Тюменская область

где  b – постоянный (цепной) темп изменения уровней.

Однако анализ цепных показателей динамики не всегда приводит к достаточно обоснованному выбору конкретной формы тренда, поэтому приходится также использовать специальные математические критерии.

После выбора вида уравнения необходимо определить его параметры. Наиболее распространенным способом для этого является метод наименьших квадратов. При использовании данного метода необходимо, чтобы сумма квадратов отклонений фактических данных от выравненных была наименьшей (формула (2.6)):

                                                                                  (2.6)

Покажем на примере выравнивание с помощью линейной функции . Чтобы была минимальной, параметры a и b должны удовлетворять следующей системе нормальных уравнений (формула (2.7)):

                                                            (2.7)

где y – значение уровней фактического ряда динамики;

      t – порядковый номер периода или момента времени;

      n – количество уровней ряда динамики.

Расчет параметров значительно упрощается, если за начало отсчета времени (t=0) принять середину ряда динамики. При нечетном числе уровней, опираясь на данные таблицы 2.1, получим следующие значения t (таблица 2.4):

Таблица 2.4

t при нечетном числе уровней

Год	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011	2012
t	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4

 

При четном числе уровней, опираясь на данные таблицы 2.1, получим следующие значения t (таблица 2.5):

Таблица 2.5

t при четном числе уровней

Год	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011	2012
t	-3,5	-2,5	-1,5	-0,5	0	0,5	1,5	2,5	3,5

 

В обоих случаях =0, поэтому система уравнений принимает вид (формула (2.8)):

                                                                                                    (2.8)

Отсюда (формула (2.9)):

                                                                                        (2.9)

Результаты расчетов представлены в таблице 2.6. Подставив соответствующие значения, получим:

Таблица 2.6

Выравнивание данных о численности населения

в Тюменской области в 2004-2012 гг.

Год	yi	t	t2	yt
1	2	3	4	5	6
2004	2590	-4	16	-10360	1911,9
2005	2522	-3	9	-7566	1994
2006	2439	-2	4	-4878	2080
2007	2192	-1	1	-2192	2164
2008	2154	0	0	0	2248
2009	2116	1	1	2116	2332
2010	2098	2	4	4196	2416
2011	2085	3	9	6255	2500
2012	2037	4	16	8148	2586
Итого	20233	0	60	5043	20233

В последнем столбце таблицы 2.6 были рассчитаны выравненные уровни, численность населения. В выравненном ряду происходит равномерное возрастание уровней ряда в среднем за год на 84,05 единиц. (значение параметра «b»).

Система нормальных уравнений имеет вид:

9a0 + 0a1 = 20233

0a0 + 60a1  = 5043

Решением системы уравнений определяются теоретические параметры:

1. a0 = 2248,1, a1 = 84,05

Таким образом, уравнение линейного тренда, описывающего изменение численности населения Тюменской области имеет вид (формула (2.10)):

                                 y =2248,1t + 84,05.                                          (2.10)

В табл.2.7 представлен расчет необходимых показателей для определения параметров уравнения тренда второго порядка.

 

Таблица 2.7

Расчет параметров параболического уравнения тренда численности образовательных учреждений Тюменской области в 2004-2012 гг.

 

Год (t)	Числен-ность образовательных учреждений, единицы.  (y)	t2	y2	t y	t3	t4	t2 y	Выровнен-ные уровни ряда ( t)
-4	2590	16	6708100	-10360	-64	256	41440	1911,9
-3	2522	9	6360484	-7566	-27	81	22698	1994
-2	2439	4	5948721	-4878	-8	16	9756	2080
-1	2192	1	4804864	-2192	-1	1	2192	2164
0	2154	0	4639716	0	0	0	0	2248
1	2116	1	4477456	2116	1	1	2116	2332
2	2098	4	4401604	4196	8	16	8392	2416
3	2085	9	4347225	6255	27	81	18765	2500
4	2037	16	4149369	8148	64	256	32592	2586
Итого	20233	60	45837539	-4281	0	708	137951	20233

 

 

На рисунке 2.3. наблюдается взаимосвязь численности образовательных учреждений и выравненных уровней ряда

 

Рисунок 2.3. Взаимосвязь численности образовательных учреждений и выравненных уровней ряда

 

Система уравнений для нахождения параметров а0, а1, а2 имеет вид:

9a0 + 0a1 + 60a2 = 20233

0a0 + 60a1 + 0a2 = -4281

60a0 + 0a1 + 708a2 = 137951

Решением системы уравнений определяются теоретические параметры:

a0 = 503992/231, a1 = -1427/20, a2 = 9193/924

Таким образом, уравнение параболического тренда изменения численности образования имеет вид (формула (2.11)):

y = 9193/924t2+-1427/20t+503992/231                                            (2.11)

Таким образом, параболическое уравнение также можно использовать в качестве основы прогноза численности образовательных учреждений Тюменской области.

