Законы сохранения и их роль в естественнонаучном познании

• С учетом  , где   — обобщенный импульс  -той частицы, каждое слагаемое в сумме из последнего выражения можно переписать в виде
• Теперь, пользуясь свойством смешанного произведения, совершим циклическую перестановку векторов, в результате чего получим, вынося общий множитель:
• где,   — момент импульса системы. Ввиду произволь -ности  ,     из равенства      следует  .
• На орбитах момент импульса распределяется между собственным вращением планеты и момента импульса её орбитального движения:

 

 

Момент импульса в электродинамике.

При описании движения заряженной частицы в электромагнитном поле, канонический импульс   не является инвариантным. Как следствие, канонический момент импульса   тоже не инвариантен. Тогда берем реальный импульс, который также называется «кинетическим импульсом»:

где   — электрический заряд,   — скорость света,   — векторный потенциал. Таким образом, гамильтониан (инвариантный) заряженной частицы массы   в электромагнитном поле:

где   — скалярный потенциал. Из этого потенциала следует закон Лоренца. Инвариантный момент импульса или «кинетический момент импульса» определяется:

 

Момент  импульса в квантовой механике.

Оператор момента.

В квантовой механике момент импульса квантуется, то есть он может изменяться только по «квантовым уровням» между точно определенными значениями. Проекция на любую ось момента импульса частиц, обусловленного их пространственным движением, должна быть целым числом, умноженным на   (  с чертой), определяемой, как постоянная Планка, поделенная на  . Эксперименты показывают, что большинство частиц имеют постоянный внутренний момент импульса, который не зависит от их движения через пространство. Этот спиновой момент импульса всегда кратен   . Например, электрон в состоянии покоя имеет момент импульса  .

В классическом определении  момент импульса зависит от 6 переменных  ,  ,  ,  ,  , и  . Переводя это на квантовомеханические определения, используя принцип неопределенности Гейзенберга, получаем, что невозможно вычислить все шесть переменных одновременно с любой точностью. Поэтому есть ограничение на то, что мы можем узнать или подсчитать о практическом моменте импульса. Это значит, что лучшее, что мы можем сделать — это подсчитать одновременно величину вектора момента импульса и его компоненты по осям.

 

Математически полный момент импульса в квантовой механике определяется как оператор физической величины из суммы двух частей, связанных с пространственным движением – в атомной физике такой момент называют орбитальным, и внутренним спином частицы – соответственно, спиновым. Первый оператор действует на пространственные зависимости волновой функции:

где   и   — координатный и импульсный оператор, соответственно, а второй – на внутренние, спиновые. В частности, для одной частицы без электрического заряда и без спина, оператор углового момента может быть записан как:

где   — оператор набла. Это часто встречающаяся форма оператора момента импульса, но не самая главная, она имеет следующие свойства:

, где   — Символ Леви-Чивиты;

и даже более важные подстановки  с гамильтонианом частицы без заряда и спина:

Симметрия вращения.

Операторы момента  импульса обычно встречаются при  решении задач сферической симметрии в сферических координатах. Тогда момент импульса в пространственном отображении:

Когда находят собственные значения этого оператора, получают следующее:

где

 — сферические функции (представляют собой угловую часть семейства ортогональных решений уравнения Лапласа, записанную в сферических координатах. Они широко используются для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями и при решении физических задач, обладающих сферической симметрией).

 

 

Вычисление момента  импульса в нерелятивистской механике.

Если имеется материальная точка массой  , двигающаяся со скоростью   и находящаяся в точке, описываемой радиус-вектором  , то момент импульса вычисляется по формуле:

где   — знак векторного произведения.

Чтобы рассчитать момент импульса тела, его надо разбить на бесконечно малые кусочки и векторно просуммировать их моменты как моменты импульса материальных точек, то есть взять интеграл:

Можно переписать это через  плотность  :

(Если считать, что   — обобщенная функция, включающая, возможно, и дельтообразные члены, то последняя формула применима и к распределенным, и к дискретным системам).

