Метод трапеции.Численное интегрирование

 

Метод трапеции. 

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком заданной на сегменте [a, b] непрерывной и неотрицательной фукнции f(x), ординатами, проведенными в точках a и b, и отрезком оси Ox между точками a и b

По условию дано: Функция , отрезок

Ход работы:

1. Начертим график заданной функции.
2. Разобьём интервал [a, b] на n равных участков.
3. По методу трапеций интеграл равен сумме площадей прямоугольных трапеций, где основание трапеции какая-либо малая величина (точность), и сумма площадей прямоугольников, где основание прямоугольника какая-либо малая величина (точность), а высота определяется по точке пересечения верхнего основания прямоугольника, которое график функции должен пересекать в середине.

В нашем случае S криволинейной трапеции = S1+S2+S3+…+Sn

4. S трапеции = , где f(a) –высота трапеции (пересечение перпендикуляра, проведенного из  из каждой точки до пересечения с графиком функции f(x) )

h- шаг, который высчитывается по формуле: h=  ; n- количество отрезков.

 

 

 

Метод трапеции. 

С помощью программы Microsoft Excel высчитаем шаг, площадь трапеций и площадь криволинейной трапеции.

1. Введем координаты начала и конца отрезка интегрирования в ячейках B1 и B2 (Значение ячейки B1: 0;  B2: =ПИ()/2).  Количество отрезков n=50 ( Значение ячейке C2: 50).
2. Высчитываем шаг h по формуле h= (Значение ячейки С2: =(B2-B1)/C2).
3. Найдем аргументы x с заданным шагом, заполним ячейки от А5 до А55 X1=0; Xn= X(n-1)+h (Значение ячейки А5: 0, А6:= =A5+B$3, далее продлеваем вниз доAn).
4. Найдем значение функций в заданных точках, заполним ячейки от В5 до Вn, используя заданную условием формулу (Значение ячейки В5: =(SIN(A5))^2, далее продлеваем вниз до нужного значения).
5. Теперь, имея все значения, мы можем вычислить площади трапеций (Значение ячейки С5:=((B5+B6)/2)*C$2, продлеваем до нужного значения)
6. Для нахождения площади криволинейной трапеции необходимо сложить результаты полученные в ячейках C5+C6+C7+…+Cn  Получаем, что площадь криволинейной трапеции равна 0,785398163

 

 

Вычислим площадь  криволинейной трапеции с помощью  определенного интеграла.  

Криволинейная трапеция представляет собой квадрируемую фигуру, площадь S которой может быть вычислена по формуле:

 

Где a и b – начало и конец отрезка интегрирования. a=0, b=

f(x) – заданная условием функция. f(x)=

 

Получаем: S криволинейной трапеции = dx

Высчитываем полученный интеграл:

S = dx = =

=

Программа вычисления интеграла  методом трапеции в Free Pascal.

Program Integral;

Var a,b,S,x,h,K: real;

n,i: integer;

Function f(x:real):real;

Begin f:=Sin(x)*Sin(x);

End;

Begin

a:=0;

b:=Pi/2;

Writeln (‘Введите количество отрезков’);

Read (n);

h:=(b-a)/n;

S:=0;

For i:=1 to n-1 do

Begin

S: =S+F(a+i*h);

End;

K:=h*((f(a)+f(b))/2+S);

Write (‘Площадь криволинейной трапеции = ’ , K, K:12:6);

End.

Для проверки программы введем разные значения n- количество отрезков интегрирования.

 

Блок-схема для метода трапеции

 

 

 

 

 

 

 

 

Вывод: В ходе выполнения расчетно-графической работы мы рассмотрели  метод трапеции для вычисления площади  криволинейной трапеции. Значение полученные методом трапеции примерно равно  в пределах погрешности, значению, которое мы получили в ходе вычисления определенного интеграла, следовательно, метод трапеции - верен.

Метод прямоугольников.

Простейшим методом численного интегрирования является метод прямоугольников. Он непосредственно использует замену определенного интеграла интегральной суммой.

По условию дано:  Функция , отрезок

Ход работы:

1. Начертим график заданной функции.
2. Разобьём интервал [a, b] на n равных участков.
3. Интеграл= S1+S2+S3+…+Sn
4. S прямоугольника .

С помощью программы Microsoft Excel высчитаем шаг, площадь прямоугольников и значение интеграла.

1. Введем координаты начала и конца отрезка интегрирования в ячейках B1 и B2 (Значение ячейки B1: 0;  B2: =ПИ()/2).  Количество отрезков n=50 ( Значение ячейке C2: 50).
2. Высчитываем шаг h по формуле h= (Значение ячейки С2: =(B2-B1)/C2).
3. Найдем аргументы x с заданным шагом, заполним ячейки от А5 до А55 X1=0; Xn= X(n-1)+h (Значение ячейки А5: 0, А6:= =A5+B$3, далее продлеваем вниз доAn).
4. Найдем значение функций в заданных точках, заполним ячейки от В5 до Вn, используя заданную условием формулу (Значение ячейки В5: =(SIN(A5))^2, далее продлеваем вниз до нужного значения).
5. Теперь, имея все значения, мы можем вычислить площади прямоугольников (Значение ячейки С5:= B5*B$3, продлеваем до нужного значения)
6. Для вычисления интеграла необходимо сложить результаты полученные в ячейках C5+C6+C7+…+Cn .Получаем, что интеграл равен 0,801106126665398.

 

 

 

 

Как и в прошлом  методе вычислим определенный интеграл по формуле:

 

Где a и b – начало и конец отрезка интегрирования. a=0, b=

f(x) – заданная условием функция. f(x)=

 

Получаем: S криволинейной трапеции = dx

Высчитываем полученный интеграл:

S = dx = =

=

Программа вычисления интеграла  методом прямоугольника в Free Pascal.

Program Integral;

Var a,b,S,x,h,: real;

n,i: integer;

Function f(x:real):real;

Begin f:=Sin(x)*Sin(x);

End;

Begin

a:=0; b:=Pi/2;

Writeln (‘Введите количество отрезков:’);

Read (n);

h:=(b-a)/n;

S:=0; x:=a;

For i:=1 to n-1 do

Begin

S: =S+h*f(x);

x:=x+h;

End;

Write (‘Интеграл = ’ , S, S:12:6);

End.

 

Для проверки программы введем разные значения n- количество отрезков интегрирования.

Блок-схема для метода прямоугольников.

 

Вывод: В ходе выполнения расчетно-графической работы мы рассмотрели  метод прямоугольников для вычисления интеграла. Значение полученные методом прямоугольников примерно равно значению, которое мы получили в ходе вычисления определенного интеграла, следовательно, метод прямоугольников – верен.

Если сравнить результаты полученные методом трапеции и результаты, полученные методом прямоугольников, очевидно, что метод трапеции более точный.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы:

1. Бахвалов Н.С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). М.: Наука, 1975-632с.
2. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления: Пер. с англ. -М:Мир, 1987, 360 с
3. Павловская, Т.А. Паскаль: программирование на языке высокого уровня : учебник / Т.А.Павловская. – Санкт-Петербург : Питер, 2007, 400 с.