Отбор чисел на тригонометрическом круге

Отбор чисел  на тригонометрическом круге

В уравнениях, встречавшихся  нам до сих пор, при отборе корней получалось так, что при проверке в ответ включалась или

 

 

же отбрасывалась вся  серия целиком. А что делать в  более сложных случаях, когда часть серии в ответ входит, а часть — нет?

Пример 1.

Решение. Это уравнение, очевидно, равносильно системе

Соs 3х = 0;

Sin 2x ¹ 0,

или

3х = p/2 +pk;  Û  x = p/6 + pk/3 (k, n Î Z).

2x ¹ pn,    x ¹ pn/2

 

Итак, нам нужно из множества всех х, представимых в виде p/6 + pk/3, где k - некоторое целое число, выкинуть посторонние корни — те, что представимы в виде pn/2, где n - какое-то целое число. Для этого нанесем на тригонометрический круг все числа вида x = p/6 + pk/3, где k Î Z (рис. la).

При этом получится 6 точек, обозначенных на рис. 1а. Эти точки  появляются, если взять любые 6 последовательных значений n, при остальных n точки будут повторяться. Более того, ясно, что всякое число, которому соответствует одна из отмеченных на рис. 1а точек, имеет вид p/6 + pk/3 для некоторого целого k.

Если нанести на этот рисунок еще и точки, соответствующие  числам вида pn/2, то у нас получится рис. 1.б (точки, соответствующие числам pn/2, отмечены белыми кружками). Ответом к нашему уравнению будут числа, представимые в виде p/6 + pk/3 и при этом не представимые в виде pn/2. Иными словами, решения уравнения — числа, которым соответствуют черные кружки, не совпадающие с белыми. Обращаясь к рис. 1.б, видим, что таких кружков ровно четыре, и каждому из них соответствует бесконечная серия значении х: p/6 + 2pn;  5p/6 + 2pn; 7p/6 + 2pn; 11p/6 + 2pn. Можно также объединить первую серию с третьей, а вторую - с четвертой. Тогда ответ запишется так: х = p/6 + pn;  х = 5p/6 + pn  (k Î Z)

Мы не случайно при записи системы

х = p/6 +pk/3;

x ¹ pn/2

использовали две разные буквы для обозначения «произвольного целого числа»: ведь если х = p/6 +pk/3 = pn/2, где k ¹ n, то х — все равно посторонний корень. Например, так будет при k = 4 и n = 3 (получается посторонний корень Зp/2).

 

Пример 2. 

Решение. Это уравнение, очевидно, равносильно системе

 

или

х = p + 2pk;  

x ¹ 3pn  (k, n Î Z).   

 

Попробуем действовать  так же, как и в предыдущем примере: нанесем на тригонометрический круг черные точки — числа вида p + 2pk и белые точки — числа вида 3pn. То, что получится, изображено на рис. 2.

Рис. 2.

На основании этого  рисунка надо, казалось бы, сделать  вывод, что решений у уравнения  нет: ведь на рисунке нет черных точек, не совпадающих с белыми. Тем не менее легко видеть, что, скажем, число х = p будет решением уравнения. Где же мы ошиблись? Дело в том, что изображение чисел вида 3pn, где n Î Z, на тригонометрическом круге неадекватно: верно, что все такие числа изображаются одной из белых точек на рис. 2, но неверно, что все числа, соответствующие белым точкам, имеют вид 3pn с целым n: белым точкам на рис. 2 соответствуют и числа p, 2p, 4p, 5p и т.д. Вообще, изображение множества чисел на тригонометрическом круге будет адекватно, только если это множество «имеет период 2p»: вместе с каждым числом х содержит числа х-2p и х+2p. В частности, будет иметь период 2p множество решений уравнения, обе части которого имеют период 2p как функции от х.

Доведем теперь до конца решение уравнения

Все, что нам нужно, — выяснить, для каких целых чисел k число х = p + 2pk окажется посторонним корнем. Это будет тогда, когда найдется такое-число n Î Z, что p + 2pk =  3pn. Сокращая в этом равенстве на p, получаем вопрос, к которому все сводится: для каких k Î Z существует такое n Î Z, что 1+2k = 3n?

Чтобы ответить на этот вопрос, выразим k через n: k = (3n-1)/2; выделим из этой дроби «целую часть»:

k = (3n-1)/2 = (2n + n - l)/2 = n + (n - 1)/2.  (*)

Так как k и n — целые числа, то (n-1)/2 тоже целое число. Значит,

(n-1)/2=m, n = 2m + 1 (m Î Z). Подставляя в (*), получаем

k = 3m + 1 (m Î Z). Итак, мы получили ответ на наш вопрос: посторонние корни получаются при k = 3m +1, m Î Z. Нас же интересуют как раз все остальные k. Ясно, что сказать «k ¹ 3m +1, m Î Z»— все равно, что сказать «число k при делении на 3 дает остаток, не равный 1». Однако кроме единицы при делении на 3 возможны только остатки 0 или 2. Так что можно еще сказать, что для числа х = p + 2pk, являющегося корнем, число k дает при делении на 3 остаток 0 или 2, или, иными словами, k = 3m или k = 3m + 2, m Î Z. Подставляя это выражение для k, получаем окончательно ответ: х = p + 6pm или х = 5p + 6pm.

Заметим еще, что и  для уравнения  можно было бы обойтись изображением чисел на круге. Для этого надо было бы сделать замену переменной x = 6t. После этого уравнение принимает вид . Левая часть этого уравнения уже имеет период 2p как функция от t, так что его можно решать, отбирая числа на круге. Найдя t, остается найти х = 6t.

