Шпаргалка по "Системам автоматического управления"

Для того, чтобы линейная система с постоянным запаздыванием была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни уравнения были левыми. Но нахождение всех корней уравнения практически невозможно и поэтому для исследования устойчивости систем с запаздыванием используют критерии устойчивости, причем наиболее удобным здесь оказывается частотный критерий Найквиста. Формулировка критерия Найквиста остается без изменения.

АФХ разомкнутой  системы с запаздыванием .          

Из уравнения следует, что наличие запаздывающего звена  не меняет модуль А(w) АФХ разомкнутой системы, а вносит лишь дополнительный отрицательный фазовый сдвиг на величину wt. Имея график разомкнутой системы без запаздывания, легко перестроить его в график АФХ системы с запаздыванием. Для этого каждый вектор А(w_i) АФХ системы без запаздывания следует повернуть на угол w_it по часовой стрелке.При этом АФХ системы как бы «разбухает», в результате чего уменьшается запас устойчивости системы по модулю и по фазе. Изменяя время запаздывания t можно найти такое его значение, при котором замкнутая система будет находиться на границе устойчивости. В этом случае АФХ разомкнутой системы будет проходить через точку (-1, j0). Время запаздывания t_кр и соответствующее ему значение частоты w_кр, при которых АФХ разомкнутой системы проходит через точку (-1, j0) называют критическим. Определение критического времени запаздывания можно выполнить графическим способом . Для этого для системы без запаздывания известным способом определяем запас устойчивости системы по фазе g (в радианах) и соответствующее ему значение частоты w_кр. Тогда t_кр=g/w_кр. По логарифмическим частотным характеристикам критическое время запаздывания определяется по уравнению t_кр=g/w_с.

Таким образом критерий Найквиста для систем с запаздыванием можно сформулировать следующим образом.

Устойчивая замкнутая  система без запаздывания будет  устойчивой и при введении в нее  запаздывающего звена, если время запаздывания меньше критического.

 

 

Для решения ряда практических задач, возникающих при анализе  САР с запаздыванием, величину e^-pt раскладывают в дробный ряд Падэ, оставляя в разложении только члены рt со степенью равной единице. Тогда .

 

 

26-вопрос: Понятие о D-разбиении

Область устойчивости в теории автоматического управления принято  называть D — областью, а представление  области параметров в виде областей устойчивости и неустойчивости называют D — разбиением.

Определить устойчивость системы при изменении настраиваемых  параметров АР: а₀ и а₁

Характеристическое уравнение: р²+а₁р+а₀=0

Корни уравнения р_1,2=-

Если менять коэффициентов  уравнения то корни тоже будут менятся

Штрихы идут в область устойчивости. Это Д-разбиения. Граница Д-разбиения(штрихы).

Это отражение мнимой оси  плоскости корней на пространства коэффициентов  характеристического уравнения.

Для определения границы Д-разбиения  в характеристическом уравнении  р     jω и строять линии Д меняя частоту ω от -¥ до +¥.

Для определения области  устойчивости следует:

1) Разрешить характеристическое  уравнение замкнутой системы  относительно исследуемого параметра.

2) В полученном выражении  заменить р на jw и выделить его вещественную и мнимую части

P(w)=f₁(w); Q(w)=f₂(w).

3) Изменяя частоту w от -¥ до +¥ вычислить  значения P(w) и Q(w) и в плоскости P(w) и Q(w) построить D-разбиения.

4) Заштриховать кривую D-разбиения слева при движении от w =-¥  к w=+¥. Область, в сторону которой направлена штриховка, будет иметь наибольшее число левых корней и будет претендовать на область устойчивости.

5. Выполнить проверку  одной точки выделенной области  на устойчивость и записать  условие устойчивости (если оно  существует). При этом следует  рассматривать лишь  действительные  значения исследуемого параметра.

Пример. Дано характеристическое уравнение системы p²+2p+k=0. Определить пределы изменения к, при которых система будет устойчива. Разрешаем исходноe уравнение относительно исследуемого параметра k=-p²-2p. Вместо р подставляем jw. Тогда k=w²-j2w=P(w)+jQ(w), где P(w)=w²;Q(w)=-2w.