Для систем, совершающих  вращение как целое (как абсолютно  твёрдое тело) вокруг одной из осей симметрии (или, более общо — вокруг так называемых главных осей инерции тела), справедливо соотношение

где   — момент инерции относительно оси вращения,   — вектор угловой скорости.

В общем случае вектор момента  связан с вектором угловой скорости через линейный оператор момента инерции (тензор инерции):

• За начало отсчета при вычислении моментов инерции или тензора инерции в принципе может быть взята любая ось или точка, при этом будут получены разные величины, связанные друг с другом через теорему Штейнера. Однако практически по умолчанию обычно выбирает-ся центр масс или закрепленная ось (центр), что является чаще всего и более удобным.

 

 

 

2. Принцип симметрии.

Симметрии принцип (в науке) – эвристический и методологический принцип научного исследования, в соответствии с которым определенные свойства и взаимосвязи объектов, формулируемые как законы в составе научных теорий, инвариантны относительно некоторых преобразований (составляют группу симметрии); в этом смысле пришил симметрии можно понимать как некоторое обобщение принципов относительности, инвариантности (см. также Простоты принцип). Напр., релятивистская симметрия (в рамках специальной теории относительности) заключена в том, что законы изменения состояний физических систем инвариантны в любых координатных системах, находящихся относительно друг друга в равномерном поступательном движении; при этом скорость света в любой системе координат постоянна и независима от того, покоится или движется источник света (Эйнштейн). В рамках общей теории относительности в группу симметрии включены все законы, определяющие свойства пространства-времени и включающие только динамические переменные. Основываясь на понятии «полного описания физической системы», включающего однозначные определения движений всех частиц и напряженностей полей во всех пространственно-временных точках, можно свести принцип симметрии к следующим положениям: 1) полное описание сохраняется при всех преобразованиях в любых эквивалентных системах координат; 2) все движения, возможные в одной системе координат, возможны во всех эквивалентных системах; 3) уравнения движения инвариантны во всех эквивалентных системах (формулировка Хаага – Вигнера).

Принцип симметрии способствует выявлению структуры физических теорий и взаимосвязи фигурирующих в них законов. Это позволяет устанавливать систематические отношения между теориями в рамках единой научно-исследовательской программы или сопоставлять такие программы. Конкретные виды симметрии могут различаться по степени общности и устойчивости (сопротивлению эмпирическим опровержениям); к числу наиболее общих и стабильных относятся релятивистская симметрия, а также симметрии, связанные с законами сохранения (эта связь может быть исследована на основании теорем Нетер, устанавливающих соотношения между фундаментальными группами симметрии, динамическими законами и физическими параметрами, для которых выполняются законы сохранения). Однако любые симметрии являются эмпирическими обобщениями; в этом смысле принципиально возможны открытия фактов нарушения симметрии (напр., нарушение четности в слабых взаимодействиях) либо открытие новых, ранее не фиксировавшихся типов симметрии (напр., в физике элементарных частиц).

Принцип симметрии сыграл значительную роль в формировании «Эрлангенской программы» Ф. Клейна как общий метод определения структуры и способа построения широкого класса

 

геометрий (1873). В физике теоретико-инвариантные идеи и принцип симметрии приобрели  особенную значимость с развитием  релятивистской механики и последующей  «геометризации» физики, став методологической основой прогноза относительно возникновения  новых направлений теоретического анализа в этой области. В этой связи оказались плодотворными  типологии и классификации типов  симметрии, различных модификаций  и ограничений «эрлангенского»  подхода.

В методологическом плане  принцип симметрии может указывать  источники и способы возможных  разрешений проблемных ситуаций в науке, которые связаны с обнаружением не известных ранее симметрий  или с нарушениями установленных  симметрий. Напр., ньютоновская механика может рассматриваться как разрешение проблемной ситуации, возникшей с обнаружением Кеплером симметрических закономерностей движения планет, которые не могли быть последовательно совмещены с механикой Галилея; эмпирические формулы распределения спектральных линий Бальмера (1885) и Пашена (1908), свидетельствующие о симметрии в структуре атома водорода, получили теоретическое объяснение в первой квантовой теории (Н. Бор), а затем в квантовой механике; открытия нарушений фундаментальных физических симметрии (Ли и Янг, С. By, Дж. Кронин и др.) стали мощнейшим стимулом прогресса в теоретической физике, во многом определявшимся методологической установкой на сохранение симметрии и связанной с этим перестройкой оснований физики слабых взаимодействий.

