Законы сохранения и их роль в естественнонаучном познании

ФГОУ ВПО

«Ярославская государственная  сельскохозяйственная академия»

 

 

 

 

 

 

Кафедра «Гуманитарных и  социально-экономических наук»

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по дисциплине «Концепции современного естествознания»

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила: студентка 3 курса 

                                                                                          заочной формы обучения.

Экономического факультета

направление «Финансы и кредит».

                                                                        Учебный шифр: 10643,  Ярош  И. В.

 

 

                                                    Проверил: Цаплин В.П.

 

 

 

 

Ярославль

2012

 

 

Тема № 13. Законы сохранения и их роль в естественнонаучном познании.

1. Законы сохранения импульса и  момента импульса.

                 И́мпульс (Количество движения) — векторная физическая величина, являющаяся мерой механического движения тела. В классической механике импульс тела равен произведе-нию массы m этого тела на его скорость v, направление импульса совпадает с направлением вектора скорости:   .

В более общем  виде, справедливом также и в релятивистской механике, определение имеет вид:

                 Импульс – это аддитивный интеграл движения механической системы, связанный согласно теореме Нётер (утверждает, что каждой непрерывной симметрии физической системы соответствует некоторый закон сохранения) с фундаментальной симметрией – однородностью пространства.

Аддитивность (лат. additivus — прибавляемый) – свойство величин, состоящее в том, что значение ве-личины, соответствующее целому объекту, равно сумме значений величин, соответствующих его час-тям, в некотором классе возможных разбиений объекта на части.

 

Зако́н сохране́ния и́мпульса (Зако́н сохране́ния количества движения) утверждает, что вектор-ная сумма импульсов всех тел (или частиц) замкнутой системы есть величина постоянная.

В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Из законов Ньютона можно показать, что при движении в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии взаимодействия скорость его изменения определяется суммой приложенных сил.

Как и любой из фундаментальных законов сохранения, закон сохранения импульса описывает одну из фундаментальных симметрий, – однородность пространства.

Вывод из формализма Ньютона 

Рассмотрим второй закон Ньютона

Перепишем его для системы  из N частиц:

где суммирование идет по всем силам, действующим на n-ю частицу со стороны m-ой. Согласно третьему закону Ньютона, силы вида   и   будут равны по абсолютному значению и противоположны по направлению, то есть   

Тогда после подстановки  полученного результата в выражение (1) правая часть будет равна нулю, то есть:                                    или           

Как известно, если производная  от некоторого выражения равна нулю, то это выражение есть постоянная величина относительно переменной дифференцирования, а значит:

 (постоянный вектор).

То есть суммарный импульс  системы частиц есть величина постоянная. Нетрудно получить аналогичное выражение  для одной частицы.

Следует учесть, что вышеприведенные  рассуждения справедливы лишь для замкнутой системы.

Также стоит подчеркнуть, что изменение импульса   зависит не только от действующей на тело силы, но и от продолжительности её действия.

 

Связь с однородностью  пространства.

Согласно теореме Нётер каждому закону сохранения ставится в соответствие некая симметрия уравнений, описывающих систему. В частности, закон сохранения импульса эквивалентен однородности пространства, то есть независимости всех законов, описывающих систему, от положения системы в пространстве. Простейший вывод этого утверждения основан на применении лагранжева подхода к описанию системы.

Симметрия в физике
Преобразование	Соответствующая  инвариантность	Соответствующий  закон  сохранения
↕ Трансляции времени	Однородность  времени	…энергии
↔ Обращение времени	Изотропность  времени	…энтропии
↔ Трансляции пространства	Однородность  пространства	…импульса
○ Вращения пространства	Изотропность  пространства	…момента  импульса
× Группа Лоренца	Относительность  Лоренц-инвариантность	…4-импульса

 

 

 

 

Вывод из формализма Лагранжа.

Рассмотрим функцию Лагранжа свободного тела   зависящую от обобщён -ных координат   обобщённых скоростей   и времени t. Здесь точка над q обозначает дифференцирование по времени,   Выберем для рассмотрения прямоуголь-ную декартову систему координат, тогда   для каждой  -той частицы. Используя однородность пространства, мы можем дать всем радиус-векторам частиц одинаковое приращение, которое не будет влиять на уравнения движения:   где   В случае постоянства скорости функция Лагранжа изменится следующим образом:

где суммирование идет по всем частицам системы. Так как приращение не влияет на уравнения движения, то вариация функции Лагранжа должна быть равной нулю:   С учётом того, что вектор   — произвольный, последнее требование выполняется при:

                      

где суммирование идет по всем частицам системы.

Так как приращение не влияет на уравнения движения, то вариация функции Лагранжа должна быть равной нулю:   С

учётом того, что вектор   — произвольный, последнее требование выполняется при:

                  

 

 Воспользуемся уравнением Лагранжа         

Это означает, что сумма, стоящая под знаком дифференциала, — постоянная величина для рассматриваемой системы. Сама сумма и есть суммарный импульс системы:

             Учитывая, что лагранжиан свободной частицы имеет вид:   нетрудно видеть, что последнее выражение совпадает с выражением в ньютоновом формализме:                       

Для релятивистской свободной  частицы лагранжиан имеет несколько  другую форму:   что приводит к релятивистскому определению импульса

В настоящее время не существует каких-либо экспериментальных фактов, свидетельствую-щих о невыполнении закона сохранения импульса.

