Контрольная работа по "Экономике"

Контрольная работа по курсу: «ЭКОНОМЕТРИКА»

Вариант 6

Задача 1

Имеется информация по 10 предприятиям о потреблении материалов Y от объема производства продукции Х:

№ п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Х	105	116	123	137	145	161	173	187	201	218
Y	210	240	270	290	300	320	350	400	400	450

1. Оцените коэффициенты  линейной регрессии  по методу наименьших квадратов.

2. Проверьте статистическую  значимость оценок  теоретических коэффициентов при уровнях значимости .

3. Рассчитайте 95%-е доверительные  интервалы для теоретических  коэффициентов регрессии.

4. Спрогнозируйте потребление  материалов при объеме производства Х=200 и рассчитайте 95% доверительный интервал для условного математического ожидания .

5. Рассчитайте границы  интервала, в котором будет  сосредоточено не менее 95% возможных  объемов потребления материалов  при объеме производства Х=200.

6. Оцените на сколько  изменится потребление материалов, если доход вырастет на  10.

7. Рассчитайте коэффициент  детерминации  .

8. Рассчитайте  - статистику для коэффициента детерминации и оцените его статистическую значимость.

Решение.

1. Линейная регрессия  имеет вид: у = а + b∙х + ε

Таблица для построения линейной регрессионной модели.

N	Yi	Xi	(xi )2	xiyi	xi2	уi2	Yp	(yi – уР )2
1	210	105	2662,6	22050	11025	44100	219,57	91,61
2	240	116	1648,4	27840	13456	57600	241,62	2,62
3	270	123	1129	33210	15129	72900	255,65	205,89
4	290	137	384,16	39730	18769	84100	283,71	39,52
5	300	145	134,56	43500	21025	90000	299,75	0,06
6	320	161	19,36	51520	25921	102400	331,82	139,70
7	350	173	268,96	60550	29929	122500	355,87	34,49
8	400	187	924,16	74800	34969	160000	383,93	258,09
9	400	201	1971,4	80400	40401	160000	412,00	143,92
10	450	218	3770	98100	47524	202500	446,07	15,43
∑	3230	1566	12912	531700	258148	1096100	3230	931,35

Определим оценки параметров линейной регрессии по следующим  формулам:

где n — число наблюдений; х — факторный показатель; у – результативный.

Уравнение линейной регрессии  зависимости потребления материалов (Y) от объема производства (Х) имеет вид:

Y= 9,106 + 2,004∙Х.

Свободный член 9,106 – значение показателя Y при нулевом уровне значения фактора Х; параметр при Х = 2,004 означает, что при увеличении объема производства на 1 потребление материалов вырастет на 2,004.

2. Оценку дисперсии случайной  составляющей рассчитывают по  следующей формуле: 

Проверяем значимость параметров регрессии при уровне значимости а=0,05 и рассчитаем значения критериев:

Критическое значение t – критерия Стьюдента с уровнем значимости а=0,05 и степенями свободы v=n-2, где n – число пар наблюдений;

Таким образом, поскольку  можно сделать вывод, что с вероятностью 0,95 статистическая значимость коэффициентов β₁ и β₀ подтверждается.

3. Доверительные интервалы  для значимых параметров регрессии   во всей генеральной совокупности  значений факторного и результативного  признака с уровнем доверительной  вероятности 0,95 рассчитываем по формулам:

Для параметра β₁:

Для параметра β₀:

Таким образом, указанные  интервалы с вероятностью 0,95 будут  содержать в себе истинные значения параметров β₁ и β₀ линейной регрессии.

4. Прогноз потребления  материалов при объеме производства Х = 200:

Y(200) = 9,106 + 2,004∙200 = 409,9.

Найдем оценку дисперсии  групповых средних:

Расчет 95% доверительного интервала  для условного математического  ожидания М(Y|X = 200|):

5. Оценка дисперсии индивидуальных  значений у₀ при х = х₀ равна:

Расчет границ интервала, в котором будет сосредоточено  не менее 95% возможного потребления  материалов при объеме производства Х = 200:

6. Прогноз потребления  материалов при объеме производства Х = 210:

Y(210) = 9,106 + 2,004∙210 = 430.

Таким образом, при росте  объема производства на 10, потребление  материалов вырастет на 20,1 (430 – 409,9).

7. Коэффициент детерминации  R² определяется по формуле:

Коэффициент детерминации 0,9824 показывает, что 98,24% дисперсии показателя Y можно объяснить с помощью построенной модели зависимости от Х, а 1,76% вызваны влиянием остальных факторов.

8. Проверка R² на значимость с помощью F критерия.

Критическое значение F – критерия Фишера с уровнем значимости а=0,05 и степенями свободы v1=т, v2 = n-m, где n – число пар наблюдений; m – число параметров модели:

Таким образом, поскольку  можно сделать вывод с вероятность 0,95, что уравнение регрессии статистически значимо.

 

 

Задача 2

Коэффициент корреляции двух переменных Х и Y равен 0,85. Чему будет равен коэффициент корреляции, если все значения переменных Х и Y умножить на –10?

Решение.

Свойства коэффициента корреляции.

1. Модуль |г| не меняется  от прибавления к X и Y постоянных слагаемых и от умножения X и Y на положительные числа, т.е. при линейных преобразованиях случайных величин: _.Таким образом, коэффициент корреляции не зависит от выбора начала отсчета и единиц измерения.

 

Ответ: таким образом, если все значения переменных Х и Y умножить на –10, коэффициент корреляции так же останется равным 0,85.

 

 

 

 

Задача 3

 Как ведет себя зависимая  переменная с ростом объясняющей  переменной в модели линейной  регрессии, если коэффициент корреляции  меньше, чем коэффициент детерминации?

Решение.

Поскольку значение коэффициента корреляции изменяется в пределах от -1 < r < 1, а коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции, т.е. R² = r², то по модулю значение коэффициента детерминации всегда будет меньше, чем коэффициента корреляции.

Поскольку в условии задачи в модели линейной регрессии коэффициент  корреляции меньше, чем коэффициент  детерминации, то это возможно лишь в том случае, если значение коэффициента корреляции отрицательное, т.е. связь  между зависимой переменной и  объясняющей переменной обратная.

 

Ответ: таким образом, при  обратной связи с ростом объясняющей  переменной происходит снижение зависимой  переменной в модели линейной регрессии.

 

 

 

Список используемой литературы:

 

1. Доугерти К. Введение в эконометрику. — М.: ИНФРА-М, 1997. — 402 с.
2. Магнус Я., Катышев П. К, Пересецкий А. А. Эконометрика: Начальный курс. —М.: Дело, 1998.- 248 с.
3. Джонтсон Дж. Эконометрические методы. — М.: Статистика, 1980.—-444с.
4. Емельянов А. С. Эконометрия и прогнозирование. — М.: Экономика, 1985.— 118с.
5. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. - 311 с.