Модель роста дендритов

образованию мелких кристаллов. Количество зародышей  зависит от скорости

охлаждения  раствора: чем выше скорость охлаждения, тем больше кристаллических зародышей образуется в растворе и тем меньшим будет размер образовавшихся кристаллов. Из этого следует, что одним из основных условий образования крупных кристаллов является скорость охлаждения раствора.

    Кроме того, мы будем исходить из того, что  скорость роста кристаллов (в г/сек) на образовавшихся центрах кристаллизации определяется уравнением И.И. Андреева:

= k S(  x -  x ′)             (1)

  — количество вещества, выкристаллизовавшегося в единицу времени;

k — коэффициент, зависящий от диффузии молекул, достигших насыщения

(d), и средней длины диффузионного пути (δ); k = d / δ;

S — поверхность выделившейся твердой фазы;

х — концентрация пересыщенного раствора;

х' — растворимость зародышей кристаллов при данной степени их дисперсности.

    В целях большей наглядности и  уменьшения машинного времени целесообразно построить сначала двумерную модель кристаллизации. При этом будем исходить из предположения, что скорость охлаждения высокая, по крайней мере, достаточная для того, чтобы пренебречь растворимостью х' в (1). Такое же допущение мы сделаем при построении и трехмерной модели (именно она наиболее удобна для прямого сравнения с экспериментами). С помощью численного моделирования следует изучить сначала модель вида «частица — кластер», а затем более сложную модель «кластер — кластер», которые были предметом интенсивных исследований в 80-х годах прошлого столетия.

    Модель  «частица — кластер» очень проста: совершающие случайное блуждание частицы парафина в результате аккреции образуют кластер, приходя поодиночке издали и присоединяясь либо к точечному центру кристаллизации, либо к ранее аккретировавшим в кластер частицам. Интенсивные компьютерные исследования показали [2, 7], что в результате такого процесса образуются сложные разветвленные фракталы. Адекватность такой модели основана на возникшем в последнее время достаточно ясном понимании того, что дендриты, подобные образующимся при кристаллизации, или при пробоях диэлектрических материалов, или в минералах типа псиломелана (рис. 10) тождественны дендритам, вырастающих при ДОА. 
 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   

Рисунок 10. Псиломелан

б. Правила моделирования

 

    Модель  «частица — кластер» (рис. 12) на квадратной решетке размером L × L, L = 10 ÷ 1000, при этом должны выполняться следующие правила:

    Правило 1 первоначально имеется единственный точечный зародыш, который представляет собой центральную клетку решетки;

      Правило  2 частица определяется как квадратная клетка с единичной стороной; частица стартует из случайной клетки на краю решетки и совершает случайное блуждание по решетке до тех пор, пока она не соприкоснется одной из частиц кластера или группы соседствующих частиц;

    Правило   3 процесс прекращается, как только кластер достигает в своем росте края решетки. 
 

 
 

  

Рисунок 11. Модельные дендриты 

Первое  правило моделирует рост только одного кластера. Правило второе

допускает только древовидные кластеры и не разрешает появление петель.

Заключительное  правило необходимо для остановки  численного моделирования.

    Применяемая модель обладает рядом достоинств. Численный метод прост и эффективен. Модель позволяет легко воспроизводить сравнительно

сложные геометрии. Кроме того, флуктуации, всегда присутствующие в любой термодинамической системе (и играющие важную роль в процессе роста), естественно, могут быть включены через случайные блуждания частиц. Наконец, модель может быть легко модифицирована с тем, чтобы учесть различные экспериментальные условия. Например, эффекты анизотропного поверхностного натяжения или наложенный на систему градиент температуры могут быть непосредственно воспроизведены в модели.  
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рисунок 12. Кластер в модели ДОА 

в. Дендритный рост

    Для воспроизведения дендритного роста  можно использовать модель ДОА с одной затравочной частицей в центре квадратной решетки. При этом присоединение частицы может быть слабым — одна-единственная связь с кластером, средним — 2 связи, сильным — 3 связи. Число связей мы определим как число вершин частицы, соприкасающиеся с кластером. Легко доказать, что в этой модели число связей не может превышать 3.

    При ДОА отдельные частицы после  некоторых случайных блужданий

оседают на агрегате, порождая случайные фракталы, которые моделируют рост парафиновых дендритов в нефти. Для них характерна древовидная структура с многочисленными «фьордами» на многих размерных масштабах. Причина образования подобных структур при ДОА заключается в том, что блуждающая частица оседает, как правило, вблизи выступа фрактала, а не в глубине фьорда. Вероятность проникновения в глубокий фьорд чрезвычайно мала. Глубокие же фьорды наших узоров на рис. 11 и 12 хорошо экранированы и поэтому либо растут очень медленно, либо не растут вовсе. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4. Примеры построенных моделей  роста дендритов

 

    Существует  много способов моделирования роста  дендритов. Вот только некоторые  из них, которые были построены.

