Чмсловые последовательности основной общеобразовательной школе с применением компьютерных технологий

S_k= .

3) Докажем, что равенство  верно при n=k+1,т.е. докажем, что

S_k+1= .

Доказательство.

S_k+1=S_k+a_k+1=

= .

Таким образом, мы доказали, что формула

 S_n= справедлива для

Геометрическая прогрессия.

Определение. Числовая последовательность, первый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число, не равное нулю, называется геометрической прогрессией.

Если последовательность (b_n)-геометрическая прогрессия, то по определению:

То есть отношение  любого члена и предыдущего равно  одному и тому же числу. Это число  называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается буквой q.

Таким образом геометрическая прогрессия (b_n) определяется условиями:

1) b₁=b, где b≠0 – некоторое число.

2) b_n+1=b_nq (q≠0) – для .

Из условий следует, что геометрическая прогрессия является возвратной последовательностью 1-го порядка.

Геометрическая прогрессия обладает характеристическим свойством: квадрат любого её члена, начиная  со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов  

.

Доказательство

По определению геометрической прогрессии:

,откуда  что и требовалось доказать.

Справедливо и обратное утверждение:

Если некоторая последовательность такова, что любой её член, начиная  со второго, является средним геометрическим предыдущего и последующего членов, то эта последовательность - геометрическая прогрессия.

Доказательство.

Пусть для любых трёх соседних членов некоторой последовательности

(b_n ) выполняется соотношение , (n≥1)

Тогда следовательно частное между любым членом последовательности (b_n) и предыдущим с ним членом равно одному и тому же числу. Значит (b_n) – геометрическая прогрессия.

Проводя параллель с арифметической прогрессией, выделим основные формулы: b_n=b₁q^n-1  и S_n= (q≠1). Докажем их методом математической индукции.

1) Покажем, что равенство b_n=b₁q^n-1 – верно при n=2:

b₂=b₁q – верно

2) Предположим, что равенство  верно при n=k

b_k =b₁q^k-1.

3) Докажем, что верно  при n=k+1, т.е. b_k+1=b₁q^k,

b_k+1=b_kq=b₁q^k-1q=b₁q^k.

Таким образом мы доказали что формула b_n=b₁q^n-1 – справедлива для nєN

1) Покажем, что S_n= , где верно при n=2:

- верно.

2) Предположим, что верно при n=k:

S_{k= .}

3) Докажем, что верно  при n=k+1, т. е. S_k+1= .

Доказательство.

S_k+1 =

=

следовательно формула S_n= , где q≠1 справедлива для .

Таким образом, мы рассмотрели в  качестве одного из классов числовых последовательностей арифметические и геометрические прогрессии. Особое место среди числовых последовательностей  занимает также последовательность чисел Фибоначчи. Рассмотрим её более подробно в следующем параграфе.

 

1.3. Последовательность чисел Фибоначчи, её свойства

Числа Фибоначчи обладают целым рядом интересных и важных свойств, которые мы рассмотрим подробнее.

Многие соотношения между числами  Фибоначчи удобно доказывать при помощи метода математической индукции.

Простейшие свойства чисел Фибоначчи.

1) Вычислим сначала сумму первых  n чисел Фибоначчи. А именно докажем, что: u₁+u₂+…+u_n=u_n+2 – 1       (1.1)

Будем доказывать методом математической индукции.

Проверим, верно ли равенство при  n=2:

u₁+u₂=u₂₊₂ – 1, так как u₁=1,u₂=1,u₄=3, то

2=3-1;

2=2 – верно.

Предположим, что равенство верно  при n=k, т.е.

u₁+u₂+…+u_k=u_k+2 – 1

Докажем, что равенство верно  при n=k+1. Нужно доказать, что:

u₁+u₂+…+u_k+u_k+1=u_k+3 – 1.

Доказательство.

u₁+u₂+…+u_k+u_k+1=u_k+2 – 1+u_k+1=u_k+3 – 1;

u_k+3 – 1=u_k+3 – 1.