Симметрия  – свойство, отражающее структурную особенность объекта, остающегося неизменным при изменении порядка расположения в пространстве и/или времени равных между собой частей этого объекта. Понятие симметрии может быть расширено на случай, когда неизменными при преобразовании остаются только некоторые характеристики объекта. Принцип симметрии – один из общих методологических принципов науки.

В зависимости от характера  объекта и его частей понятие  симметрии может относиться к  эстетике или математике, естествознанию или лингвистике. Для каждой из этих областей симметриия имеет конкретную расшифровку. Вне зависимости от того, какой конкретный тип симметрии рассматривается, всегда предполагается, что операции, приводящие к взаимозаменяемости различных симметричных частей объектов, операции симметрии, обладают взаимной независимостью и их можно реализовывать в определенной последовательности, получая, напр. в случае пространственных симметрий, фигуры со сложной симметрией, выражаемой суммой (последовательным выполнением) отдельных операций симметрии. В естествознании особый интерес представляют совокупности симметрий, образующих группу, т.е. отвечающих требованиям, предъявляемым к группе: в группе существует нулевая операция симметрии, у каждой входящей в группу операции

 

 

симметрии есть обратная операция, в сумме с которой они дают нулевую операцию симметрии, сумма  любых двух операций симметрии из группы есть операция симметрии группы. Принцип симметрии был отнесен  к разряду порождающих принципов  науки, и было

показано, что имплицитно он функционирует в подобном качестве со времен античности. В эстетике понятие  симметрии традиционно ассоциируется  с гармонией, красотой, порядком. Известные  с древности свойства симметрии  геометрических тел отражали и эти  эстетические критерии. По определению, пространственной симметрией обладает геометрический объект, части которого совпадают, будучи отраженными либо относительно некоторой мысленной  линии или плоскости, проходящих внутри этого объекта, либо вокруг точки, принадлежащей объекту. В первом случае линия называется осью или плоскостью симметрии тела, во втором – центром симметрии. Линия может находиться вне тела, а часть объекта совпадать с ним самим, в этом случае имеет место зеркальная симметрия относительно оси. Сфера – пример геометрического тела, имеющего бесконечно много плоскостей симметрии и осей симметрии, проходящих через ее центр, именно она рассматривалась в античности как наиболее совершенное из всех геометрических тел, что дает пример совпадения эстетического критерия и свойства симметрии.

Первое применение свойств  симметрии в физике относится  к 1-й трети 19 в., когда были обнаружены И. Гесселем 32 кристаллографических класса – единственные группы поворотов в трехмерном пространстве (на 60, 90 и кратные им углы), оставляющие неизменными кристаллы. В конце 20 в. Е.С.Федоров классифицировал все 230 возможных групп пространственной симметрии кристаллов. Во 2-й пол. 19 в. в рамках классической теории химического строения была открыта зависимость от строения молекулы химического вещества его химических свойств (изомерия), что позволило приближенно предсказать на основе свойств симметрии строение молекул. Впоследствии было показано, что разные химические свойства имеют вещества с зеркально-симметричной структурой. Двусторонняя, зеркальная симметрия играет особую роль в природе. Она известна как наиболее типичная структурная особенность живых организмов (зеркальная симметрия листьев, человеческого тела и т.д.) наряду с характерной для них функциональной симметрией, понимаемой как тождественность функций симметричных органов. С концепцией симметрии связано и понятие симметричности. В логике бинарное отношение R, определенное на некотором множестве M будет симметричным, если для любых x и у из М: из xRy – следует yRx. В математике функция f(x, у,... z) называется симметричной по переменной х, определенной в области М., если она не меняется при замене x на х, тоже принадлежащем M: f(x, y,... z) =       = f(-x, y,... z). Функция, симметричная по всем своим переменным внутри области определения, называется симметричной.