Контрольная работа по " Теория игр "

 

 

 

Контрольная работа

 

по дисциплине Теория игр

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

Решение задач. Вариант 3………………….………………………………..……3

 

Список используемой литературы……………………………………………...17

Тема 3

 

Решить игру с матрицей (тип 2хn). В ответе указать цену игры и вероятности применения стратегий, т.е. v, p, q.

 

3	7	6	8	3	8
	6	7	1	7	5

 

Решение

Игроки	B1	B2	B3	B4	B5	a = min(Ai)
A1	7	6	8	3	8	3
A2	6	7	1	7	5	1
b = max(Bi)	7	7	8	7	8

 

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = 3, которая указывает на максимальную чистую стратегию A1.

Верхняя цена игры b = min(bj) = 7

Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах 3 <= y <= 7. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии).

Пусть — произвольная смешанная стратегия игрока 1 в этой игре. Найдем функции , :

и построим их графики (рис. 1)

 

Рисунок 1

 

Экстремальная точка L на нижней огибающей является пересечением прямых, соответствующих 3–ой и 4–ой стратегиям игрока 2, поэтому рассматриваем игру 2´2:

Игроки	B3	B4
A1	8	3
A2	1	7

По формулам находим:

Из полученных результатов формируем решение исходной игры:

.

 

Решить игру с матрицей (тип mх2). В ответе указать цену игры и вероятности применения стратегий, т.е. v, p, q.

 

	8	7
	7	8
	9	9
	-1	8
	9	6

 

Решение

Игроки	B1	B2	a = min(Ai)
A1	8	7	7
A2	7	8	7
A3	9	9	9
A4	-1	8	-1
A5	9	6	6
b = max(Bi)	9	9

 

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) =9, которая указывает на максимальную чистую стратегию A1.

Верхняя цена игры b = min(bj) = 9.

Что свидетельствует об наличии седловой точки, так как a = b, тогда цена игры находится в y =9. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии).

Пусть — произвольная смешанная стратегия игрока 1 в этой игре. Найдем функции , :

и построим их графики (рис. 2)

Рисунок 2

 

Решение игры (m x 2) проводим с позиции игрока B, придерживающегося максимальной стратегии. Доминирующихся и дублирующих стратегий ни у одного из игроков нет.

Максимальной оптимальной стратегии игрока 2 соответствует точка N, лежащая на пересечении прямых A3 и A5.

Рассмотрим игру 2´2:

Игроки	B1	B2
A3	9	9
A5	9	6

По формулам находим:

Из полученных результатов формируем решение исходной игры:

.

Тема 4

 

Найти точки равновесия в биматричной игре (A – матрица выигрышей игрока 1, B – матрица выигрышей игрока 2)

 

	A=	-8	-8	B=	18	13
		0	19		-10	19

Решение

Составим общую таблицу, чтобы более наглядно увидеть точки равновесия.

	А         В	А        В
А В	-8 18	-8 13
А В	0 -10	19 19

 

В этой задаче точка (19,19) является точкой равновесия для игрока А и В.

Если игрок А поменяет свою стратегию в точку (-8,13), то он проиграет 27 очков, а игрок В проиграет 6 очка.

Если игрок А поменяет свою стратегию в точку (-8,18), то он проиграет 27 очков, а игрок В проиграет 1 очко.

Если игрок А поменяет свою стратегию в точку (0,-10), то он проиграет 9 очков, а игрок В проиграет 29 очков.

То есть данная задача имеет одну точки равновесия (19,19).

 

Тема 6

 

Имеется три предприятия (I, II, III); которые выпускают продукцию #1, продукцию #2 и продукцию #3.Следующая таблица представляет общие выпуски продукции по каждому предприятию. Продукция продается комплектами (1ед. #1, 1ед. #2 и 1ед. #3). Спрос неограничен. Комплект стоит 1 тыс. руб. Требуется решить вопрос о целесообразности объединения предприятий, найти максимальный возможный доход объединения, справедливый дележ – вектор Шепли. В левом верхнем углу указан номер варианта.