Закон сохранения импульса в общей теории относительности.

            Аналогично ситуации с законом сохранения энергии, при переходе к искривлённому пространству-времени закон сохранения импульса, выражаемый пространственными компонентами соотношения для тензора энергии-импульса

где точка с запятой  выражает ковариантную производную, приводит лишь к локально сохраняющимся величинам. Это связано с отсутствием глобальной однородности пространства в пространстве-времени общего вида.

Можно придумать такие  определения импульса гравитационного  поля, что глобальный закон сохранения импульса будет выполняться при  движении во времени системы тел  и полей, но все такие определения  содержат элемент произвола, так  как вводимый импульс гравитационного  поля не может быть тензорной величиной  при произвольных преобразованиях  координат.

 

Моме́нт и́мпульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количествовращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Следует учесть, что вращение здесь понимается в широком смысле, не только как регулярное вращение вокруг оси. Например, даже при прямолинейном  движении тела мимо произвольной воображаемой точки, не лежащей на линии движения, оно также обладает моментом импульса. Наибольшую, пожалуй, роль момент импульса играет при описании собственно вращательного движения. Однако крайне важен и для гораздо более широкого класса задач (особенно – если в задаче есть центральная или осевая симметрия, но не только в этих случаях).

Замечание: момент импульса относительно точки — это псевдовектор, а момент импульса относительно оси – псевдоскаляр. Момент импульса замкнутой системы сохраняется.

 

Момент импульса
Размерность	L2MT−1
Единицы измерения
СИ	м2·кг·с−1
СГС	см2·г·с−1
Примечания
псевдовектор

Момент импульса в классической механике.

Определение. Момент импульса L частицы относительно некоторого начала отсчёта определяется векторным произведением её радиус-вектора и импульса:

 

где r – радиус-вектор частицы относительно выбранного неподвижного в данной системе отсчёта начала отсчёта, p - импульс частицы.

Для нескольких частиц момент импульса определяется как (векторная) сумма таких членов:

  

где r_{i ,} p_i радиус-вектор и импульс каждой частицы, входящей в систему, момент импульса которой определяется.

(В пределе  количество частиц может быть  бесконечным, например, в случае  твердого тела с непрерывно  распределенной массой или вообщераспределенной системы это может быть записано как L = r × dp, где dp – импульс бесконечно малого точечного элемента системы).

В системе СИ момент импульса измеряется в единицах джоуль-секунда; Дж·с.

 

 

Из определения  момента импульса следует его аддитивность: как, для системы частиц в частности, так и для системы, состоящей из нескольких подсистем, выполняется:

.

Замечание: в  принципе момент импульса может быть вычислен относительно любого начала отсчета (получившиеся при этом разные значения связаны очевидным образом); однако чаще всего (для удобства и  определенности) его вычисляют относительно центра масс или закрепленной точки вращения твердого тела итп).

Вычисление момента.

           Так как момент импульса определяется векторным произведением, он является псевдовектором, перпендикулярным обоим векторам r и p. Однако, в случаях вращения вокруг неизменной оси, бывает удобно рассматривать не момент импульса как псевдовектор, а его проекцию на ось вращения как скаляр, знак которого зависит от направления вращения. Если выбрана такая ось, проходящая через начало отсчёта, для вычисления проекции углового момента на неё можно указать ряд рецептов в соответствии с общими правилами нахождения векторного произведения двух векторов.

где  – угол между r и p, определяемый так, чтобы поворот от r к p производился против часовой стрелки с точки зрения наблюдателя, находящегося на положительной части оси вращения. Направление поворота важно при вычислении, так как определяет знак искомой проекции.

Запишем r в виде r = r+ r , где r - составляющая радиус-вектора, параллельная вектору импульса, а r - аналогично, перпендикулярная ему. r является, по сути, расстоянием от оси вращения до вектора p, которое обычно называют «плечом». Аналогично можно разделить вектор импульса на две составляющие: параллельную радиус-вектору p и перпендикулярную ему p. Теперь, используя линейность векторного произведения, а также свойство, согласно которому произведение параллельных векторов равно нулю, можно получить ещё два выраже-ния для  .

 

 

 

Сохранение углового момента.

• Закон сохранения момента импульса (закон сохранения углового момента): векторная сумма всех моментов импульса относительно любой неподвижной точки (или сумма моментов относительно любой неподвижной оси) для замкнутой системы остается постоянной со временем.
• Производная момента импульса по времени есть момент силы:
• Таким образом, требование замкнутости системы может быть ослаблено до требования равенства нулю главного (суммарного) момента внешних сил:
• где   — момент одной из сил, приложенных к системе частиц. (Но конечно, если внешние силы вообще отсутствуют, это требование также выполняется).
• Математически закон сохранения момента импульса следует из изотропии пространства, то есть из инвариантности пространства по отношению к повороту на произвольный угол. При повороте на произвольный бесконечно малый угол  , радиус-вектор частицы с номером   изменятся на  , а скорости - . Функция Лагранжа   системы при таком повороте не изменится, вследствие изотропии пространства. Поэтому