Таким образом мы доказали, что  формула:u₁+u₂+…+u_n=u_n+2 – 1 верна для любого натурального n³2

2) Сумма чисел Фибоначчи с  нечётными номерами:

 u₁+u₃+u₅+…+u_2n-1=u_{2n .}       (1.2)

Для доказательства равенства  также будем использовать метод  математической индукции. Проверим верность равенства при n=2:

u₁+u₃=u₄;

1+2=3;

3=3 – верно.

Предположим, что равенство верно  при n=k, т.е.:

u₁+u₃+u₅+…+u_2k-1=u_2k.

Докажем, что равенство верно  при n=k+1, т.е. нужно доказать, что:

u₁+u₃+u₅+…+u_2k-1+u_2k+1=u_2k+2.

Доказательство.

u₁+u₃+u₅+…+u_2k-1+u_2k+1=u_2k+u_2k+1=u_2k+2 ;

u_2k+2=u_2k+2, таким образом мы доказали, что формула верна для любого n³2.

3) Сумма чисел с чётными номерами: u₂+u₄+…+u_2n=u_2n+1 – 1    (1.3)

Доказательство.

На основании (1.1) мы имеем: u₁+u₂+u₃+…+u_2n=u_2n+2 – 1;

Вычитая почленно из этого равенства  равенство (1.2) получаем:

u₂+u₄+…+u_2n=u_2n+2 – 1- u_2n=u_2n+1 – 1.

Таким образом, мы доказали, что равенство:

 u₂+u₄+…+u_2n=u_2n+1 – 1 ,верно для любого n³2.

Формулы (1.1) и (1.2) были доказаны при  помощи метода математической индукции. С помощью этого метода докажем ещё одну формулу для суммы квадратов первых n чисел Фибоначчи:

4)   (1.4)

проверим верность равенства при  n=2:

1+1=

2=2 – верно.

Предположим, что равенство верно  при n=k, т.е. 

Докажем, что равенство верно  при n=k+1, т.е.    

Доказательство.

Таким образом, мы доказали, что формула справедлива для  любого n³2.

До сих пор мы определяли числа Фибоначчи рекуррентно. Однако, любое число Фибоначчи можно определить непосредственно, как некоторую функцию его номера.

Исследуем для этого различные последовательности u₁,u₂,…,u_n,… Удовлетворяющие соотношению: u_n=u_n-2+u_n-1  (1.5)

Все такие последовательности называют решениями уравнения (1.5)

Рассмотрим последовательности:

V₁, V₂, V₃,…

V’₁, V’₂, V’₃,  

V’’₁, V’’₂, V’’₃,…

Обозначим их соответственно (V_n), (V’_n), (V’’_n). Для данных последовательностей справедливы следующие утверждения:

Лемма 1.

Если (V_n) есть решение уравнения (1.5), а c произвольное число, то последовательность (сV_n),т.е. последовательность cv₁,cv₂,… есть также решение уравнения (1.5)

Доказательство. Так как последовательность (V_n) является решением уравнения (1.5), то если умножить почленно равенство v_n=v_n-2+v_n-1 на с, то получаем: cv_n=cv_n-2+cv_n-1 следовательно последовательность (cV_n) является решением уравнения (1.5).

Лемма 2.

Если последовательность (V’_n) (V’’_n) является решением уравнения (1.5), то и их сумма (V_n+V’’_n) (т.е. последовательность v’₁+v’’₁, v’₂+v’’₂,…) также является решением уравнения (1.5)

Доказательство.

Из условия леммы имеем: v’_n=v’_n-2+v’_n-1;

v’’_n=v’’_n-2+v’’_n-1.

Сложив эти два равенства  почленно, получим:

v’_n+v’’_n=(v’_n-2+v’’_n-2)+(v’_n-1+v’’_n-1). Следовательно последовательность (V’_n+V’’_n) является решением уравнения (1.5).

