Модель роста дендритов

Министерство  образования и науки 

Астраханский  государственный университет 
 
 

Курсовая работа 

Тема: Модель роста дендритов 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Содержание: 

Введение

1. Дендриты в природе и технике.
2. Зарождение дендритов
3. Моделирование процесса роста дендритов:
1. правила моделирования;
2. математическая модель;
3. дендритный рост.
4. Примеры построенных моделей роста дендритов.

Заключение.

Литература. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

    Немного о понятии «модель» и для чего она нужна. Модель должна отражать суть понятия, формы или метода исследования. Еще с начала XX столетия целый ряд психологов (О.Зельц, М. Вертгеймер, М.Бунге и др.) подчеркивали существенность процесса визуализации исследовательской ситуации как важного этапа решения задачи. [8, с. 234].

    Понятия модели и моделирования наиболее распространены в сфере обучения, в научных исследованиях, в проектно-конструкторских работах, в

серийном  техническом производстве. Чаще всего термин «модель» используют для обозначения:

• устройства, воспроизводящего строение или действие какого-либо другого устройства (уменьшенное, увеличенное или в натуральную величину);
• аналога (чертежа, графика, плана, схемы, описания и т.д.) какого-либо

явления, процесса или предмета.

К недостаткам  термина «модель» следует отнести  его многозначность. В словарях можно найти до восьми различных значений данного термина, из

которых в научной литературе наиболее распространены два:

• модель как аналог реального объекта;
• модель как образец будущего изделия.

Важную  роль при разработке моделей играют гипотезы, т.е. определенные

предсказания, предположительные суждения о причинно-следственных связях явлений, основанные на некотором  количестве опытных данных, наблюдений, догадок. Формулирование и проверка правильных гипотез основывается, как  правило, на аналогиях.

    Аналогия  — это представление о каком-либо частном сходстве двух объектов, причем такое сходство может быть как существенным, так и не существенным. Существенность сходства или различия двух объектов условна и зависит от уровня абстрагирования, определяемого конечной целью исследования. Уровень абстрагирования зависит от набора учитываемых параметров объекта исследования. Под моделью понимают такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его черты. Процесс построения и использования модели называется моделированием.

    Если  результаты моделирования удовлетворяют  исследователя и могут

служить основой для прогнозирования  поведения или свойств исследуемого

объекта, то говорят, что модель адекватна  объекту. При этом адекватность модели зависит от целей моделирования  и принятых критериев. Учитывая заложенную при создании неполноту модели, можно  утверждать, что идеально адекватная модель принципиально невозможна.

    Хорошо  построенная модель, как правило, доступнее, информативнее и

удобнее для исследования, нежели реальный объект. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Дендриты  в природе и  технике

 

    Что такое дендрит? Дендрит - это древовидное  кристаллическое образование, довольно случайное по своей природе. Дендриты встречаются в различных областях:

• снежинки - это ледяные дендриты;

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис. 1 Дендриты льда

• в металлургии: кристаллизация металлических расплавов обычно проходит через стадию образования в них дендритов. Развиваясь из некоторого центра кристаллизации, каждый дендрит в расплаве растет так, что сначала образуется его главная ось, совпадающая с осью будущего кристалла, затем возникают другие оси и дендрит ветвится. Если собственно металлического расплава недостаточно, то пространство между осями дендрита не заполняется кристаллическим веществом и получается дендрит. Чаще всего дендриты возникают в пустотах слитков или на поверхности быстро затвердевшего металла;

 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис. 2   Дендриты окислов марганца в родоните 

• при нефтедобыче: при выкачивании нефти из скважин  используют воду, которая заполняет  скважину и выталкивает нефть. Но не все так гладко: вода неоднородно  выталкивает нефть, образуя так  называемые "пальцы", мешающие добыче нефти. Образование этих пальцев  напрямую связано с дендритами;

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис.3 Дендриты  в нефти 
 

• в минералогии: при кристаллизации вещества из раствора, проникшего в трещины пород. Встречаются  дендриты меди, золота, серебра:

  
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис. 4 Аметист – дендрит                                           Рис. 5  Агат - дендрит 

• в медицине: дендритом называют чувствительный отросток нервной клетки, проводящий нервный импульс с периферии  к телу клетки. Длина такого отростка варьируется от тысячных долей миллиметра до нескольких десятков сантиметров.

    Рис. 6  Отросток нервной клетки

2. Зарождение дендритов

    Рассмотрим  на примере металлов зарождение дендритов. Как известно, кристаллизация «чистых металлов» происходит при постоянных температурах, тогда как сплавы кристаллизуются при разных температурах. Из этого правила исключение составляют только два случая: сплавы эвтектической композиции и некоторые промежуточные фазы фиксированной композиции, более известные как интерметаллические соединения, в обоих случаях происходит кристаллизация при фиксированной температуре.

