Шпаргалка по "Системам автоматического управления"

Пример. Резервуар со свободным  стоком.Его дифференциальное уравнение

.

Операторная форма этого  уравнения  Tpy(p) + y(p) = kx(p), или (Tp + 1) y(p) = kx(p), откуда

.

Использование понятия передаточной функции позволяет формально  разделить характеристики устройства и его сигналы и изображать исследуемое устройство в виде прямоугольника, внутри которого записывается обозначение  передаточной функции 

Стрелками на рисунке указывается  направление передачи воздействия  через это устройство. Такой рисунок  называется структурной схемой устройства.На основании структурной схемы можем записать y=W(p)x, если передаточная функция W(p) записана в операторной форме, или y(р)=W(p)x(р), если передаточная функция записана в форме изображений. Если требуется, то внутри прямоугольника можно записать выражение передаточной функции.

 

9.Частотные  характеристики систем автоматического  регулирования.

Частотные характеристики описывают  реакцию системы на входное воздействие, представляющее собой периодическую  функцию, т.е линейную комбинацию sinωt и cosωt, где ω=2πf-круговая частота.

Для получения частотных  характеристик системы на вход подается гармонические  воздействия вида x=X* sinωt c постоянной амплитудой.

Частотные характеристики САР: амплитудная частотная характеристика, фазовая частотная характеристика и амплитудная фазовая частотная  характеристика.

Амплитудная частотная характеристика(АЧХ)-А(ω) устанавливает зависимость отношения амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного сигнала:

Фазовая частотная характеристика(ФЧХ)- Зависимость разности фаз выходных и входных колебаний от частоты:

.

Амплитудная фазовая частотная  характеристика(АФЧХ или АФХ)- W(jw), отношение значений выходной величины системы к значениям входной, выраженное в комплексной форме.

Алгебраическое выражение  АФЧХ:  W(jw)=P(w)+jQ(w).

P(w)-вещественная(действительная) часть комплексной формы

Q(w)-мнимая часть комплексной формы.

 

7. Временные  характеристики систем автоматического  регулирования. Переходная характеристика.

Переходная характеристика

 Для описания динамического  состояния систем – изменение  выходной величины во время  переходного процесса – служат  временные характеристики. К ним  относятся – переходная функция,  кривая разгона и импульсная  переходная функция.

.

Единичную ступенчатую функцию  принято обозначать через 1(t) и записывать следующим образом  График этой функции

 

При подаче на вход устройства единичного воздействия, его состояние  покоя нарушается и возникает переходный процесс изменения выходной величины. Вид (график) переходного процесса определяется только параметрами устройства и полностью характеризует его динамические свойства.

График переходного процесса на выходе устройства, возникающего при  подаче на его вход единичного ступенчатого воздействия 1(t), называют переходной характеристикой и обозначают h(t). Аналитическое выражение переходной характеристики называют переходной функцией. Переходная функция  описывает изменение выходной величины ,когда на вход звена  подано единичное ступенчитое воздействие при нуливых  начальных условиях.

Переходную функцию обозначим  через h(t)=Y(t), она отражает изменение Y(t). Аналитическое выражение для h(t) находится путем решения дифференциального уравнения в операторной форме при следующих начальных условиях – в момент t=0, x(t)=1(t), Y(t)=0, У(t)=0 и равно:

h(t)=L^-1{}, где W(p) передаточная функция системы

h(t)=W(p)*X(p); X(p)=1/p и h(t)      h(p), обратное преобразование Лапласа от h(p).

График переходной функции  является переходной характеристикой.

1-переходная функция инерционного  процесса;

2- переходная функция  колебательного затухающего процесса;

3- переходная функция колебательного расходящегося процесса.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Временные характеристики систем  автоматического регулирования.  Кривая разгона. Импульсная переходная  функция.

