Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера

 Рис. 2. Экран с результатами выполнения программы.

Как видно,  при вычислении программа на первом шаге берёт начальные значения для вычисления, а на последующих   берёт значения полученные с предыдущих шагов. Можно сделать вывод, что точность вычисления данного метода зависит от количества выбранных шагов: чем больше шагов, тем меньше фиксированное приращение , а следовательно она более точно вычисляет значение всего интервала.

По работе программы  стало видно, что с её использованием намного упростилась работа пользователя. Пользователь  просто вводит интервал на котором должен вычисляться пример, количество шагов и начальное значения и программа выдаёт уже готовое решение данного примера.

 

6.Анализ полученных результатов.

По результатам программы можно составить таблицу сравнения результатов полученных при использовании программы и результатов, полученных ручным способом:

Ручной способ вычисления		Программный способ вычисления
Х	Y	X	Y
0	0,82	0	0,82
0,2	0,75	0,2	0,7516
0,4	0,77	0,4	0,770248
0,6	0,85	0,6	0,856793
0,8	0,99	0,8	0,996299

 

Из приведенного сравнения  можно сделать вывод, что один результат отличается от другого  тем, что в примере, решенном программным  способом ответ вычисляется с  наибольшей точностью, чем при ручном способе. Это может быть связано с тем, что в ручном способе результат округляется для удобства вычисления примера.

Решение дифференциальных уравнений методом Эйлера можно  также отобразить в графическом  виде:

                   Рис.3.Графическое изображение решения примера y’=2x+y

Как видно из рис.3 графиком решения уравнения является кривая , форма которой зависит от количества разбиений интервала.

   По результатам выполненной  работы можно сделать вывод,  что решение дифференциальных  уравнений методом Эйлера является методом вычисления со средней точностью и точность вычисления данного метода зависит от количества разбиений интервала интегрирования. При сравнении результатов решенными разными способами можно сказать, что данный метод был верно реализован на языке программирования Microsoft Visual C++. Полученные результаты сходятся с небольшой погрешностью.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы.

1. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения), Н.С. Бахвалов. Главная редакция физико- математической литературы изд-ва «Наука», М., 1975г.
2. Методы, теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Н.И. Гаврилов . Государственное издательство «Высшая школа» Москва-1962г.
3. В.В.Пак., Ю.Л. Носенко. Высшая математика: Учебник.- Д.: Сталкер, 1997г.
4. Б. П. Демидович, И. А. Марон Основы вычислительной математике. – М., 1966
5.   Загускин В. Л. – Справочник по численным методам решения уравнений. – М.: ФИЗМАТГИЗ, 1960. – 216 с.
6. Либерти, Джесс.

Освой самостоятельно С++ за 21 день, 4-е  издание.:Пер с англ.-М.: Издательский дом «Вильямс», 2003.-832с.

7. П.Нортон, П.Иао «Программирование на С++ в среде Windows» («Диалектика» Киев 2003г.)
8. Янг М. Microsoft Visual C++  - М.:ЭНТРОП, 2000.
9. Марченко А.И., Марченко Л.А. – Программирование в среде    

     Turbo Pascal 7.0 – К.: ВЕК+, М.: Бином Универсал, 1998. – 496 с.

10. Высшая математика: Справ. материалы:  Книга для учащихся .- М.:     

       Просвещение, 1988.-416 с.: ил.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение.

 Листинг программы.

#include<iostream>

using namespace std;

void func(double& Xi, double& Yi,double kx, double ky, double h);

int main()

 

{

double h,Xi,Yi,Xkon,kx,ky;

int n;

cout<<"\t"<<"\t"<<"************************************************n";

cout<<"\t"<<"\t"<<"*                                                      * "<<"\n";

cout<<"\t"<<"\t"<<"*      Reshenie difurov 1 poryadka methodom Eulera      *"<<"\n";             

cout<<"\t"<<"\t"<<"*************************************************

cout<<endl;

cout<<"Vvedite nachaloe znachenie intervala [a,b]=";

cin>>Xi;

cout<<"Vvedite konechoe znachenie intervala [a,b]=";

cin>>Xkon;

cout<<"Vvedite chislo shagov=";

cin>>n;

h=(Xkon- Xi)/n;

cout<<endl;

cout<<"Vvedite nachalnoe uslovie y=";

cin>>Yi;

cout<<"Vvedite koefitsient pri x=";

cin>>kx;

cout<<"Vvedite koefitsient pri y=";

cin>>ky;

cout<<"|Interval|Chislo shagov|Shag prirasheniya|Nacalnoe Y|Uravnenie vida:| "<<"\n";

cout<<"|--------|-------------|-----------------|----------|---------------|"<<"\n";

cout<<"|"<<"["<<Xi<<","<<Xkon<<"]"  <<"   |"<<n<<"            |"<<h<<"              |"<<Yi<<"         |"<<"y'="<<kx<<"x"<<"+"<<ky<<"y"<<"      |"<<"\n";

cout<<endl;

cout<<endl;

 

for (int i=1;i<=n;i++)

{ 

func(Xi,Yi,kx,ky,h);

cout<<"\n";

}

 

return 0;

}

void func(double& Xi, double& Yi, double kx, double ky, double h)

{

double f1,Yprom,a,Xprom;

 

f1=(kx*Xi)+(ky*Yi);

Yprom=Yi+f1*(h/2);

Xprom=Xi+h/2;

a=kx*Xprom-Yprom;

Yi=Yi+a*h;

    cout<<"\t"<<"\t"<<"Interval x="<<Xi<<"\t"<<" Resultat y="<<Yi;

    Xi=Xi+h;

}