

а) умножения  относительно сложения и вычитания  слева и справа

(" , ÎМ₊)( - справа

(" , ÎМ₊)( - справа

Для любых трех положительных  обыкновенных дробей , верно, что произведение двух дробей, первая из которых равна сумме (разности) дробей и , а вторая – дробь , равна сумме (разности) двух дробей, первая из которых – произведение дробей и , а вторая – произведение дробей и .

(" , ÎМ₊)( - слева

(" , ÎМ₊)( - слева

 

б) деления  относительно сложения и вычитания  справа

(" , ÎМ₊)(

(" , ÎМ₊)(

4. Свойства с числом 0

(" ÎМ₊)( +0 = 0+ = )      (" ÎМ₊)( - =0)

(" ÎМ₊)( × 0 = 0 × =0)      (" ÎМ₊)( -0 = )

(" ÎМ₊)(0 : = 0)                   (" ÎМ₊)( : 0) – деление на 0 не определяется

5. Свойства  с числом 1

(" ÎМ₊)( × 1 =1 × = )     (" ÎМ₊)( : = 1)

 (" ÎМ₊)( : =1)

6. Правила  вычитания

а) дроби из суммы

(" , ÎМ₊)(

Для того, чтобы вычесть  дробь из суммы, достаточно вычесть эту дробь из любого слагаемого, а затем к тому, что получилось, прибавить оставшееся слагаемое.

 

б) суммы из дроби

(" , ÎМ₊)(

Для того, чтобы вычесть  сумму из дроби, достаточно вычесть из этой дроби любое слагаемое, а затем из того, что получилось, вычесть оставшееся слагаемое.

 

7. Правила  деления

а) дроби на произведение

(" , ÎМ₊)(

 Для того, чтобы разделить дробь на произведение, достаточно разделить эту дробь на любой множитель, а затем то, что получилось, разделить на оставшийся множитель.

 

б) произведения на дробь

(" , ÎМ₊)(

Для того, чтобы разделить произведение на дробь, достаточно разделить на эту дробь любой множитель, а затем то, что получилось, умножить на оставшийся множитель.

 

§ 2. Положительные конечные десятичные дроби

 

Определение 1: Положительной конечной десятичной дробью (ПКДД) называется сумма вида

                А + + + … + + = A, а₁а₂…а_n-1a_n ,

где   А – целая  часть – выражается целым неотрицательным  числом;

+ + … + + - дробная часть;

, , … , , - разрядные слагаемые;

а₁, а₂, …,  а_n-1, a_n  - цифры десятичных разрядов – представляются цифрами

                              алфавита десятичной системы счисления.

 

Цифры десятичных разрядов показывают, сколько единиц соответствующего десятичного разряда содержит данная ПКДД, т.е. а₁ показывает, сколько десятых долей содержит ПКДД, а₂ показывает, сколько сотых долей содержит ПКДД и т.д.;