Чмсловые последовательности основной общеобразовательной школе с применением компьютерных технологий

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 25 Ноября 2012 в 12:45, дипломная работа

Описание работы

В работе изложены основные характеристики всех последовательностей, изучаемых в школе, а так же последовательность чисел Фибоначчи. Проведен анализ, разработаны интересные занятия.
В качестве цели исследовательской работы выступает раскрытие специфики изучения числовых последовательностей в курсе математики основной школы. Для этого необходимо решить следующие задачи:
1. Изучить методико-математическую литературу по проблеме исследования.
2. Раскрыть специфику изучения числовых последовательностей в курсе алгебры основной школы.
3. Произвести логико-дидактический анализ темы: «Арифметические и геометрические прогрессии».
4. Рассмотреть организацию проверки знаний учащихся с помощью компьютерных технологий.

Содержание работы

Введение……………………………………………………………………….…3
Глава I. Числовые последовательности и их свойства
1.1.Числовые последовательности. Способы задания……….……….5
1.2.Арифметические и геометрические прогрессии………………….7
1.3.Последовательность чисел Фибоначчи, её свойства……………13
Выводы по главе I…………….21
Глава II. Изучение числовых последовательностей в систематическом курсе математики основной школы
2.1.Специфика изучения числовых последовательностей в курсе математики основной школы………22
2.2. Логико-дидактический анализ темы «Арифметические и геометрические прогрессии» …………26
2.3. Организация проверки знаний учащихся по теме: «Прогрессии» с использованием компьютерных технологий…30
Выводы по главе II………………………….36
Заключение………………………………………………………………..……...37
Литература………………………………………………………………………..39
Приложения………………………………………………………………………42

Файлы: 1 файл

Числовые последовательности.doc

— 794.00 Кб (Скачать файл)


 

 

 

Содержание

стр.

Введение……………………………………………………………………….…3

   Глава I. Числовые последовательности и их свойства

1.1.Числовые последовательности. Способы задания……….……….5

1.2.Арифметические и геометрические прогрессии………………….7

1.3.Последовательность чисел Фибоначчи, её свойства……………13

Выводы по главе I……………………………………………………………...21

 

Глава II. Изучение числовых последовательностей в систематическом курсе математики основной школы

2.1.Специфика изучения числовых последовательностей в курсе математики основной школы………………………………………..…22

2.2. Логико-дидактический анализ темы «Арифметические и геометрические прогрессии» …………………………………………..26

2.3. Организация проверки знаний учащихся по теме: «Прогрессии» с использованием компьютерных технологий………………………….30

Выводы по главе II…………………………………………………..…………..36

Заключение………………………………………………………………..……...37

 

Литература………………………………………………………………………..39

Приложения………………………………………………………………………42

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Развитие мышления учащихся является задачей всех школьных дисциплин, однако, курсу математики в этом вопросе, в связи с его специфическими особенностями, отводится весьма важная роль. Действительно, оперирование в ходе изучения предмета понятиями высокой степени абстрактности, формирование представлений о математическом моделировании, систематически и последовательно проводимая аргументация, четкая логическая схема рассуждения, точность, лаконичность, информированность языка – все это присуще процессу обучения математике и все это способствует воспитанию умственной культуры школьников.

Одним из важнейших понятий математики и ее школьного курса является понятие функции. Числовые последовательности, являясь одним из важнейших классов числовых функций, возникли и развились за долго до создания учения о функции и являются объектом самостоятельного изучения.

В этой связи, темой исследования мы определили: «Особенности изучения числовых последовательностей с применением компьютерных технологий в курсе математики основной школы».

Объектом исследования выступает процесс обучения алгебре в основной школе. Предметом является деятельность учителя по изучению числовых последовательностей в курсе алгебры основной школы.

В качестве цели исследовательской работы выступает раскрытие специфики изучения числовых последовательностей в курсе математики основной школы. Для этого необходимо решить следующие задачи:

1. Изучить методико-математическую  литературу  по проблеме исследования.

2. Раскрыть специфику  изучения числовых последовательностей  в курсе алгебры основной школы.