В плоскости P(w)=Rek и Q(w)=Jmk строим кривую D-разбиения (рисунок 3.10).

При частоте w=0   Р(w)=0 и Q(w)=0;

при w= ±1   Р(w)=1 и Q(w)= m2 и т.д.

При w®¥    Р(w)®¥ и Q(w)®-¥.

При w® -¥  Р(w)®¥ и Q(w)® +¥.

Кривую D-разбиения штрихуем слева при движении от w=-¥ к w=¥. Проверяем, является ли эта область областью устойчивости. Примем k=1. Тогда уравнение системы примет вид р²+2р+1=0. Его оба корня р_1,2=-1 являются левыми. Следовательно, выделенная штриховкой на рисунке 3.10 область является областью устойчивости. Проверим граничную точку k=0. При k=0 уравнение системы примет вид р²+2р=0. Его корни р₁=0; р₂=-2, т.е. один корень нулевой, а второй лежит слева от мнимой оси. Система находится на границе устойчивости. Следовательно, условию устойчивости рассматриваемой системы отвечают значения k > 0.

 

28-вопрос: Анализ качества регулирования линейных непрерывных систем

Под качеством подразумевается  показатели переходного процесса:

1.быстродействия, колебательность, перерегулирование;

2.установившиеся ошибки  регулирования

Данная САР описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами

Если g(t) и F(t) меняется →y(t)= y_св(t)+y_вын(t)

y_св(t)-свободная составляющая. Является решением характеристического уравнения.

y_вын(t)-вынужденная составляющая. Обусловленная законом изменения g(t) или y(t).

Различают 2 группы показателей  качества переходного процесса:

1-группа: по y_св(t)- 3 вида переходного процесса

1)монотонные (1)- у которых первая производная выходной величины не меняет знак;

2)апериодические (2), у которых знак производной меняется не более одного раза;

3)колебательные (3), у которых знак производной периодически меняется.

2-группа: Показатели точности, определяемые вынужденной составляющей y_вын(t).

Показатели качества, определяемые непосредственно по кривой переходного  процесса в системе, называют прямыми  оценками качества. Переходный процесс  в САР зависит не только от свойств  САР, но и от характера внешнего воздействия. Прямые оценки получают от графика h(t) при воздействия единичной функции по заданию или по возмущению.

1) Время регулирования t_p – минимальное время, по истечении которое переходный процесс войдет в заданную зону(2D) y(t)-y_¥£ D, где D - некоторая наперед заданная величина. Обычно принимают D = 0,05×h_¥.

2) Перерегулирование s - максимальное динамическое отклонение переходной характеристики от установившегося значения, выраженное в процентах.

Допустимое значение s=10…30 %, но иногда перерегулирование не допускается совсем.

3) колебательность -число полных колебаний переходной характеристики h(t) за время регулирования. Число допустимых колебаний n=1…3, но иногда колебания в системе не допускаются совсем.

4) Степень затухания переходного  процесса

  Допустимое значение степени  затухания Y=75…90 %;

5)установившиеся ошибка  регулирования e_¥, которую определяют по уравнению e_¥=1-h_¥ и выражают в единицах измерения выходной величины;

6)h_max-максимальное отклонение выходной величины

7)время нарастания переходного  процесса -это время первого пересечения выходной величиной установившегося  значения. t_н

8)показатель качества  t_max-время достижения 1-вого max-ма.

 

29-30вопрос: Оценка качества регулирования в установившемся режиме. Определение установившейся ошибки по каналу возмущающего воздействия

1.Если при неменяющемся  задании g(t) системы по рисунку 4.1 на входе объекта возникает возмущение f(t), то ошибка системы e(t) в преобразованном по Лапласу виде определяется выражением

e(p)= W_{e f}(p)F(p),  (4.3)  где W_ef(p) – передаточная функция ошибки системы по возмущающему воздействию. Изображением ступенчатого возмущающего воздействия величиной f₀ является выражение . Тогда выражение (4.3) запишется

 или  pe(p)=f₀W_ef(p).

На основании теоремы  операционного исчисления о конечном значении функции можно записать

где e_¥ - установившееся значение ошибки в системе. Тогда

.                            (4.4)

Если объект и регулятор  статические, то на основании (4.4) получим

где k_об, k_р – коэффициенты передачи объекта и регулятора. 