 

Пример 3. Sin 3х + Cos 4х = 2

Решение.

Sin 3х + Cos 4х = 2

Так как  -1 £ Sin 3x £ 1,

-1 £ Cos 4x £ 1,

то 

Sin 3х + Cos 4х = 2, если

Sin 3х = 1,

Cos 4x = 1,

Û  3х =  p/2 +2pk,  Û  x = p/6 +0 2pk/3, 

4x = 2pn,    x = pn/2,  (k, n Î Z).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 3p/2

 

Линейные неопределенные уравнения с двумя неизвестными

При отборе корней тригонометрических уравнений иногда приходится отвечать на вопросы наподобие: «для каких k  Z существует такое n Î Z, что 44k + 6 = 166n»? Посмотрим на этот вопрос немного с другой стороны:  выясним, для каких вообще целых k и n выполняется равенство 166n - 44k = 3. Такого рода задачи называются неопределенными уравнениями (точнее говоря, линейными неопределенными уравнениями с двумя неизвестными, но эти уточняющие слова мы будем опускать, поскольку других неопределенных уравнений нам не встретится). Как можно решать такие уравнения?

Первое, что надо сделать для  решения неопределенного уравнения, — это найти наибольший общий делитель коэффициентов при неизвестных и попробовать сократить на него обе части уравнения (разумеется, свободный член должен при этом остаться целым числом). Рассмотрим, например, уравнение 21k — 24n = 8. Наибольший общий делитель коэффициентов равен 3, и сократить на него не удается, так как 8 на 3 не делится. Тогда можно сразу сказать, что это уравнение решений в целых числах не имеет. В самом деле; если (k; n) — решение этого уравнения, то левая часть делится на 3 (так как на 3 делятся оба коэффициента), а правая часть на 3 не делится. Значит, у этого уравнения решений нет. Сформулируем примененное нами соображение в общем виде:

Если в уравнении ах + by = с (с целыми а, b и с) коэффициенты а и b делятся на некоторое число d, a свободный член с не делится на d, то это уравнение не имеет решений в целых числах.

 

Мы указали одну причину, по которой  наше неопределенное уравнение может  не иметь решений. Оказывается, во всех остальных случаях решения обязательно будут.

Если в неопределенном уравнении ах + by = с свободный член с делится на наибольший общий делитель коэффициентов а и b (в частности, так будет, если а и b вообще не имеют общих делителей, кроме единицы), то уравнение обязательно имеет решения в целых числах.

Мы не будем доказывать это утверждение, а просто покажем, как искать решения.

Решим уравнение 166n - 44k = 6. Для начала, как мы уже говорили, поделим обе части на 2: 83n - 22k = 3. Теперь выберем ту неизвестную, коэффициент при которой меньше по абсолютной величине — в нашем случае это k, — и выразим ее через другую неизвестную: к = (83n - 3) /22. Выделим в этой дроби целую часть:

k = (83n - 3)/22 = (66n + 17n -3)/22 = 3n + (17n - 3)/22.    (*)

Как видно, целочисленные  решения нашего уравнения будут  получаться, если подставлять в него все те целые n, для которых число (17n - 3)/22 тоже будет целым: ведь тогда из (*) получается,  что и к — целое число. Но как же узнать, когда число (17n - 3)/22 будет целым? Для этого обозначим (17n - 3)/22  буквой t и запишем: (17n - 3)/22 = t, или 17n - 3 = 22t. Как видно, снова получилось неопределенное уравнение, но его коэффициенты уже меньше, чем у исходного. Проделаем с этим новым уравнением ту же операцию, что и с исходным: выразим из него ту неизвестную, коэффициент при которой меньше по абсолютной величине (на сей раз это будет n), и выделим из получающейся дроби целую часть:

n = (22t + 3)/17 = (17t + 5t + 3)/17 = t + (5t + 3)/17.  (**)

Из (**) видно, что число (5t + 3)/17 обязано быть целым. Обозначим его буквой s: (5t + 3)/17 = s, 5t + 3 = 17s. Продолжая в том же духе, выразим t через s:

t = (17s - 3)/5 = 3s + (2s - 3)/5.

 

Обозначим, далее,  (2s - 3)/5 буквой v:  (2s - 3)/5 = v, 2s - 3 = 5v, s = (5v +3)/2 = 2v + (v + 3)/2. Обозначим, наконец, (v + 3)/2 буквой u:

(v + 3)/2 = u, v = 2u - 3.

В этом месте наши мучения и кончаются.

В самом деле, нам надо выяснить, для каких целых v число (v + 3)/2 будет целым, и ответ на этот вопрос уже готов: если v = 2u - 3, где u — любое целое число! (дело тут, конечно, в том, что в неопределенном уравнении v = 2u - 3 коэффициент при v равен единице). Теперь, чтобы получить решения исходного уравнения, нам осталось последовательно выразить v через u, s через v, t через s, n через t и k через n. Отправимся в обратный путь:

v = 2u - 3; s = 2v + (v + 3)/2 = 5u - 6; t = 3s + (2s - 3)/5 = 17u - 21;

n = t + (5t + 3)/17 = 22u - 27; k = 3n + (17n - 3)/22 = 83u - 102.

Итак, решение получено: k = 83u - 102, n = 22u - 27, где u — произвольное целое число. Стало быть, ответ на наш исходный вопрос таков: пусть k — целое число. Тогда 44k + 6 = 166n для некоторого n Î Z тогда и только тогда, когда k = 83u - 102, где и u Î Z.

Изложенный способ нахождения решения линейного неопределенного уравнения с целыми коэффициентами называется алгоритмом Евклида.