Mathematical constants

American mathematicians  Stan Wagon and Stanley Rabinowitz produced a simple spigot algorithm in 1995. Its speed is comparable to arctg algorithms, but not as fast as iterative algorithms.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

Число е важная математическая константа, являющаяся основанием натурального логарифма. Оно примерно равно 2,71828. И является пределом  из (1 + 1/n)n , а n к бесконечности, выражение, которое возникает при изучении сложных процентов. Оно также может быть рассчитано как сумма бесконечной серии

  Константа может быть определена по-разному; например, e

такое уникальное вещественное число, что значение производной (наклон касательной) функции  f(x) = ex  в точке x = 0 равно 1. Функция ex определена как экспоненциальная функция. Её инверсия  является натуральным логарифмом, или логарифмом по основанию е. Натуральный логарифм положительного числа k тоже может быть определён непосредственно как площадь под кривой у=1/х между х=1 и х=k . В таком случае, е – это число, у которого натуральный логарифм равен 1. Существуют и другие варианты.

Иногда его называют числом Эйлера в честь Швейцарского математика Леонарда Эйлера. е не путать с γ – постоянной Эйлера-Машерони, которую иногда называют просто постоянной Эйлера. Число е также известно как постоянное Напье. Но Эйлер выбрал символ е, как говорят, в его честь. Число е имеет огромное значение в математике,  наряду с 0, 1,  и i. Все эти пять чисел играют важную роль и встречаются во всей математике. И являются постоянными, входящими в одну формулировку тождества Эйлера. Как и число π, е является иррациональным: это не отношение целых чисел; и оно трансцендентное: это не корень из любого ненулевого многочлена с рациональными коэффициентами. Численное значение е усечено до 50 десятичных знаков

2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

История

Первые упоминания о константе были опубликованы в 1618 году в приложенной таблице логарифмов Джона Напье. Однако, она не содержит самой константы, а только список логарифмов, рассчитанных по ней. Предполагается, что таблица была написана Уильямом Отредом. Открытие постоянной зачисляется к Якобу Бернулли, который пытался найти значение следующего выражения (что на самом деле и является е):

.

Первое известное использование постоянной, обозначенной буквой б, обнаружено в переписке Готфрида Лейбница с Христианом Гюйгенсом в 1690 и 1691 годах. Леонард Эйлер применил букву е в качестве основы для натуральных логарифмов, написав это в письме к Христиану Гольдбаху 25 Ноября 1731 года. Эйлер начал использовать букву е для константы в 1727 или 1728 году, в неопубликованной работе о взрывных силах пушек, и первое появление е в издании Механика Эйлера (1736). В последующие годы некоторые исследователи использовали букву c, но е была более распространена, и в конечном итоге стала стандартом.

 

 

 

 

 

 

 

 

В компьютерной культуре

В современной интернет-культуре, частные лица и организации часто воздают должное числу е.

Например, в заявке на IPO  Google в 2004 году, вместо типичной круглой суммы денег, компания объявила о своём намерении заработать $2.718281828, что равно е  млрд. Google также был ответственным за рекламный щит, который появился в самом сердце Силиконовой долины, затем в Кембридже, штат Массачусетс; Сиэтле, штат Вашингтон; и Остине, Техас. В нем говорилось "{первые 10 знаков найдены в последовательности цифр е}.com". Решение этой проблемы и посещение рекламируемого (ныне несуществующего) веб-сайта привело к ещё более сложной проблеме, которая, в свою очередь, привела к Google Labs, где посетителю предлагалось предоставить резюме. Первые 10 цифр из е - 7427466391, которые начинаются на 99-й разряд.

В другом случае, компьютерный учёный Дональд Кнут давал номера версиям своей программы Метафонт как приближение к е. Версии 2, 2,7, 2,71, 2,718, и так далее. Аналогично, номера версий его программы TeX приближаются к .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теория чисел

Вещественное число е является иррациональным. Эйлер доказал это, показав, что его простая цепная дробь бесконечна. Кроме того, по теореме Линдеманн-Вейерштрасса, е является трансцендентным. Это означает, что оно не является решением любого непостоянного многочлена с рациональными коэффициентами. Это первое число, трансцендентность которого доказана без какой-либо определённой цели Чарльзом Эрмитом в 1873 году.