 

 

 

2.3. Автокорреляция  в рядах динамики и проведение  регрессионного анализа показателей.

 

Автокорреляция в рядах динамики – это зависимость последующих уровней ряда от предыдущих уравнений, если установлено наличие автокорреляции, то зависимость выражается уравнением авторегрессии. Измерение автокорреляции между уровнями ряда осуществляется с помощью коэффициента автокорреляции, который определяется по формуле (2.6):

                                                                                           (2.12)

   где  x – факторный признак;

y – результативный признак;

sх –  среднее квадратическое отклонение факторного признака;

sу  – среднее квадратическое отклонение результативного признака.

Коэффициент автокорреляции рассчитывается либо между соседними уровнями, либо между уровнями, сдвинутыми на любое число единиц времени m, этот сдвиг (временной лаг) определяет порядок коэффициента автокорреляции.

Коэффициент автокорреляции первого порядка чаще всего исчисляется по формуле:

                                                                                         (2.13)

При достаточно большом числе уровней ряда значения средних уровней и средних квадратических отклонений у исходного и сдвинутого рядов практически совпадают, т.е. и .

Используя эти равенства и отдавая предпочтение средней и дисперсии sу2 рассчитанным для всех членов исходного ряда, можно получить приближенную формулу коэффициента автокорреляции:

                                                                                      (2.14)

Чтобы иметь возможность пользоваться формулой для коротких рядов, у которых первый и последний уровни отличаются незначительно, сдвинутый ряд дополняют, принимая yt = yn.

Рассчитанное значение коэффициента автокорреляции сравнивается с критическим с помощью специальных таблиц, в которых для разного числа членов ряда n и разных уровней значимости определена критическая область, проверяемая нулевой гипотезой (об отсутствии автокорреляции между уровнями ряда). Если фактическое значение коэффициента меньше табличного, то гипотеза об отсутствии автокорреляции может быть принята и наоборот.

В рядах динамики, в которых обнаружена автокорреляция, каждый уровень yt можно рассматривать как функцию предыдущих значений уровней. Наиболее простой формой зависимости может служить линейная функция:

                                           .                                                (2.15)

 Уравнение  регрессии, которое связывает исходные  уровни ряда с теми же уровнями, сдвинутыми на определенный лаг, определяется по общим правилам  регрессионного анализа.

Параметры уравнения авторегрессии с лагом в один год находятся путем решения системы нормальных уравнений:

                                (2.16)

При этом следует иметь в виду, что поскольку сдвинутый ряд уt-1 содержит на один уровень меньше, чем исходный ряд, то все расчеты сумм необходимо проводить для одного и того же числа членов ряда, а именно n-1.

В табл.2.2 представлен расчет величин для определения коэффициента автокорреляции в динамическом ряду численности образовательных учреждений Тюменской области (дополненные данные в сдвинутом ряду взяты в скобки).

Таблица 2.8

Промежуточные расчеты для определения коэффициента автокорреляции численности образовательных учреждений в Тюменской области в 2004-2012 гг.

 

Год	Численность образовательных учреждений, единицы (yt)	yt-1	yt-12	yt yt-1	yt2	Выровненные уровни ряда ( )
2005	2522	2037	4149369	5137314	6360484	1994
2006	2439	2522	6360484	6151158	5948721	2080
2007	2192	2439	5948721	5346288	4804864	2164
2008	2154	2192	4804864	4721568	4639716	2248
2009	2116	2154	4639716	4557864	4477456	2332
2010	2098	2116	4477456	4439368	4401604	2416
2011	2085	2098	4401604	4374330	4347225	2500
2012	2037	2085	4347225	4247145	4149369	2586
Итого:	17643	17643	39129439	38975035	39129439	18320