Автономные системы и фазовые пространства

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ СТЕРЛИТАМАКСКИЙ ФИЛИАЛ

 ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО  УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ 

«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ»

 

 

Экономический факультет

Кафедра математики и информатики

 

 

 

Курсовая работа

на тему:

Автономные системы  дифференциальных уравнений 

и их фазовые пространства

 

 

 

 

 

 

Выполнила студентка 2 курса                       Научный руководитель

Группы ПМиИ-21                                              к.ф.-м.н., ст. пр.

Артемьева О.А._________                             Трегубова А.Х.________

«____»__________2011г.                                «____»_________2011г. 

 

 

Стерлитамак 2011

Содержание

                    Введение…………………………………………………………………………………………………………….3 

§1. Механическая интерпретация нормальной системы дифференциальных уравнений первого порядка……………………….......................................................4

§2. Свойства решений автономных систем……………………………………………………….6

§3. Предельное поведение траекторий. Предельные циклы………………………..10

§4. Функция последования……………………………………………………………………………...17

Заключение……………………………………………………………………………………………………….22

Список литературы……………………………………………………………………………………………23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

В различных областях человеческой деятельности возникает большое  число задач, решение которых  сводится к дифференциальным уравнениям.

Предметом исследования моей курсовой работы является применение автономных систем дифференциальных уравнений и их фазовых пространств.

 Теория дифференциальных уравнений – одно из самых основных орудий математического естествознания. Эта теория позволяет изучать всевозможные эволюционные процессы, обладающие свойствами детерминированности, конечномерности и дифференцируемости.

Процесс называется детерминированным, если весь его будущий ход и  все его прошлое однозначно определяются состоянием в настоящее время. Множество  всевозможных состояний процесса называется фазовым пространством.

Так, например, классическая механика рассматривает движение систем, будущее и прошлое которых  однозначно определяются начальным  положениями и начальными скоростями все точек системы. Фазовое пространство механической системы – это множество, элементом которого является набор положений и скоростей всех точек данной системы.

При отборе материала для  курсовой работы использовала основные идеи и методы, применяемые для решения автономных систем дифференциальных уравнений.

Цель данной работы заключается в изучении и применение автономных систем дифференциальных уравнений и их фазовых пространств в жизни.

В соответствии с целью сформулированы следующие задачи работы:

1) Дать механическую интерпретацию нормальной системы дифференциальных уравнений первого порядка.

2) Показать примеры.

§1. Механическая интерпретация нормальной системы  дифференциальных уравнений первого  порядка.

Теорема существования и единственности решения Коши имеет следующее геометрическое истолкование: через каждую точку рассматриваемой области пространства Rⁿ⁺¹ проходит единственная интегральная кривая.

Здесь дадим еще одну интерпретацию  системы дифференциальных уравнений  первого порядка, особенно важную для  приложений в механике и  физике. Обозначим независимую переменную через t и будем ее рассматривать как время; искомые функции обозначим через x_1,x₂,…,x_n и будем считать, что они задают закон движения x_i=x_i(t), i=1,n, материально й точки. Систему значений этих переменных будем рассматривать как множество точек n- мерного пространства, которое и называют фазовым пространством переменных (x_1,x₂,…,x_n)=x_. Тогда нормальная система дифференциальных уравнений первого порядка примет вид                  

dxi/dt=fi(t, x1,x2,…,xn )= fi(t, x), i=1,n

(1)

Система  (1) в каждый момент времени t в данной точке (x_1,x₂,…,x_n) фазового пространства определяет вектор скорости f=(f₁ ,f₂ ,…, f_n) движущейся материальной точки, т.е. система (1) задает поле скоростей в пространстве (x_1,x₂,…,x_n). Решением системы (1) является такой закон движения x=x(t)=(x₁(t)_, x₂(t) ,… , x_n(t)) материальной точки, при котором эта точка в процессе движения имеет в каждый момент времени t заданную скорость f. При такой интерпретации система (1) называется динамической системой, а каждое ее решение – движением. Кривая, описываемая материальной точкой при таком движении, называется траекторией движения (не следует путать эту траекторию с интегральной кривой системы (1), так как интегральная кривая расположена в Rⁿ⁺¹). Задачи Коши для системы (1) теперь состоит в том, что требуется найти движение x_i=φ(t), i=1,n, системы (1), удовлетворяющее при t=t₀ начальным условиям

xi(t0)= φ(t0)=xi(0), i=1,n.