 

 

3	#1	#2	#3
I	0	200	100
II	700	0	500
III	100	700	0

Решение.

Подсчитаем выигрыши коалиций, т.е. доход, который они получат при объединении. Для 3 игроков имеем 23=8 коалиций.

Так как каждое из предприятий не выпускает одного из типов продукции, то без объединения никто ничего не зарабатывает. v(Æ)=v(I)=v(II)=v(III)=0. При объединении I и II предприятий, их общий выпуск равен

 

	#1	#2	#3
I	0	200	100
II	700	0	500
итого	700	200	600

Они могут сформировать 200 комплектов и выручить за них 200 тыс. руб. При объединении I и III предприятий, их общий выпуск равен

 

	#1	#2	#3
I	0	200	100
III	100	700	0
итого	100	900	100

 

Они могут сформировать 100 комплектов и выручить за них 100 тыс. руб. При объединении II и III предприятий, их общий выпуск равен

 

	#1	#2	#3
II	700	0	500
III	100	700	0
итого	800	700	500

 

Они могут сформировать 500 комплектов и выручить за них 500 тыс. руб. При объединении всех трех предприятий, их суммарный выпуск равен

 

	#1	#2	#3
I	0	200	100
II	700	0	500
III	100	700	0
итого	800	900	600

 

Они могут сформировать 600 комплектов и выручить за них 600 тыс. руб. Занесем полученную информацию в таблицу выигрышей коалиций.

 

S	v(S)		S	v(S)
Æ	0		{I, II}	200
{I}	0		{I, III}	100
{II}	0		{II, III}	500
{III}	0		{I, II, III}	600

 

Теперь составим таблицу всевозможных порядков образования максимальной коалиции, раздавая каждому участнику ту дополнительную прибыль, которую он приносит в эту коалицию. Всего существует 3!=6 порядков формирования коалиций.

 

Порядок входа в коалицию				Сколько получает коалиция				Сколько получает каждый участник
первый	второй	третий		один	двое	трое		I	II	III
I	II	III		0	200	600		0	200	400
I	III	II		0	100	600		0	500	100
II	I	III		0	200	600		200	0	400
II	III	I		0	500	600		100	0	500
III	I	II		0	100	600		100	500	0
III	II	I		0	500	600		100	500	0
Итого								500	1700	1400

 

Например, на 5 строке указан порядок входа III, I, II.

Сначала приходит участник III. Так как v(III)=0, то он получает 0.

Следующим приходит участник I. Так как v(I,III)=100, то он получает 100-0=100.

Последним приходит участник II. Так как v(I,II,III)=600, то ему достается 600-100=500. Аналогично заполнены все остальные строки.

В строке итого подведены все доходы отдельных участников, полученные при 6 различных порядках. Собственно, эти 6 порядков выполняются для обеспечения полной симметрии по входам.

В заключение поделим полученные выигрыши на 6 и получим вектор справедливого платежа, который получают участники при вступлении в коалицию. .

Можно отметить, основные свойства вектора Шепли (справедливого дележа): от вступления в коалицию каждому участнику не становится хуже, кроме того, максимальный доход коалиции действительно получается и распределяется.

.

 

 

Список используемой литературы

 

1. Справочник по математике для экономистов. М, ВШ, 1997.
2. Волков Ю.И., Волков А.Ю. Теория игр. Тюмень, ТГИМЭУП, 2002.
3. Дж. Мак-Кинси. Введение в теорию игр. М., 1963.
4. Льюс Р.Д., Райфа Х. Игры и решения. М.,1961.
5. Воробьев Н.Н. Теория игр. Библ. "Знание", сер. матем., кибер., №4, 1976.

6. Берж К. Общая теория игр нескольких лиц. М., ФМ, 1961