Если объект статический, а регулятор астатический, то

т.е. установившаяся ошибка системы равна нулю и система  по каналу возмущающего воздействия  является астатической.

Если объект и регулятор  астатические, то выражение для ошибки регулирования будет иметь вид

из которого следует, что  характеристическое уравнение системы  имеет два сопряженных мнимых корня и, следовательно, интегральный И-регулятор не может обеспечить устойчивое регулирование объектов, лишенных самовыравнивания.

2.Определение установившейся  ошибки по каналу управляющего  воздействия.

Передаточная функция  ошибки системы по каналу управляющего воздействия имеет вид

откуда 

При ступенчатом воздействии  , имеем

.                                       (4.5)

Если объект и регулятор  статические, то на основании (4.5) имеем .

Если объект статический, а регулятор астатический, то ,

т.е. установившаяся ошибка системы равна нулю и система  по каналу управляющего воздействия  астатическая.

Анализ полученных результатов  для статических систем показывает, что для уменьшения статической  ошибки необходимо повышать коэффициент  передачи регулятора.

31-вопрос: Анализ качества систем автоматического регулирования при ступенчатом воздействии

Переходный процесс в  САР зависит не только от свойств  САР, но и от характера внешнего воздействия. Наиболее неблагоприятными для системы  являются ступенчатые (ударные) воздействия, в связи с чем для определения качественных показателей САР исследуется ее поведение при единичном ступенчатом входном воздействии g(t)=1(t) при нулевых начальных условиях.

1) Время регулирования t_p – минимальное время, по истечении которое переходный процесс войдет в заданную зону(2D) y(t)-y_¥£ D, где D - некоторая наперед заданная величина. Обычно принимают D = 0,05×h_¥.

2) Перерегулирование s - максимальное динамическое отклонение переходной характеристики от установившегося значения, выраженное в процентах.

Допустимое значение s=10…30 %, но иногда перерегулирование не допускается совсем.

3) колебательность -число полных колебаний переходной характеристики h(t) за время регулирования. Число допустимых колебаний n=1…3, но иногда колебания в системе не допускаются совсем.

4) Степень затухания переходного  процесса

  Допустимое значение степени  затухания Y=75…90 %;

5)установившиеся ошибка  регулирования e_¥, которую определяют по уравнению e_¥=1-h_¥ и выражают в единицах измерения выходной величины;

6)h_max-максимальное отклонение выходной величины

7)время нарастания переходного  процесса -это время первого пересечения выходной величиной установившегося  значения. t_н

8)показатель качества  t_max-время достижения 1-вого max-ма.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32-вопрос: Корневые методы оценки качества регулирования

Корневые методы оценки основаны на зависимости характера переходного  процесса от распределения нулей  и полюсов передаточной функции  системы. В обычном случае, когда  числитель передаточной функции  равен постоянной величине (нули отсутствуют), качество переходного процесса в  системе можно оценить по ее полюсам, т.е. корням характеристического уравнения  замкнутой системы. Для этого  на плоскости  корней выделяют область, в которой располагаются все  корни характеристического уравнения  системы (рисунок 4.4).

Рисунок 4.4

Эта область, выделенная на рисунке 4.4 штриховкой, характеризуется  двумя показателями:

1) Степенью устойчивости h, соответствующей расстоянию от мнимой оси до ближайшего корня или пары сопряженных комплексные корней. Степень устойчивости характеризует предельное быстродействие системы, т.к. величина h принадлежит той составляющей переходного процесса, которая затухает медленнее всех остальных.

2) Степенью колебательности m, определяемой котангенсом угла j, образованного отрицательной вещественной полуосью и лучом, проведенным из начала координат к корню, образующему наибольший такой угол, т.е. m=ctgj= , где a - вещественная, а w - мнимая часть комплексного корня.

33-вопрос: Интегральные оценки качества регулирования

В основе этого метода лежит  предположение, что качество регулирования  тем выше, чем меньше, за время  регулирования, площадь между кривой переходной характеристики системы  и заданным значением регулируемой величины. Эта площадь, выделенная на рисунке 4.5 штриховкой, может определяться по кривой h(t) или непосредственно по кривой e(t).