Для описания динамического  состояния систем – изменение  выходной величины во время переходного  процесса – служат временные характеристики. К ним относятся – переходная функция, кривая разгона и импульсная переходная функция.

1. Кривая разгона.

Если ступенчатое возмущающее  воздействие на входе объекта  отличается от единичного и при t³0 равно х₀, то полученную динамическую характеристику объекта называют кривой разгона. Выходная величина в этом случае изменяется по закону y(t) = h(t)×х₀, откуда следует, что кривая разгона, как и переходная характеристика, полностью характеризует динамические свойства объекта.

2. Импульсная переходная функция (весовая функция).

Функция, описывающая реакцию  системы на воздействие в виде дельта-функции, при нулевых начальных условиях, называется импульсной переходной функцией или весовой функцией и обозначается k(t). Физически дельта-функцию можно представить как очень узкий импульс

 

В свою очередь, для дельта-функции справедливы следующие соотношения:

 

,

 

.

 

Доказательством этих формул является то, что дельта-функция  равна нулю везде, за исключением  значения t=0. Импульсная переходная функция может быть найдена как оригинал, изображением которого служит передаточная функция устройства, либо по формуле (2.15), если известно аналитическое выражение переходной характеристики устройства.

 

10. Логарифмические частотные характеристики

Для практических расчетов наряду с обычными используются также логарифмические частотные характеристики.

Логарифмируя выражение  для АФХ, получим

 

lgW(jw)=lgA(w)+jj(w)lge.

 

Функцию L(w)=20lgA(w) называют логарифмической амплитудно-частотной функцией. График зависимости L(w) от логарифма частоты называют логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ).

За единицу частоты  принимается логарифмическая единица  декада, соответствующая десятикратному изменению частоты.

Логарифмической фазо-частотной характеристикой (ЛФЧХ) называют фазо-частотную характеристику j(w), построенную в логарифмическом масштабе частот.

 

 

 

 

 

11.Типовые  динамические звенья систем автоматического  регулирования. Усилительное звено

Любая САР состоит из блоков, каждый из которых выполняет определенную функцию. Для анализа САР целесообразно  разделять ее блоки не по конструктивным или функциональным признакам, а  по динамическим свойствам. При этом оказывается возможным все многообразие различных звеньев свести к нескольким типовым динамическим звеньям, описывающимся  одинаковыми дифференциальными  уравнениями и имеющими одинаковые передаточные функции.

Различаются динамические звенья по виду переходного процесса, который  возникает при изменении входной  величины. Для сравнения звеньев  принято рассматривать переходный процесс при единичном ступенчатом  воздействии на входе звена.

Типовые звенья характеризуются  следующими признаками:

1) Имеют одну входную  и одну выходную величину.

2) Описываются дифференциальными  уравнениями не выше второго  порядка.

3) Имеют детектирующее  свойство, т.е. пропускают сигнал  только в одном направлении.

Усилительное  звено  это звено в котором выходная величина  прямо пропорциональна входной. Такое звено воспроизводит входную величину  без искажений , но с изменением  ее масштаба (увеличения или уменьшения)

Уравнение усилительного  звена : Y(t)=k*X(t)  k – коэффициент усиления

Передаточная функция  звена W(p) = k.

Частотные характеристики звена  определяются уравнениями: W(jw)=k при этом R(w)=k; I(w)=0;    A(w)=k; j(0)=0; L(w)=20lgk

Переходная характеристика звена в точности воспроизводит  входной воздействие и описывается  уравнением h(t) = k×1(t).

 ЛФЧХ                   

 

АФХ звена есть точка k на действительной оси; АЧХ параллельна оси частот и проходит на уровне k; ЛФЧХ параллельна оси частот и проходит на уровне 20lgk.Примером усилительного звена является рычаг, для которого k=b/a.                 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.Типовые  динамические звенья систем автоматического  регулирования. Апериодическое (инерционное)  звено.