3. Произвести логико-дидактический анализ темы: «Арифметические и геометрические прогрессии».

4. Рассмотреть организацию  проверки знаний учащихся с  помощью компьютерных технологий.

В качестве гипотезы нашего исследования мы выдвинули предположение о том, что деятельность учителя математики по изучению последовательностей будет более эффективной, если:

    • данная тема будет рассмотрена в контексте функциональной линии;
    • учитель будет активизировать познавательную деятельность учащихся посредством использования исторического материала, разнообразных форм проведения занятий;
    • применять компьютерные технологии при изучении темы и контроле знаний учащихся.

Для эффективного разрешения задач дипломной работы, нами была использована следующая совокупность методов исследования: теоретические: анализ педагогических идей, анализ документации и продуктов деятельности школьников; социально – педагогические: беседа, тестирование, эмпирические: изучение педагогического опыта, теоретические изучение информационных источников.

Базой нашего исследования являлась средняя общеобразовательная школа №3 г. Каменска-Шахтинского. 9 «Б».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава I. Числовые последовательности и их свойства

1.1.Числовые  последовательности. Способы задания

Существуют различные  подходы к определению понятия  «числовая последовательность».

Определение. Числовой последовательностью называют числовую функцию, заданную на множестве N, натуральных чисел.

Поскольку функция определяется через  соответствие между множествами, то определение можно сформулировать в виде:

если каждому натуральному числу n ставится в соответствие по некоторому правилу единственное натуральное число Xn, то множество занумированных действительных чисел X1,X2,…Xn,… называется числовой последовательностью.

В общем виде это можно  записать так:

 

 1           2           3   …   n   …


 

X1        X2          X3   … Xn   …

Расмотрим примеры числовых последовательностей:

5, 7, 9, 11, 13, 15… (1)

1, 4, 9, 16, 25, 36… (2)

1, -1, 1, -1, 1, -1…   (3)

В примере (1) каждому натуральному числу n ставится в соответствие нечётное число: 2n+3; следовательно формула n-го члена имеет вид: Xn=2n+3.

Числовая последовательность в примере (2) задана следующим образом: каждому натуральному числу ставится в соответствие его квадрат, и  значит n-й элемент последовательноти может быть задан формулой Xn=n2.

В последнем примере (3) n-й элемент последовательности имеет  вид:

Xn=(-1)n+1

Итак, последовательность может быть задана с помощью формулы, позволяющей вычислять каждый член последовательности по его номеру.

Существуют и другие способы задания последовательностей. Так, например, числовую последовательноть можно изображать:

а) точками на числовой оси, где n є N.

б) точками с координатами ( n; Xn ) на плоскости.

Например последовательность, общий  член которой равен  можно изображать точками на числовой оси (рис.1) и точками на координатной плоскости (рис.2).


0                                                                                   1

рис.1

              Xn


             

             

                1      

 

 
                     0      1      2      3      4      5      6      7      8      9          n

 

              - 1

                                     рис. 2

Последовательность может  быть задана рекуррентным способом (лат. recurre «возвращаться») В этом случае надо указать первый член (или несколько  первых членов) и формулу, связывающую n-й член последовательности с предыдущим (или предыдущими).

Например для последовательности чисел Фибоначчи:

1; 1; 2; 3; 5; 8; … рекуррентная  формула выглядит следующим образом: un=un-1+un-2, где u1=1, u2=1, n ≥ 3.

Среди рекуррентно заданных последовательностей  выделяют возвратные последовательности.

Поледовательность (un) называют возвратной последовательностью порядка k, если для всех неотрицательных целых n :

Un+k=a1un+k-1+a2un+k-2+ … +akun  (*) ,где ak≠0. При этом соотношение (*) называют рекуррентным уравнением порядка k. Таким образом, если возвратная поледовательность имеет порядок k, то каждый её член начиная с (k+1)-го выражается через k предшествующих ему членов.

Например последовательность чисел  Фибоначчи является возвратной последовательностью 2-го порядка, так как un+2=un+un+1.

Возвратными последовательностями являютя также арифметическая и геометрическая прогрессии. И поскольку прогрессии изучаются в школьном курсе математики, то рассмотрим их более подробно.