(2)

Это значит, найти закон  движения       

xi= φi(t,t0, , x1(0),x2(0),…,xn (0) )= φi(t,t0, , x0 ),

(3)

        определяющий в любой момент времени t положение движущейся точки, которая в начальный момент времени t₀ занимала начальное положение x₀=( x₁⁽⁰⁾_,  x₂⁽⁰⁾,…, x_n ⁽⁰⁾).

Для обеспечения существования  и единственности решения задачи Коши для системы (1), т.е. задачи (1) и (2), предположим, что все функции f_i(t, x) непрерывны и имеют непрерывные частные производные ∂ f_i(t,x) /∂x_k,  k=,  в цилиндрической области Q= D×( - ∞,+∞ ), где D – ограниченная замкнутая область пространства Rⁿ переменных (x_1,x₂,…,x_n), t (- ∞,+∞ ).

В силу теоремы Пикара решение (3) задачи Коши определяется в малой  окрестности точки (t₀, x₀) области Q. Будем предполагать, что это решение продолжено на всю числовую ось - ∞ < t < +∞.

Наибольший интерес представляет частный случай системы (1), когда  ее правые части явно не зависят  от t:

dxi/dt=fi( x1,x2,…,xn )= fi( x), i=

(4)

где функции f_i (x) и ∂ f_i /∂x_j, i.j=1,n, определены и непрерывны в области D Rⁿ. Тогда D является фазовым пространством системы (4).

Систему уравнений (4)  называют автономной. Она определяет стационарное движение среды, т.е. скорость движения в каждой точке фазового пространства не зависит от времени t и, следовательно, является постоянной в этой точке в течение всего времени.

Например, автономная система  x₁= x₂, x₂=-x₁ имеет общее решение

x₁=C₁cos(t+C₂), x₂=C₁sin(t+C₂).

В пространстве R³ переменных x_1,x_2,t эти функции изображаются винтовыми линиями, а в фазовом пространстве переменных x_1,x₂ (здесь оно вся плоскость R²) – окружностями x₁²+x₂²=С₁². Каждая окружность изображает бесконечное множество решений, отличающихся только значениями С_1. Точка x₁=x₂=0 является особой точкой – центром.

 

§2. Свойства решений автономных систем

Лемма1. Если x_i=φ(t), i=– решение автономной системы (4), то для любой постоянной С x_i=φ(t+С), i=, также является решением этой системы.

Доказательство. Из правила дифференцирования сложной функции имеем                 φi(t+C)=( φi(t+С) )= φi(t+С),

(5)

        По условию при любом t R справедливы равенства

φ_i(t)=f_i(φ₁(t), φ₂(t),…, φ_n(t)),i=

Заменяя в этих тождествах t на t+C, получим

φi(t+C)=fi(φ1(t+С), φ2(t+С),…, φn(t+С)),i=.

(6)

Тогда из равенства (5) и (6)  следует требуемое утверждение.

Лемма 2. Если x_i=φ(t) и x_i=ψ(t), i=, - два решения системы (4) и φ_i(t₁)=ψ_i(t₂), то ψ_i(t)= φ_i(t+C), где С=t₁-t₂ т.е. если траектории x_i=φ_i(t) и       x_i= ψ_i(t), имеют общую точку, то эти траектории совпадают.

Доказательство. В силу леммы 1 функции x_i=φ_i(t+C), i=, С=t₁-t₂ являются решением системы (4). В силу равенства φ_i(t₁)=ψ_i(t₂) при t=t₂ имеем

x_i(t₂)=φ_i(t₂+C)= φ_i(t₁)=ψ_i(t₂)

Следовательно, решения x_i=φ_i(t+C) и x_i=ψ_i(t), i=, удовлетворяют при t=t₂ одинаковым начальным условиям , поэтому, в силу единственности решения задачи Коши для системы (4), они совпадают, т.е. φ_i(t+C)=ψ_i(t) , i=.

Лемма 2 показывает, что траектории, описываемые первым и вторым решениями, совпадают между собой, при этом второе решение описывает ту же самую траекторию, что и первое, но с «запозданием» на время С.

Следствие 1. Решение автономной системы (4) не может войти в особую точку за конечное время.