Любая САР состоит из блоков, каждый из которых выполняет определенную функцию. Для анализа САР целесообразно  разделять ее блоки не по конструктивным или функциональным признакам, а  по динамическим свойствам. При этом оказывается возможным все многообразие различных звеньев свести к нескольким типовым динамическим звеньям, описывающимся  одинаковыми дифференциальными  уравнениями и имеющими одинаковые передаточные функции.

Различаются динамические звенья по виду переходного процесса, который  возникает при изменении входной  величины. Для сравнения звеньев  принято рассматривать переходный процесс при единичном ступенчатом  воздействии на входе звена.

Типовые звенья характеризуются  следующими признаками:

1) Имеют одну входную  и одну выходную величину.

2) Описываются дифференциальными  уравнениями не выше второго  порядка.

3) Имеют детектирующее  свойство, т.е. пропускают сигнал  только в одном направлении.

 Апериодическое (инерционное)  звено.

Это звено в котором  выходная величина  при скачкообразном изменении  входной величины  изменяется апериодически  истримится  к новому установившемуся значению.

Дифференциальное  уравнение:

где Т – постоянная времени; к – коэффициент передачи

Передаточная функция  звена . Переходная характеристика звена представляет собой экспоненциальную кривую описывающуюся уравнением    .

 

 

Частотные характеристики звена  определяются уравнениями:

 

W(jw)= ;     ; ;   

 

 

    ЛАЧХ и ЛФЧХ

 

АФХ апериодического звена  при изменении частоты от 0 до ¥ представляет собой полуокружность диаметром k. Максимальный фазовый сдвиг в звене j(w)=-90⁰. ЛАЧХ звена проходит на уровне 20×lgk до сопрягающей частоты w_а=1/Т, после которой принимает наклон –20 дБ/дек. ЛФЧХ звена ассимптотически стремится к p/2 при w®¥. При w=w_а фазо-частотная функция j(w_а)=-p/4.

Примером звена может  служить резервуар со свободным  стоком жидкости.

 

 

13.Типовые  динамические звенья систем автоматического  регулирования. Колебательное,  консервативное  звено.

Различаются динамические звенья по виду переходного процесса, который  возникает при изменении входной  величины. Для сравнения звеньев  принято рассматривать переходный процесс при единичном ступенчатом  воздействии на входе звена.

Типовые звенья характеризуются  следующими признаками:

1) Имеют одну входную  и одну выходную величину.

2) Описываются дифференциальными  уравнениями не выше второго  порядка.

3) Имеют детектирующее  свойство, т.е. пропускают сигнал  только в одном направлении.

Колебательное звено это звено в котором выходная величина после единичного воздействия по входу совершает колебания.

К таковым относят звенья, которые описываются диф.уравнением 

k – передаточный коэффициент

Т = 1/w₀ –постоянная времени звена

x - относительный коэффициент затухания или Коэффициент демпфирования

Передаточная  функция 

АФЧХ 

АЧХ

ФЧХ

Характер переходного  процесса в системе определяется корнями характеристического уравнения

 

T²p²+2xTp+1=0.                                      

Корни этого уравнения      откуда следует три случая.

1) Коэффициент  демпфирования x = 0.Тогда корни уравнения

чисто мнимые и на выходе звена будут незатухающие колебания с постоянной амплитудой Такое звено называют консервативным.

2) Коэффициент  демпфирования 0 < x < 1. Тогда корни уравнения

будут комплексные с отрицательной  действительной частью. В этом случае переходный процесс будет колебательным  затухающим и звено называют колебательным. Степень колебательности m=a/w, а степень затухания переходного процесса .

3) Коэффициент  демпфирования x>1. В этом случае корни характеристического уравнения будут действительные отрицательные, т.е. р₁ =-a₁, р₂=-a₂ и переходный процесс в звене будет представляться кривой второго порядка, в связи с чем его называют апериодическим звеном второго порядка. Это звено не считается элементарным.