 

1.2. Арифметическая  и геометрическая прогрессии

Арифметическая прогрессия.

Определение. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго равен предыдущему члену сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией.

Если последовательность (аn) арифметическая прогрессия, то по определению:

a2-a1=a3-a2=…=an+1-an

Т.е. разность между любым  членом и предыдущим с ним равна  одному и тому же числу. Она называется разностью арифметической прогрессии и обозначается d.

Таким образом арифметическая прогрессия (an) определяется условиями:

1)а1=а, где а-некоторое число

2)an+1=an+d, n≥1

Арифметическая прогрессия обладает характеристическим свойством: любой  её член , начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего  и последующего членов.

Доказательство.

По определению арифметической прогрессии

an+1=an+d,

an+2=an+1+d.

Вычитая почленно из первого  равенства второе получаем:

an+1-an+2=an-an-1,

2an+1=an+an+2.

Следовательно: .

Справедливо и обратное утверждение:

Если некоторая последовательность такова, что любой её член, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и последующего членов, то эта последовательность арифметическая прогрессия .

Доказательство.

Пусть для любых трёх соседних членов некоторой последовательности (аn) выполняется соотношение:

an+1= , (n≥1).

Тогда 2an+1=an+an+2, или an+1-an=an+2-an+1, т.е. разность между любым членом последовательности (an) и предыдущим с ним равна одному и тому же числу. Значит, (an)-арифметическая прогрессия.

Используя равенство 2an+1=an+an+2, получим равенство

an+2=2an+1-an.

из которого следует, что арифметичесая  прогрессия является возвратной последовательностью  второго порядка.

Арифметическую прогрессию можно задать как рекуррентным способом, так и с помощью формулы n-го члена an=a1+(n-1)d. В школьном курсе математики она выводится следующим образом:

 а21+d;

а32+d;

а43+d;

. . . . . . .

аn-1n-2+d;

an=a n-1+d.

Складывая почленно эти (n-1) равенств, получаем:

(a2+a3+a4+…+an-1)+an=a1+(a2+a3+…+an-2+an-1)+(n-1)d,

откуда  an=a1+(n-1)d.

Данную формулу можно  так же доказать методом математической индукции:

1) Проверим верность  равенства при n=2:

a2=a1+(2-1)d,

a2=a1+d-верно.

2) Предполжим что равенство  верно при n=k:

ak=a1+(k-1)d.

3) Докажем что равенство  верно при n=k+1, т.е. докажем что

ak+1=a1+(k+1-1)d, или ak+1=a1+kd.

Доказательство.

аk+1=ak+d=a1+(k-1)d+d=a1+(k-1+1)d=a1+kd.

Следовательно формула an=a1+(n-1)d справедлива для

Наряду с вычислением n-го члена арифметческой прогрессии важное место занимает нахождение суммы  её первых n членов.

В учебниках алгебры [2], [16] рассматривается следующий подход к выводу этой формулы: обозначим сумму n первых членов арифметической прогрессии (an) через Sn и запишем эту сумму дважды, изменив во втором случае порядок слагаемых на обратный:

Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an,

Sn=an+an-1+…+a3+a2+a1.

Складывая почленно эти  равенства получаем:

2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an-1+a2)+(an+a1).

В правой части равенства  сумма двух чисел в каждой скобке равна (a1+an) т.к a2+an-1=(a1+d)+(an-d)=a1+an,

a3+an-2=(a2+d)+(an-1-d)=a2+an-1=a1+an и.т.д.

Число слагаемых, заключённых  в скобки равно n. Поэтому

2Sn=(a1+an)n, откуда

Sn= .

Заменим в этой формуле член an его выражением a1+d(n-1). Тогда

Sn= .

Данную формулу можно  доказать методом математической индукции:

1) Проверим верность  равенства при n=2.

S2= ,

S2= ,

S2=2a1+d,

S2=a1+ (a1+d),

S2=a1+ a - верно.

2) Предположим, что  равенство верно при n=k:

Информация о работе Чмсловые последовательности основной общеобразовательной школе с применением компьютерных технологий