    Кристаллизация чистых металлов происходит не мгновенно, а за определенный период времени.  Процесс кристаллизации начинается от отдельных изолированных точек в расплавленном металле, обычно от плавающих частиц примесей или же от стенок отливочной формы или тигля. Процесс, который называется «зарождение центров кристаллизации», сравним с замерзанием пруда. В точке температуры плавления некоторые атомы образуют маленькое зерно кристалла вокруг частицы примеси или на стенке отливочной формы. Иногда, зерно кристалла образуется вследствие флуктуации температуры. По мере того как атомы оседают, это зерно или «ядро» начинает расти как кристалл с собственной геометрической сеткой.

    Это ядро можно представить в виде плавающего в расплавленном металле  кубика, который имеет тенденцию  к росту в направлении ребер, благодаря образованию так называемых первичных центров, растущих из шести  граней куба в жидком металле. Подобным  образом вторичные и третичные центры растут из первичных центров и формируется металлический кристалл, похожий на дерево, который называют дендритом (рис.1). Это наиболее общий процесс кристаллизации металлов. Дендриты представляют собой непрерывную пространственную решетку, у которой от толстого ствола ответвляются ветви первого порядка, от них — второго, затем третьего и т. д. Все ветви имеют почти правильную кристаллографическую ориентацию.

      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис.7 схема дендрита на стадии роста в трех направлениях, начиная с ядра материнского кристалла, образовавшегося в жидком металле.

    Дендриты  бывают разнообразных размеров. Чем  менее стесненно они растут, тем  большей величины они достигают. Масса знаменитого кристалла  Чернова, найденного в усадочной  раковине 100-т слитка, составляет 3,45 кг, а высота 39 см. Образование дендритной структуры литой стали было выявлено впервые Д. К. Черновым, и он считал это доказательством ее кристаллического строения. Изучение кристаллической структуры серых чугунов дало Д. К. Чернову основание полагать, что причиной дендритного роста кристаллов являются примеси. Это предположение получило дальнейшее развитие в работах советских ученых. В предложенной Д. Д. Саратовкиным схеме роль примесей в образовании дендритов сводится к блокированию грани кристалла и прекращению ее роста, вызывающему выбрасывания осей нового порядка. 
 
 

 
 
 
 
 
 
 

Рис.8 Образование дендрита 

     При перемещении граней СВ и АВ со скоростями vc и vx через промежуток времени Т в положения СгО и АгО (рис.8 а) возрастает градиент концентрации примесей перед гранями АВ и СВ, в то время как в вершине кристалла по линии ВО градиент концентрации примесей ниже и имеет минимальное значение в направлении роста ребра О. При блокировании участков АгВг и СгВ2 мономолекулярным слоем примеси рост грани прекращается, кристалл За к. 824 289 растет в виде иглы в направлении ВО (рис. 8, б). На грани образуются выступы и зубцы, некоторые из них начинают расти как основная игла (рис. 8, в).

    При больших скоростях охлаждения, когда  исключаются условия скопления  примесей у растущих граней кристалла, дендритная структура кристаллов металла  заменяется ячеистой, характеризующейся  отсутствием осей второго порядка, а кристаллы имеют вид параллельных стволов, прилегающих друг к другу (рис. 9). 
 
 

 
 
 
 

 
 
 
 

    Рис.9 Ячеистая структура металла 

    Ячеистая  структура, например, наблюдается при  охлаждении пластин кремнистой стали (1,5—2,0% Si) толщиной от 1 до 0,1 мм со скоростью 104—106°С/с. Средний диаметр ячейки в этом случае тем меньше, чем выше скорость охлаждения, и в наиболее быстро затвердевающих пластинах он составляет 2—2,5 мкм.

    В условиях кристаллизующихся слитков  ячеистая структура практически  не образуется, и для реального  стального слитка стали характерна дендритная структура. 
 
 
 
 
 
 
 

3. Моделирование процесса роста дендритов.

 

    Для моделирования процесса кристаллизации в растворах необходимы

новые численные методы и модели. Модель ограниченной диффузией агрегации (ДОА) Сандера [7] представляется особенно пригодной для изучения эффектов нелокального поля диффузии. В последнее время внимание исследователей привлекло необратимое объединение частиц в кластеры. Стало понятно, что именно кластеризация является одним из способов возникновения фракталов в необратимых процессах. Для того, чтобы по достоинству оценить модель ДОА, лучше всего рассмотреть начавшую складываться в последние годы общую феноменологию других кинетических процессов, сопровождающихся переходом из равновесного

состояния в неравновесное.

а. Математическая модель

 

    Для построения математической модели процесса кристаллизации заметим, что он, как известно, начинается с выделения из пересыщенного раствора зародышей кристаллов. Последующая кристаллизация протекает при дальнейшем охлаждении раствора на уже образовавшихся зародышах. Для получения в процессе кристаллизации крупных кристаллов важно, чтобы

количество  зародышей, образующихся в первый момент, было невелико, так как распределение вновь выделяющихся кристаллов твердых углеводородов при охлаждении раствора на слишком большом числе зародышей приведет к