Автономные системы и фазовые пространства

Решение. Рассмотрим систему, соответствующую данному уравнению:

=Q(x,y)= f(x)y – g(x).

 

Составим выражение

+ =    f(x),

 

которое сохраняет знак в  полосе   a x b. Тогда в силу утверждения 4 данное уравнение в полосе a x b фазовой плоскости (х,у) не имеет предельного цикла.

 

§4. Функция последования.

Для разыскания циклов применяют  так называемую функцию последования. Пусть дана гладкая линия L без контактов, т.е. линия L ни в какой своей точке не касается траекторий системы (4). Такими линиями могут служить малые отрезки нормалей к траекториям. Пусть положение точки на L определяется параметром , т.е. a=a() ϵ L . Проведем через точку a(₀) траекторию l решения x=φ(t) системы (4) в сторону возрастания t и продолжим эту траекторию до первого пересечения с L, если оно состоится. Тогда точке пересечения отвечает значение =₁, зависящее от ₀. Эта зависимость ₁=(₀) и называется функцией последования. Функция последования  определена, вообще говoря, не для всех значений (т.е она определена не вдоль всей линии L), а только для тех, для которых траектория l при своем продолжении вновь встречает (пересекает) линию L.  Эта функция может даже оказаться не определенной ни для одной точки L. Оказывается, если она определена при некотором значении , то она обязательно определена и непрерывна для всех достаточно близких значений , что вытекает из теоремы о непрерывной зависимости решения от начальных данных и из того, что линия L без контакта, и поэтому траектории, встречаясь с L, пересекают ее. Можно также показывать, что функция последования является строго монотонной и непрерывно дифференцируемой.

Теорема 2. Для того чтобы через точку a(₀) проходил цикл, необходимо и достаточно, чтобы значение (₀)   было определено и     (₀) =₀  .

Доказательство. Достаточность. Если  (₀) =₀, то траектория проходящая через точку ₁= (₀) , сама себя пересекает. Тогда в силу следствия из теоремы 1 она является замкнутой или положением равновесия. Последнее невозможно, так как в этом случае вектор   f(x₀)=0, x₀=φ(a(₀))                  и он был бы касательным к линии L в точке ₀, что противоречит определению линии L.

Необходимость. Если (₀) не определено, то траектория       при t > t₀  не пересeкает L и поэтому она не может быть циклом (не может вновь пройти через a(₀)). Пусть теперь значение ₁=(₀) определено, но ₁₀. Обозначим a(₀) = a₀, a(₁)= a₁. Тогда дуга  a₀a₁  траектории и дуга a₀a₁ линии L вместе образуют замкнутую кривую Г, которая делит плоскость на две области. Конечную из них обозначим через G. Так как L – линия без контакта, поэтому все траектории пересекают ее в одном направлении, т.е. все траектории либо входят в область G (рис.3,а), либо выходят из нее (рис.3,б). Ни одна траектория не может выйти из области G(или зайти в область G) через дугу   a₀a₁  линии L и дугу a₀a₁ траектории .

Дуга a₀a₁ линии L (на рис.3 линия L- отрезок) может пересекаться траекториями либо внутри области G, либо вне этой области. Рассмотрение обоих случаев показывает, что траектория , продолженная за точкой  a₁, не может вновь прийти в точку a₀, т.е. не может быть циклом. Теорема 2 полностью доказана.

Теорема 3. Для того чтобы через точку a(₀)  проходил предельный цикл автономной системы (4), необходимо и достаточно, чтобы функция () была определена при ₀, (₀) =₀ и для достаточно малых |₀|>0  выполнено равенство ()   .

Действительно, поскольку выполнены все условия теоремы 2, то траектория l, проходящая через точку a(₀), будет циклом. В силу дополнительного условия этот цикл К изолированный, так как траектории, отличные от К и проходящие через точки, достаточно близкие к К, не будут замкнуты. В противном случае, замкнутые траектории пересекали бы линию L в точках, как угодно близких к точке  (₀). Поскольку функция () непрерывна и строго монотонна, то этим траекториям отвечали бы корни уравнения ()=, сколь угодно близкие к ₀, что невозможно.

Пусть  x=φ(t) – предельный цикл системы (4). Через произвольную точку x₀=φ(t₀)   проведем отрезок L так, чтобы вектор   f(x₀)  не был параллелен L. Это возможно, так как  f(x_{0. В противном случае предельный цикл есть положение равновесия.}

Пусть x₀=ψ(₀)=a₀ и ()=– функция последования. Чтобы установить связь между поведением функции  () вблизи точки ₀ с поведением как внешних, так и внутренних траекторий к предельному циклу К рассмотрим неравенства

|()  0| < |0| , |() 0 | > |0|

(12)

 

Если в полуокрестности линии К (внешний или внутренней) выполнено первое из этих неравенств, то точка a₁=() линии  L находится ближе к a₀ , чем точка a (рис.4,а), и поэтому в этой полуокрестности траектории спирально наматываются на К при  . Если же в полуокрестности выполнено второе из неравенств (12), то в этой полуокрестности траектории  спирально наматывается на К   при (рис.4,б)

Рис.4

В силу теоремы 3 на достаточно малом интервале   |₀|< cуществует единственное решение  ₀ уравнения ()=. Не теряя общности, функцию последования   () будем считать строго возрастающей. Тогда имеет место одна из четырех возможностей взаимного расположении графиков функций =() и =(рис.5).

В случае,    приведенном       на  рис.5, a)  производная (₀)<1, поэтому в обеих полуокрестностях  точки ₀ выполнено первое из неравенств (12), и, следовательно, предельный цикл К устойчив. При  (₀)>1 (рис.5, б) выполнено второе из неравенств (12), предельный цикл К неустойчив. Если графики функций =() и = в точке (_0,0) касаются друг друга, то цикл К является либо устойчивым, либо неустойчивым. Если же кривая =(), касаясь биссектрисы  = , находится по одну ее сторону: выше или ниже (рис.5, в,г), то соответствующий предельный цикл К полуустойчив

 

Рис.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение 

По рассмотренной курсовой работе мы видим, что дифференциальные уравнения успешно применяются  во многих направлениях математики, физики, различных технических науках и  других направлениях. Если говорить об автономных системах и их фазовых пространств, то они также используется во всех этих областях. В ходе курсовой работе было рассмотрено применение автономных систем дифференциальных уравнений и их фазовых пространств в природе. Также, что дифференциальные уравнение – одно из самых основных орудий математического естествознания. Следовательно, цель курсовой работы достигнута и задачи выполнены.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

 

1.Сабитов К.Б. Уравнения  математической физики.- М.: Высшая школа, 2005.

2. Бибиков Ю. Курс обыкновенных  дифференциальных уравнений.

3.Тихонов А.Н., Введение в теорию линейных систем дифференциальных уравнений.М.,1992

4. Понтрягин Л.С.  дифференциальные уравнения. М., 1982

5.Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. - М.: Гостехиздат, 1953

 6.Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1984

7.Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. М., 1986

8. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. 1958 год.

             9. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - 2-е изд. - М.: Наука, 1985.