Предполагается, что е является нормальным, это означает, что, когда е выражается в любом возможном базисе, цифры этого базиса равномерно распределены (встречаются с равной вероятностью в любой последовательности данной длины).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Античность

Великая Пирамида в Гизе, построенная c. 2589-2566 до н.э., имеет периметр около 1760 локтей и высоту около 280 локтей; соотношение 1760/280 ≈ 6.2857 примерно равно 2 ≈ 6.2832. На основе этого коэффициента, некоторые египтологи пришли к выводу, что строители пирамид знали о и намеренно включили пропорции круга в пирамиду. Другие утверждают, что это просто совпадение, поскольку нет доказательств, что строители пирамид знали о , и потому, что размеры пирамиды основаны на других факторах. 
             Самые ранние письменные значения найдены в Египте и Вавилоне, как в пределах 1% истинной стоимости. В Вавилоне, глиняная табличка, от 1900-1600 г. до н. э. геометрически определяет как 25/8 = 3.1250. В Египте, Папирус, датированный примерно в 1650 году до н.э., но скопированный из документа, датированного 1850 г. до н. э. содержит формулу площади круга, которая определяет как (16/9)2 ≈ 3.1605. 
             В Индии около 600 г. до н.э., тексты на санскрите, богатые математическим  содержанием, определяют как (9785/5568)2 ≈ 3.088. В 150 году нашей эры, или, может быть, и раньше, индийские источники определяют ≈ 3.1622. Два стиха в Библии на иврите (в письменной форме между 8-м и 3-м веках до н.э.) описывают торжественный бассейн в Храме Соломона диаметром в десять локтей и окружностью тридцать локтей; стихи определяют около трех, если бассейн круглый.

 

 

 

 

Определение

  обычно определяется отношением длины окружности C к его диаметру (d): 

 
             Соотношение C/d является постоянным, независимо от размера круга. Например, если круг имеет диаметр в два раза больше диаметра другого круга, он также будет иметь в два раза большую длину окружности, сохраняя соотношение C/d. Это определение неявно использует плоскую (евклидову) геометрию; хотя понятие окружности может быть распространено на любую изогнутую (неевклидову) геометрию, эти круги, больше не удовлетворяют формуле = C/d. Существуют и другие определения , которые не упоминают о кругах. Например, в два раза меньше положительного x, при cos(x) равном 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Свойства

 -это иррациональное число, означающее, что оно не может быть записано в виде отношения двух целых чисел (фракций, таких как 22/7, которые обычно используются для приближенного ).Так как иррационально, оно имеет бесконечное число цифр в его десятичной записи, и оно не заканчивается с бесконечно повторяющимся узором цифр.

  это трансцендентное число, а значит это не решение любого непостоянного многочлена с рациональными коэффициентами, такого как . Трансцендентность имеет два важных следствия: во-первых, пи не может быть выражена с помощью любой комбинации из рациональных чисел и квадратных корней, или n-х корней, во-вторых, невозможно решить задачу о "квадратуре круга". Другими словами, невозможно построить с помощью только циркуля и линейки квадрат, площадь которого равна площади данного круга. "Квадратуре круга " была одной из важнейших задач по геометрии классической древности. Любители математики в современной эпохе, иногда пытались решить данную задачу, и иногда утверждали об успехе, несмотря на то, что это невозможно.

 

 

 

 

 

 

 

Компьютерная эра и итерационные алгоритмы

Развитие компьютеров в середине 20-го века снова спровоцировали охоту за цифрами числа пи. Американские математики Джон Ренч и Леви Смит достигли 1120 цифр в 1949 году, используя настольный калькулятор. С помощью арктангенса (arctg) бесконечного ряда, команда под руководством Джорджа Ритвиснера и Джона фон Неймана в том же году расчитала 2037 цифр с расчётом семидесяти часов компьютерного времени на компьютер ENIAC. Запись, рассчитывая на arctg серии, была нарушена неоднократно (7,480 знаков в 1957 году; 10 000 знаков в 1958 году; 100 000 знаков в 1961 году) до 1 млн. знаков была рассчитана ещё в 1973 году. 
               Два дополнительных события в районе 1980 года снова ускорили возможность вычисления . Во-первых, открытие новых итерационных алгоритмов для вычислительных пи, которые были намного быстрее, чем бесконечные ряды; и во-вторых, изобретение быстрых алгоритмов умножения, которые могли бы увеличивать число очень быстро. Такие алгоритмы особенно важно в современных вычислениях , потому что большинство времени компьютера посвящено умножению. Они включают в себя алгоритм Карацуба. 
             Итерационные алгоритмы были опубликованы в 1975-1976 американским физиком Евгением Саламиным и австралийским ученым Ричардом Брентом. Они избегают зависимости от бесконечных рядов. Итеративный алгоритм повторяет конкретное вычисление каждой итерации с использованием выходных сигналов от предшествующих этапов и даёт результат на каждом этапе, который сходится к необходимому значению. Подход на самом деле был  изобретён более 160 лет назад Карлом Фридрихом Гауссом, который сейчас называется арифметико-геометрическим средним (AGM метод) или алгоритм Гаусса-Лежандра, с изменениями Саламина и Брента, он также упоминается как Брент-Саламин алгоритм.