    Модель  роста дендрита при нефтедобыче, в минералогии или металлургии  можно представить и запрограммировать  как следующий процесс: дендрит  растет из точечного зародыша в центре. Частица, совершающая случайные  блуждания, движется из наугад выбранной  точки на большой окружности, проведенной  вокруг дендрита. Случайным образом  рассчитывается траектория движения этой частицы, продвигающейся от окружности в ее центру. Соприкасаясь с дендритом, блуждающая частица прилипает к нему, после чего из новой случайно выбранной точки начинает случайным образом двигаться новая частица. И так далее. Такой вид имеют комплексы атомов золота и "пальцы", получающиеся в пористой среде при вытеснении нефти водой. Модель такого дендрита, похожего на лишайник в кружочке, приведенную на рисунке, сделал, например, на языке Turbo Pascal ученик 10а класса гуманитарно-естественного лицея No41 г. Ижевска Антон Бобыкин (преподаватель - Шухардина В.А., консультант - к. ф.-м. н. Кулагин А.В.).  
 
 
 
 
 
 
 

    Рис. 13 Модель дендрита, построенная на языке Turbo Pascal

    В 1994 году на международном фестивале Interactive Media Festival, проводимом в Америке, был представлен проект, который вошел в каталог выставки под названием "Дендритовый лес". В целом фестиваль посвящен интерактивным системам художественного, научного и прикладного назначения, создаваемым с помощью средств мультимедиа самого современного типа. Вот как работает интересующий нас проект, эта захватывающая система виртуальной реальности, использующая текст, музыку, натурные съемки при активном участии человека. Вам дается возможность путешествия внутрь собственного мозга. Судя по авторскому описанию проекта, это делается с помощью датчиков, перехватывающих информацию, связанную с теми самыми чувствительными отростками нервных клеток, которые в медицине тоже называют дендритами.

    На  первом этапе каждый человек из группы пользователей системы носит  специальный шлем с датчиками, подсоединенный к компьютеру. Данные об импульсах, передаваемых датчиками, трансформируются системой в цветную мультипликацию и каждый пользователь может "наблюдать" движение своих идей на мониторе в виде объемного красивого графика своих "интеллектуальных осцилляций". Построение каждого графика сопровождается личным музыкальным рядом, подаваемым в наушники каждому игроку. Пользователям даются некие задания для загрузки ума и психики: цель каждого игрока - контролировать стабильность своего графика и музыкального ряда. Средства контроля: сосредоточение, активная стабильная работа мозга, творческое состояние. Выигрывает игрок наиболее творческий, психически и интеллектуально стабильный и способный сосредоточиться.  
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 

    Рис. 14 "Дендритовый лес"

    Второй  этап: игроки должны начать сотрудничать. Поощряется игра, совместное творчество, используются различные техники  групповой работы. Звук и изображение  на мониторе меняются в соответствии с творческим запалом, организованностью и психологической комфортностью всей группы. Графическое отображение деятельности группы пользователей на мониторе мультимедийная система дает в виде группы объемных графиков функций, изменяющихся на общей временной оси. Эта картина и представляет собой тот самый "Дендритовый лес": в интерпретации данной системы графического вывода это очень похоже по форме на кристаллические формы хрусталя (см. рис. 14).

    Итак, конечно, по техническому совершенству и эффективности воздействия  на зрителя дендрит, созданный ученической  программой на Turbo Pascal'е, намного уступает мультимедийному объемному изображению групповой мозговой атаки. Однако идея одна на оба проекта: развитие дендритов. На уровне владения техническими приспособлениями "ижевский" ученик проигрывает профессиональным авторам мультимедиа-установки со шлемами и датчиками, но на уровне знания о природе вещей - в данном случае дендритовых структур - они вполне могут оказаться на равных.

Заключение 

    В работе рассмотрен комплекс вопросов, касающихся механизма образования дендритов. На примере образования дендритов в металлах, нефти показано применение современных математических методов наглядного моделирования кристаллизации с учетом теории кластеров и фракталов, приведены примеры моделей и их структур. Физическая составляющая моделирования стремится в предметной области ответить на исследовательский вопрос, как происходит рост дендритов, образованных во время формирования модели, математическая составляющая дает возможность построить и изучить численную модель, дающую представление о механизмах и причинах роста кристаллов. С дидактической точки зрения для технологического использования важны аспекты адекватной интерпретации достигнутых результатов в терминах физической модели, некоторые полученные численные характеристики, а также предложенные направления исследований по доведению до опытного, а затем промышленного применения.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Литература 

1. Шаскольская М.П. Кристаллы. М.: Наука, 1978.
2. Шубников А.В., Первов В. Ф. Зарождение и рост кристаллов. М.: Наука, 1969.
3. Чалмерс Б. Теория затвердевания. М.: Металлургия, 1968.
4. Гетлинг А.В. Конвекция Рэлея — Бенара. Структуры и динамика.— М.:
5. Эдиториал УРСС, 1999.— 248 с.
6. Казакова Л.П. Твердые углеводороды нефти. — М.: Химия, 1986.— 176 с.
7. Сандер Л. Континуальная ДОА: случайный фрактальный рост, порождаемый

детерминистической  моделью / Фракталы в физике. Труды VI

международного  симпозиума по фракталам в физике (МЦТФ, Триест, Италия, 9 – 12 июля 1985). — М.: Мир, 1988.— С. 336 – 344.

8. Мандельброт Б.Б. Фрактальная геометрия природы.— М.: Институт

компьютерных  исследований, 2002.— 656 с.

9. Подготовка учителя математики: инновационные подходы: Учеб. пособие /

под ред. В.Д. Шадрикова.— М.: Гардарики, 2002.— 383 с.