Формирование понятия «квадрат» у учащихся начальных классов

Содержание  понятия раскрывается через указание ближайшего рода и признака, отличающего данное понятие на вид  от других видов этого рода.

Род – это  класс однородных предметов. Вид  – это предметы, входящие в род  и имеющие черты отличающие их от других предметов того же рода. [7, с.54]

Формирование  понятий представляет собой активную деятельность, направленную на решение  познавательных задач. В отличие  от представлений и житейских  понятий, научные понятия отражают не непосредственные чувствительные свойства предметов, а их общие и существенные объективные отношения. Значение научных понятий раскрываются только в их системе, через их отношения которые отражают объективные связи вещей и явлений.

Эти связи обнаруживаются не непосредственно, а в процессе деятельности.

Источником  научного понятия являются не сам чувственный опыт, а определенные действия, которые путем преобразования предметов обнаруживается в них новые отношения и свойства. Свойства необходимые для реализации определенных функций называются функциональными. Научные понятия выделяют и закрепляют функциональные свойства вещей и явлений. [22, с.214]

Талызина Н.Ф. выделила условия формирования понятий:

1. Особенности личности и мотивация. Формирование понятий управляется определенной целью, и возникают под влиянием соответствующих мотивов. Восприятие и мышление ребенка начинает искать и выделять в объектах соответствующие функции, тогда как функции объектов, отображаемые понятия заинтересуют его.

2. Направленные  усилия, поиски и многократные  попытки, сопровождаемые проверкой результатов. Такие поиски приводят к осознанию все новых отношений и свойств объектов, пока среди них не обнаруживаются существенные для решения задачи. В ходе решения задачи на каждом этапе обнаруживаются новые отношения элементов.

3. Наличие соответствующих  знаний и умений. Прежде чем обучать понятиям, учащихся следует ознакомить со свойствами, отношениями и функциями объектов на которые опираются изучаемые понятия.

4. Предварительный  анализ сущности мыслительной  задачи и оценки возможных  ее решений. Понятия образуются быстрее, если учащийся осознает, для чего оно нужно, какие задачи позволяет решать, и каким областям действительности относятся.

5. Направленность  мышления. Желания и прилежание  недостаточно для образования  понятий. Поэтому необходимо чтобы  мышление было направлено на соответствующие функции и свойства объекта.

Главный путь формирования научных понятий – обучение, ведущим  является содержание обучения. Знания, которые ребенок получает, задачи которые он решает в ходе обучения – вот, что определяет содержание и форму понятий, также характер практических, перцептивных и умственных действий ребенка. [22, с.220]

Шардаков М.Н. рекомендует осуществлять формирование понятий по следующим этапам:

1. Организация наблюдения единичных предметов или явлений. Учащимся дается наглядное представление о явлении, предмете или законе с помощью выразительных наглядных пособий или опытов; при этом новые понятия даются в тесной связи с уже известными учащимся понятиями. Если позволяют условия, рекомендуется дать учащимся возможность манипулировать с предметом, понятие о котором они изучают (работа с раздаточным материалом, схемами, моделями) В процессе своей работы по усвоению понятия внимание школьников акцентируется на общих существенных признаках изучаемых предметов  и явлений.
2. Обобщение наблюдений. С этой целью организуется наблюдение возможно большего количества разнообразных предметов и явлений, относящихся к изучаемому понятию.
3. Выделение общих существенных признаков изучаемых предметов и явлений. После того, как знания учащихся обогатятся достаточным количеством наблюдений разнообразных свойств (признаков) предметов и явлений, связей и отношений, они начинают выделять общие существенные признаки и отношения. Этот мыслительный процесс происходит при помощи абстрогирования и анализа отдельных признаков предметов и явлений, отношений между ними, сравнения сходных признаков и связей и, наконец, их синтезирования и обобщения. В результате такой мыслительной работы школьники выясняют общие и существенные признаки понятия.
4. Уточнение. Чтобы приобретенные школьниками понятия о предметах и явлениях действительно были не расплывчатыми, а точными. Определенными, необходимо уточнить их и, пользуясь сравнением, отличить от родственных или сходных понятий.
5. Определение понятия. После преодоленной работы по формированию понятия рекомендуется дать его определение. Определение должно охватить все общие существенные признаки понятий.
6. Упражнение по практическому применению понятий и проверка их усвоения. После того. Как учащиеся ознакомились с общими существенными признаками понятий, необходимо проверить, насколько сознательно они усвоили понятия, и научить опрерировать понятием с помощью упражнений.