Пусть теперь (V’_n) и (V’’_n) – два непропорциональных, т.е. два таких решения уравнения (1.5), что при любом постоянном с найдётся такой номер n, для которого ¹c. Такую последовательность (V_n) являющуюся решением уравнения (1.5) можно представить в виде: (c₁V’_n+c₂V’’_n) (1.6), где с₁ и с₂ – некоторые постоянные. Решение (1.6) называется общим решения уравнения (1.5).

Докажем, что если решения (V’_n) и (V’’_n) уравнения (1.5) непропорциональны, то (1.7)

Доказательство.

Будем доказывать методом  от противного. Предположим, что для  непропорциональных решений (V’_n) и (V’’_n) уравнения (1.5) выполняется равенство:  следовательно по свойству пропорции ( ) получим: = или предположим, что верно равенство: следовательно по свойству пропорции: или , следовательно на основе метода математической индукции можно заключить, что формула верна для любого натурального числа n следовательно решения уравнения (1.5) (V’_n ) и (V’’_n) пропорциональны, что противоречит условию, следовательно сделанное нами предположение неверно. Значит для непропорциональных решений (V’_n ) и (V’’_n)уравнения (1.5) выполняется .

Замечание.

При доказательстве леммы  мы использовали следующее свойство

пропорции:

= . Докажем его:

 тогда 

  таким образом  мы доказали, что .

Возьмём теперь некоторую  последовательность, являющуюся решением уравнения (1.5). Эта последовательность, как уже было выяснено определена, если заданы два её первых члена v₁ и v_{2 .}Найдём такие с₁ и с₂, чтобы:

 с₁v’₁+c₂v’’₁=v_1,

 c₁v’₂+c₂v’’₂=v₂  (1.8)

Тогда на основании лемм 1 и 2 (с₁V’_n+c₂V’’_n) даст нам последовательность (V_n).

На основе условия (1.7) система уравнений (1.8) разрешима относительно с₁ и с₂ , каковы бы ни были числа v₁ и v₂ :

1) с₁v’₁+c₂v’’₁=v₁;

c₁v’₁=v₁-c₂v’’₁;

c₁= ;

2) c₁v’₂+c₂v’’₂=v₂;

;

;

;

 

.

3) c₁= ; подставив значение с₂  , получим:

,     .

Подставив численные  значения с₁ и с₂ в (с₁ (V’_n )+c₂ (V’’_n)), мы получим последовательность (V_n).

Значит для описания всех решений уравнения (1.5) достаточно найти какие-нибудь два его непропорциональных решения

Будем искать эти решения  среди геометрических прогрессий. .В  соответствии с леммой 1 достаточно ограничиться рассмотрением только таких прогрессий, у которых первый член равен единице. Итак, возьмём прогрессию: 1, q, q²,…

Чтобы она была решением уравнения (1.5), необходимо, чтобы при всяком n выполнялось:

q^n-2+q^n-1=qⁿ , сократим на q^n-2  тогда получим уравнение:

q²-q-1=0, (1.9) корни этого квадратного уравнения равны , и будут искомыми знаменателями прогрессий. Обозначим их соответственно через a и b. Так как a и b корни уравнения (1.9), то 1+a=a², 1+b=b²  и ab=-1. Таким образом , мы получили две геометрические прогрессии, являющиеся решениями уравнения (1.9). Поэтому все последовательности вида:

с₁+с₂, с₁a+с₂b, с₁a²+с₂b²,… (1.10)

являются решениями уравнения (1.5). Так как найденные нами две прогрессии имеют разные знаменатели ( а именно a и b) и поэтому непропорциональны, формула при различных с₁ и с₂ даёт нам все решения уравнения (1.5)

В частности, при некоторых  с₁ и с₂, формула (1.10) должна дать нам ряд Фибоначчи. Для этого нужно определить с₁ и с₂ из уравнений:

c₁+с₂=u₁,

и

с₁a+с₂b=u₂, таким образом из системы:

с₁+с₂=1,

, откуда получаем

        , откуда , т.е.

.  (1.11)

Таким образом, мы доказали формулу n – го члена для последовательности чисел Фибоначчи.