Доказательство. Пусть a=(a₁,a₂,…,a_n) – особая точка системы (4), т.е. x_i=a_i является решением этой системы. Если траектории решений x_i=a_i и x_i=φ_i(t) не совпадают, то они не имеют общих точек. Следовательно, x_i≠φ_i(t) при всех t. Решение φ_i(t), i= системы (4) может приближаться к особой точке только при или

Лемма 3. Решения автономной системы (4) обладают групповым свойством, т.е. если x_i=φ_i(t,x₀) i= - решение системы (4),удовлетворяющее начальному условию: φ_i(0,x₀)=x_i⁽⁰⁾, i= то

φ_i(t, φ(,x₀))= φ_i(t+,x₀).

Доказательство. Пусть x_i⁽¹⁾= φ_i(,x₀), i=. Тогда φ_i⁽¹⁾=φ_i(t,φ())=φ_i (t,x₁⁽¹⁾, x₂⁽¹⁾,…, x_n⁽¹⁾)– решение системы (4). В силу леммы 1,  φ_i⁽²⁾= φ_i(,x₀) , i=, также является решением системы (4). При этом в точке t=0:

φ_i⁽¹⁾(0)=φ_i (0,x₁⁽¹⁾, x₂⁽¹⁾,…, x_n⁽¹⁾)=x_i⁽¹⁾, i=;

φ_i⁽²⁾(0)=φ_i (,x₁⁽⁰⁾, x₂⁽⁰⁾,…, x_n⁽⁰⁾)=x_i⁽¹⁾, i=.

Следовательно, решения φ_i⁽¹⁾(t) и φ_i⁽²⁾(t) системы (4) удовлетворяют одним и тем же  условиям. Тогда на основании теоремы единственности они совпадают. Тем самым справедливость равенства (7) доказана.

Наглядный смысл леммы 3 состоит  в следующем: чтобы выяснить куда точка x₀ переместится за время t+, надо выяснить, в какую точку она перейдет за время t, а затем куда эта вторая точка перейдет за время .

Определение. Пусть x_i=φ_i(t), i=, – решение автономной системы (4), определенное на всей прямой  - ∞ < t < + ∞. Число С называется периодом решения x_i=φ_i(t), i=, если φ_i(t+C)= φ_i(t), i=, при всех t R.

Пусть F – множество всех периодов решения x_i=φ_i(t), i=, системы (4). Это множество непусто, так как 0 F.

Лемма4. а) Если С F, то -С F. б) Если C₁ C₂ F , то C₁+ C₂  F. в) F – замкнутое множество.

Доказательство. а) Поскольку С – период, то для любого t: φ_i(t+C)= φ_i(t) ), i=. Заменяя в этом тождестве t на t-C, получим φ_i(t)= φ_i(t-C) , i=, и это означает, что –С есть период.

б) φ_i(t+C₁+С₂)= φ_i(t+С₁ )=φ_i(t), i=

в) Пусть C₀ – произвольная предельная точка множества F. Тогда существует последовательность C_n из F такая, что C₀. Тогда в силу непрерывности решения φ_i(t) имеем

φ_i(t+C₀)= φ_i(t+ )= φ_i( = φ_i(t), i=

Отсюда следует, что C₀ F, значит, F есть замкнутое множество.

Решение системы (4) вида x_i=a_i, i= где a_i – постоянные, называется положением равновесия или точкой покоя. Ясно, что x_i=a_i, i= , является положением равновесия системы (1) только тогда, когда f_i(a₁,a₂, … , a_n)=0, i=.

Теорема 1. Пусть траектория x_i=φ_i(t), i=, автономной системы (4) сама себя пересекает, т.е. φ_i(t₁)=φ_i(t₂) при t₁≠t₂  И числа t₁ и t₂ принадлежит интервалу r₁< t< r₂ определения решения x_i=φ_i(t), i=. Тогда решение x_i=φ_i(t), i= , может быть продолжено на всю прямую - ∞ < t < + ∞ и имеет место одна из следующих возможностей: 1) для все t имеет место равенство φ_i(t)=a_i, i=, т.е. решение φ_i(t) является положением равновесия, т.е. точка (φ₁(t), φ₂(t), … , φ_n(t)) не движется при изменении t, а стоит на месте;