7. Расширение и углубление понятий. В процессе дальнейшего обучения учащиеся глубже знакомятся с содержанием понятий и изучают связи и отношения между различными понятиями одной и той же науки, а затем и разных науке. [31]

Геометрия, геометрические понятия, геометрические задачи, как  и вообще любые математические задачи, играют в обучении математики двоякую роль: как цели и как средства обучения. А.Д.Александров, рассматривая диалектику геометрии, указывал, что «геометрия – это не только  содержание, но и способ рассмотрения, не только «тело», но и «геометрический дух», выражающийся в целостном синтетическом рассмотрении предмета и вносящий в другие области математики геометрические понятия и представления…». По этой причине при выявлении функций геометрии в обучении, и в частности в обучении младших школьников, следует учитывать обе стороны. Для более глубокого анализа исследований функций геометрии, отражающих каждую из указанных сторон, целесообразно проводить отдельно, хотя в реальном процессе обучения они тесно связаны. Так, например, одним из приемов помогающих понять задачу, является геометрическая модель. Но эта модель не окажет никакой помощи учащимся в восприятии и решении задачи, если они не знакомы с отрезками, отношениями между ними, не умеют строить отрезок и т.д. Поэтому для использования геометрического материала, как средства обучения нужно, чтобы учащиеся имели уже соответствующие геометрические знания и умения. В тоже время показателем геометрических знаний является умение учащихся применять приобретенные знания геометрии при решении каких-либо практических, не обязательно геометрических задач. [ 26, с. 31]

Основная задача изучения геометрического материала  в младших классах стоит в  накоплении запаса геометрических представлений, на основе которого в дальнейшем можно  будет логически определять понятия. Процесс формирования геометрических понятий не нужно начинать с введения словесного определения. Этот процесс должен быть организован так, чтобы сами учащиеся постепенно подошли к правильному определению понятия. [19, с.16]

Пышкало А.М. считает, что  определить понятие – это значит точно выделить тот класс объектов, который охватывается данным понятием. Для этого мы должны знать все существенные признаки определяемого понятия и проверить, обладает данный объект всеми этими признаками или не обладает. Существует правило построения определения, в логике оно носит название: «определение понятия при помощи указания рода и видового отличия». Например, мы определяем квадрат как прямоугольник (название ближайшего рода), у которого все стороны равны (видовое отличие). В системе определения геометрических понятий, построенных при помощи указанного правила, мы неизбежно приходим к вопросу об основных понятиях. [19, с.10]

Обязательным  моментом формирования геометрического  понятия является рассмотрение происхождения  и смысла понятия. С.Е. Царева пишет: «Рассмотрение происхождения понятия – очень важный и обязательный момент обучения прежде всего потому, что он дает возможность ввести детей в круг  проблем и вопросов, для решения которых и возникало понятие как коллективная мысль человечества. Осознать, в результате решения, каких проблем, ответом на какие вопросы явилось то или иное понятие, - значит, познать его сущность». Однако эта сторона геометрического, как и в общем математического образования учащихся начальной школы в настоящее время представлена в крайне малой степени. [26,с. 33]

Геометрия является одной  из наиболее логически структурированных  и обустроенных наук. Поэтому обучение геометрии имеет большие возможности  в формировании у детей «способности строить мини-математические теории, логически упорядочивая и расширяя некоторый набор взаимосвязанных фактов». [26,с. 35]

В последнее время психологами  и педагогами осуществлена попытка  проникнуть в процесс развития геометрического  мышления, раскрыть и выяснить его  специфику. С этой целью можно  определить несколько уровней мышления в области геометрии, которые условно называют «уровнями геометрического развития» [19, с. 19]

Каждому уровню соответствует  свой язык, содержащий определенную геометрическую и логическую терминологию, своя символика, своя глубина логической обработки геометрического материала. Переход от одного уровня к другому не является процессом самопроизвольным, идущим одновременно с биологическим развитием человека и зависящий лишь от его возраста. Этот переход протекает под влиянием целенаправленного обучения, а потому зависит от содержания и методов обучения. Их изменение может содействовать ускорению перехода к следующему, более высокому уровню или тормозить этот переход.

