Дифференциальное исчисление

 

 dy

 

По полученной формуле можно приближенно вычислять значение дифференцируемой функции y=f(x) в окрестностях точки х0, где f’(x0), в которых значение функции определено и при достаточно малых значениях справедливо равенство:

 

 

Так как ,,

то f(x)=

 

Пример. Найти cos 61° .

Решение: y=f(x)=cos x. Пусть x0=60° или .

Пусть x=61° или x = . Тогда ∆x= 0,01745

Тогда cos(x)≈cos x0+(cos x0)’⋅∆ x или cos(x)≈cos x0-sin x0⋅∆ x,

 т.е. cos 61°≈ cos60° -sin60° ⋅ 0,01745≈ 0,01745 ≈0,4849

 

6. Изучение производной при исследовании функций и построения графиков.

 

Напомним, что такое функция.

Функция - это соответствие между множествами Х и У, при котором каждому элементу множества Х соответствует единственный элемент множества У. Она показывает зависимость одной переменой от другой: у= f(x).

 

Схема полного исследования функции

1. Область определения функции:

D(f)- значения х, при которых функции существует.

2. Точки пересечения графика с осями координат:

С осью Оу: х=0, находим у

С осью Ох: у=0, находим х.

3. Четность или нечетность:

 Если функция четная f(-x)=f(x), то ее график симметричен относительно оси ординат (Oy),

если нечетная f(-x)=-f(x), то график симметричен относительно начала координат.

4. Найти производную f’(x).
5. Критические точки - точки, в которых производная равна нулю или не существует. Точки разрыва – точки, в которых функция не существует.

Следует решить уравнение: .

6. Промежутки монотонности - промежутки возрастания и убывания функции.

1. Если то - возрастает;
2. Если то - убывает.

7. Точки экстремума – точки максимума и минимума.

1. Если в критической точке производная f’(x) меняет знак с «+» на «-»,  то - точка максимума (max).
2. Если в критической точке производная f’(x) меняет знак с «-» на «+»,  то - точка минимума (min).
3. Если в критической точке производная не  меняет знак,  то - точка перегиба.

8. Значения функции f(x) в точках экстремума f(xmax )и f(xmin) - экстремумы функции .

9. Найти производную f’’(x).
10. Дополнительные точки для исследования поведения функции при +
11. Асимптоты.

Асимптотой кривой у=f(x) называется прямая, к которой неограниченно приближается (подходит сколько угодно близко) точка кривой при ее удалении вдоль кривой в бесконечность.

1. Вертикальная – проходит через точки разрыва. (например: для функции , x=0 – точка разрыва).
2. Наклонная асимптота - , где и .

12. Построить график функции.

 

Во многих случаях для построения графика совершенно не обязательно проводить полной исследование функции, вполне достаточно ограничиться отдельными его пунктами.

ПРИМЕР. Построить график функции:fx=2x4-5x3

1. Область определения: множество всех действительных чисел R .
2. Точки пересечения с осью x : x=0;x=25

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю: 2x4-5x3=0

Решаем уравнение методом разложения на множители. Выносим общий множитель: x32x-5=0

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай 1 : x3=0

Итак, ответ этого случая: x=0 .

Случай 2: 2x-5=0 , 2x=5 , x=25

Ответ: x=0;x=25

Точки пересечения с осью y : y=0

Пусть x=0

f0=2·04-5·03=0

3. Первая производная: f'x=8x3-15x2
4. Критические точки: x=0;x=1875

Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение:8x3-15x2=0

Решаем уравнение:x28x-15=0

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай 1 :x2=0

ответ этого случая: x=0 .

Случай 2 :8x-15=0 ,8x=15 , x=1875

Итак, ответ этого случая: x=1875 .

Ответ: x=0;x=1875 .

4*. Симметрия относительно оси ординат: нет

• Функция f(x) называется четной, если f(-x)=f(x).

fx-f-x =2x4-5x3-2-x4-5-x3 =2x4-5x3-2-x4+5-x3 ==2x4-5x3-2x4-5x3 =2x4-5x3-2x4-5x3 =-5x3-5x3 =

=-10x3 = -10x3

-10x3≠0

f-x≠fx

Симметрия относительно начала координат: нет

• Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)=-f(x).

fx+f-x =2x4-5x3+2-x4-5-x3 =2x4-5x3+2-x4-5-x3 =2x4-5x3+2x4+5x3 =2x4-5x3+2x4+5x3 =4x4

4x4≠0

f-x≠-fx

 

5. Тестовые интервалы: наносим критические точки на числовую ось.

 

 

 

 

7. Относительные экстремумы и точки перегиба:

Проходя через точку минимума, производная функции меняет знак с (-) на (+).

Относительный минимум 1875;-823974609375 .

x	fx=2x4-5x3
x=0	0	точка перегиба
x=1875	-823974609375	относительный минимум

 

8. Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.

А) Вертикальные асимптоты: нет

Б) Точки пересечения с осями: (0; 0),(2,5; 0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вопросы к лекции №1:

1. Что такое дифференциальное исчисление?
2. Что такое приращение аргумента, приращение функции?
3. Дайте определение производной функции.
4. В чем заключается геометрический и механический смысл производной?
5. Как записывается уравнение касательной к графику?
6. Что такое дифференцирование?
7. Каковы основные правила дифференцирования?
8. Какие функции называются элементарными? Приведите примеры.
9. Перечислите несколько производных элементарных функций.
10. Назовите производные сложной и обратной функции.
11. Что такое дифференциал?
12. Какую формулу дифференциала используют к приближенным вычислениям?
13. Что называется функцией?
14. Какие точки называются критическими?
15. Каковы правила нахождения точек экстремума функции?
16. Каков алгоритм или схема исследования функций с помощью производной?

Контрольный материал.

 

1. Разность между двумя значениями аргумента называется_______________________________________________________

2.  Дать определение производной функции______________________________ ____________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ _________________________________________________________________

4. Процесс нахождения производной называется________________________

5. Записать формулу производной функции__________________________

6. Записать основные правила дифференцирования:

_________________________________________________________________________________________ ___________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

7. Решить ребус:

 

2. ПРОЕЗД (…,,,) + ИЗ + ВОДА (…,) + НАЯ 

 

 

 

                                              ЛИТЕРАТУРА:

1. Гилярова М.Г. Математика для медицинских колледжей. -Ростов н/Д: Феникс, 2015.
2. Колесов В.В, М.Н. Романов. Математика для медицинских колледжей: задачи с решениями. Изд.4-е.-Ростов н/Д: Феникс, 2015.
3. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. -М.: Просвещение, 1990