Итерационные алгоритмы широко использовались после 1980 года, так как они быстрее, чем бесконечные ряды алгоритмов: а бесконечный ряд, как правило, увеличивает количество правильных цифр аддитивно в ряду, итерационные алгоритмы, как правило, умножают количество правильных цифр на каждом шагу. Например, Брент-Саламин алгоритм удваивает количество цифр в каждой итерации. В 1984 году Канадские братья Джон и Питер Борвейна произвели итерационный алгоритм, который в четыре раза увеличивал количество цифр в каждом шаге, а в 1987 году, который увеличивал количество цифр в пять раз в каждом шаге. Итерационные методы были использованы японским математиком Ясумасой Канадой, чтобы задать несколько записей для вычисления между 1995 и 2002 годами. Эта быстрая сходимость имеет свою цену: итерационные алгоритмы требуют значительно больше памяти, чем бесконечные ряды.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Принятие символа

Самое ранее известное использование греческой буквы для представления отношения длины окружности к её диаметру было математиком Уильямом Джонсом в 1706 году в его работе Synopsis Palmariorum Matheseos; или Новое Введение в Математику. Впервые греческая буква появилась во фразе "1/2 Периферии ()", половина круга единичного радиуса. Джонс, возможно, выбрал π, потому что это был первый случай в греческом написании слова периферии. Тем не менее, он пишет, что его уравнения для от "готового пера действительно гениального Джона Машина", а следовательно Мачин, возможно, уже использовал греческую букву перед Джонсом. Она действительно использовалась ранее для геометрических понятий. Уильям Отред использовал и , эквивалентные греческим p и d, чтобы выразить соотношение периферии и диаметра в 1647 году и более поздних выпусках Clavis Mathematicae.

После Джонс представил греческую букву в 1706 году, но она не была принята другими математиками до тех пор, пока Эйлер не начал использовать её, начиная с 1736 в работе Mechanica. До этого математики иногда использовали буквы, такие как c или p. Эйлер вёл много переписок с другими математиками Европы, поэтому греческая буква распространилась очень быстро. В 1748 году Эйлер использовал Pi в своей широко читаемой работе "Введение в анализ бесконечно малых" (он писал: "для краткости мы будем обозначать это число, как ; так как равна половине длины окружности радиуса 1") и это было повсеместно принято впоследствии в западном мире.

 

 

Мотивы для вычисления

Для большинства численных расчётов, связанных с несколько цифр обеспечивают достаточную точность. По словам Йорга Арндта и Кристофа Хейнела, тридцать девять цифр достаточно для выполнения большинства космологических расчётов. Несмотря на это, люди работали усердно над вычислением тысяч и миллионов цифр числа пи. Эти усилия могут быть частично приписаны к тяге человека побить рекорды, и такие достижения с часто попадают в заголовки во всем мире. Обширные расчёты были также использованы для тестирования суперкомпьютеров и высокоточных алгоритмов умножения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Бесконечные ряды

Расчёт был революционизирован путём развития бесконечных рядов в 16 и 17 веках. Бесконечный ряд является суммой условий бесконечной последовательности. Бесконечные ряды позволили математикам вычислить с гораздо большей точностью, чем Архимед и другие, которые использовали геометрические методы. Хотя бесконечные ряды использовались для вычисления особенно европейскими математиками, такими как Джеймс Грегори и Готфрид Вильгельм Лейбниц, подход был впервые обнаружен в Индии где-то между 1400 и 1500 годами. Первое письменное описание бесконечного ряда, который может использоваться, чтобы вычислить , был заложен в Санскрите в стихе Tantrasamgraha индийского астронома Nilakantha Somayaji, примерно в 1500 году. Не было представлено никаких доказательств, но они были представлены в более поздней индийской работе, Yuktibhāṣā, приблизительно 1530 года. Несколько бесконечных рядов описаны, в том числе синус, косинус, тангенс, которые сейчас называют ряд Madhava или ряд Грегори-Лейбница. Ряд madhava оценивал до 11 цифр около 1400 года, но это значение было улучшено около 1430 года персидским математиком Jamshīd Аль-Kāshī, с помощью полигонального алгоритма.