Первый, исходный, уровень  характеризуется тем, что геометрическая фигура рассматривается как «целое». На этом уровне при восприятии фигуры ученики еще не выделяют ее элементов, не замечают, например, сходства между квадратом и прямоугольником. Фигуры различаются по своему внешнему виду. Ученик, мыслящий на первом уровне. Может легко научиться узнавать такие фигуры, как прямоугольник, квадрат, ромб, параллелограмм, хорошо запоминает их название, но не видит общих признаков в этих фигурах, не видит в квадрате ромба, в ромбе – параллелограмма и т.д. для ученика каждая из этих фигур существенно индивидуальна.

При правильном обучении первый уровень, может быть, достигнут всеми  учащимися первого класса и старшими дошкольниками.

Учащиеся, достигшие второго  уровня, умеют устанавливать отношения  между элементами фигур или самим  фигурами. Они выполняют анализ воспринимаемых фигур. Свойства фигур выясняются только экспериментальным путем. Усвоение свойств фигур происходит в процессе наблюдений, измерений. Вычерчивания, моделирования. Эти свойства используются при узнавании фигур. Но свойства не выводятся и  логически не упорядочены. Учащиеся еще не понимают структуры логического следования. На этом уровне фигуры выступают носителями своих свойств и распознаются учащимися по этим свойствам. Но эти свойства еще не связываются друг с другом. Например, учащиеся довольно быстро замечают, что у прямоугольника, и у параллелограмма общего вида противоположные стороны равны, но учащиеся еще не приходят к выводу, что прямоугольник есть параллелограмм. Правильно организованное обучение, как показывают данные экспериментов, позволяют обеспечить достижение этого уровня всеми учащимися третьего класса. [19, с. 20]

Учащиеся, достигшие  третьего уровня геометрического развития, уже умеют устанавливать связи между свойствами фигур и самими фигурами. На третьем уровне происходит логическое упорядочение свойств. Уясняется возможность следования одного свойства из другого. Логические связи между свойствами устанавливаются с помощью определений. Но порядок логического следования дается учителем или учебником, и сам ученик еще не видит возможностей изменять это порядок. На третьем уровне начинают понимать. Что дедукция позволяет устанавливать свойства фигур экономно и обще, чем с помощью эксперимента: выяснив экспериментально одни свойства фигуры, путем логического рассуждения – вывода можно уже получить другие свойства. На этом уровне квадрат уже считается прямоугольником, параллелограммом.

Обучение на третьем уровне геометрического развития в основном считается в четвертом классе и завершается к моменту окончания школы.

Четвертый уровень  геометрического развития характеризуется  тем, что учащиеся осознают значение дедукции в целом как способа  построения всей геометрической теории.

Переход на этот уровень способствует усвоение роли и сущности аксиом, определений, теорем, логической структуры доказательств; анализа логических связей понятий  и предложений. Учащиеся на этом уровне легко видят различные возможности  развития теории и могут использовать дедуктивные построения не только в области изучения свойств одной какой-нибудь фигуры. [19, с. 21]

На пятом  уровне достигается отвлечение от конкретной природы объектов и конкретного  смысла отношений, связывающих эти  объекты.

Переход от одного уровня к другому осуществляется постепенно и последовательно. При этом элементы более высокого уровня зарождаются внутри предшествующего, появляются до того, как осуществлен переход к новому уровню. Причем после этого перехода возвращаемся к более низкому уровню с целью обеспечения лучшего понимания изучаемых на новом уровне вопросов. Все это дает возможность на каждом уровне этапе обучения определить основной уровень, на котором ведется обучение, а также элементы предшествующего и последующего уровней геометрического развития. [19, с. 22]

Важным условием, обеспечивающим полноценную реализацию обучения математике, является не только правильное, осознанное учителем преподнесение  учебного материала программы и  стабильного учебника, но и умение самостоятельно отобрать необходимый учебный материал. Каждый учитель должен быть знаком с основными критериями, позволяющими не допускать ошибок при отборе геометрического материала. Это важно и в связи с реализацией творческого подхода в обучении и развитии младших школьников. Содержание критериев сводится к следующему: