Обработка результатов эксперимента

 

Вероятнейшее значение радиуса оси радиального мостового крана определится по формуле (10):

 

           (10)

 

Находим центральные моменты второго, третьего и четвертого порядка по формулам (6)-(8):

 

0,0004 (0,44 – 0,0025) = 0,00018

= 8* 10^-6 (0,05 - 0,066 + 0,00025) = -1,42 * 10^-7 

= 1,6*10^-7 (3,06 - 0,01 +0,0066 – 1,9*10^-5) = =5,0*10^-7

 

Поскольку центральный  момент второго порядка является дисперсией случайной величины, то средняя квадратическая ошибка составит:

 

 

Вычислим асимметрию As и эксцесс эмпирического распределения Es соответственно по формулам (11), (12):

 

        (11)

 

        (12)

 

 

 

 

II Этап

 

В данном этапе мы должны исключить из нашего ряда значения радиусов, отклонения которых от оптимального значения превышают 3m.Таких радиусов оказалось 38. Оставшийся массив из 127 значений радиусов необходимо проанализировать вероятностно-статистическим методом. Для этого мы действуем по следующей схеме:

Сначала определим среднюю квадратическую ошибку по

формуле (1).

 

Исходный ряд необходимо сгруппировать. Для этого определим шаг интервала согласно формуле (2):

 

 

После этого устанавливаем  границы интервалов и определяем количество значений радиусов в соответствующем  интервале, т.е. находим частоту n_j появления величин радиусов в каждом интервале, а затем вычисляем частости p_j и накопленную частость или эмпирическую функцию распределения Fn(x) соответственно по формулам (3) и (4):

 

Результаты вычислений представлены в табл.3. Графики, построенные  по данному ряду, представлены в  прил. 3.

    Таблица 3

№	Границы интервалов		частоты	частости	накопленная частость
	aj	bj
1	21,451	21,453	7	0,055	0,055
2	21,453	21,455	10	0,079	0,134
3	21,455	21,458	20	0,157	0,291
4	21,458	21,460	35	0,276	0,567
5	21,460	21,462	18	0,142	0,709
6	21,462	21,464	9	0,071	0,780
7	21,464	21,467	20	0,157	0,937
8	21,467	21,4690	8	0,063	1,000
	суммы		127	1,0000

 

Для вычисления эмпирических характеристик данного ряда распределения  воспользуемся начальными  и центральными моментами, которые находятся по формулам (5)-(8). Сначала найдем относительную середину интервалов y_j по формуле (9). Вычисления выполняются в табл. 4.

 

 

     Таблица 4

№	середина интервала xj	Относительная середина yj	частота nj	njyj	njyj2	njyj3	njyj4
1	21,45206695	-3	7	-21	63	-189	567
2	21,45432318	-2	10	-20	40	-80	160
3	21,45657941	-1	20	-20	20	-20	20
4	21,45883563	0	35	0	0	0	0
5	21,46109186	1	18	18	18	18	18
6	21,46334809	2	9	18	36	72	144
7	21,46560432	3	20	60	180	540	1620
8	21,46786054	4	8	32	128	512	2048
Суммы			127	67	485	853	4577
Относительные начальные моменты				0,53	3,82	6,72	36,04

 

Вероятнейшее значение радиуса оси радиального мостового крана определится по формуле (10):

 

 

Находим центральные моменты второго, третьего и четвертого порядков по формулам (6) - (8):

 

 

 

 

Поскольку центральный  момент второго порядка является дисперсией случайной величины, то средняя квадратическая ошибка составит:

 

 

После этого определяем коэффициент асимметрии As и эксцесс эмпирического распределения Es по формулам (11) и (12):

 

 

Учитывая то, что объем  нашей выборки больше 30, то для  нахождения стандартов ассиметрии и  эмпирического эксцесса воспользуемся формулами (13) и (14):

 

                             (13)

                     (14)

 

Ассиметрию считают  существенной, когда имеет место  следующее условие: , где t – определяется для заданного уровня значимости q.

 

Сейчас и в последствии  зададимся доверительной вероятностью p=0,94 и, следовательно, уровнем значимости q=0,06.

Для нашей доверительной  вероятности параметр t=1,88.

Следовательно, т.к. , то ассиметрией мы можем пренебречь.

 

 

Эмпирический эксцесс  считается существенным, если он значительно превышает стандарт , т.е. выполняется неравенство: .

Т.к. , то эмпирический эксцесс можно считать несущественным.

 

Выполним оценку точности параметров распределения, т.е. определим  доверительные интервалы для математического ожидания a и стандарта (x). Для нахождения доверительных интервалов воспользуемся зависимостями (15) и (16).

 

              (15)

               (16)

 

Доверительный интервал для математического ожидания составит:

 

 

Откуда  

 

Находим доверительный  интервал для среднего квадратического  отклонения:

Учитывая то, что объем  нашей выборки n>30, то находим по следующей формуле:

 

Согласно этой формулы:

 

 

 

 

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения составит:

 

Откуда 

 

 

 

Произведем проверку гипотез, как о параметрах распределения, так и о самом распределении.

 

1. Проверим гипотезу  о равенстве центров распределения H_O: двух наших выборок n₁=165 и n₂=127. Сначала сравним вероятнейшие значения радиусов R₁= 21,4605м. и R₂= 21,4600м.

Определим среднюю квадратическую ошибку разности по формуле (17):

              (17)

 

При заданном уровне значимости q=0,06 имеем:

 

 

Таким образом, исходная гипотеза не противоречит результатам  измерений и можно сделать  вывод, что оба распределения  взяты из одной генеральной совокупности.

 

2. Проверим гипотезу  о равенстве дисперсий H_O: .Воспользуемся критерием Фишера-Снедекора , причем в качестве числителя берется наибольшая из двух дисперсий. В качестве исходных данных возьмем средние квадратические ошибки первого ряда - m₁=13,3 мм и второго – m₂=4,2 мм. Вычисляем параметр F:

Полученное значение сравнивают с табличным, которое  при уровне значимости q=0,025 составит .Следовательно, и несмотря на то, что оба ряда принадлежат одной генеральной совокупности, по точности они являются неоднородными (гипотеза H_O отвергается).

 

 

III Этап

 

На заключительном этапе  проверяем гипотезу о законе распределения. Выдвигаем гипотезу о соответствии эмпирического распределения нормальному  закону H_O: . Для этого воспользуемся критерием согласия Колмогорова, в основу которого положено сравнение эмпирической функции распределения F_n(x) с теоретической функцией распределения F(x). Вычисления выполняются в табл.5.

 

     Таблица 5

№	Границы интервалов		Границы интервалов	t	Ф(t)	F(x)	|Fn(x)-F(x)|
	aj	bj
1	21,4509	21,453195	0,055	-1,59	-0,4441	0,0559	0,001
2	21,4532	21,4555	0,134	-1,07	-0,3577	0,1423	0,008
3	21,4555	21,4577	0,291	-0,54	-0,2054	0,2946	0,003
4	21,4577	21,4600	0,567	-0,01	-0,004	0,496	0,071
5	21,4600	21,4622	0,709	0,51	0,195	0,695	0,014
6	21,4622	21,4645	0,780	1,04	0,35085	0,85085	0,071
7	21,4645	21,4667	0,937	1,57	0,4418	0,9418	0,005
8	21,4667	21,4690	1,000	2,09	0,4817	0,9817	0,018

 

Нормированный параметр t вычисляется по формуле: , по которому находится функция Лапласа. Интегральная функция F(x) определится из выражения .

Вычислим разности между  эмпирической F_n(x)  и теоретической F(x) функциями распределения. По наибольшей разности найдем параметр по формуле (18):

 

                (18)

 

По значению находим величину , затем находим значение , по которому определяем .

Т.к. следовательно, расхождение между распределениями является случайным и исходную гипотезу H_O о нормальности распределения следует считать согласованной.

 

Проверим эту же гипотезу H_O с помощью - распределения. (табл. 6)

 

           Таблица 6

№	Границы интервалов		Частота
	aj	bj
1	21,451	21,453	7	0,0397	5	2	4	0,76
2	21,453	21,455	10	0,09	11	-1	2	0,18
3	21,455	21,458	20	0,15	19	1	1	0,05
4	21,458	21,460	35	0,24	30	5	21	0,70
5	21,460	21,462	18	0,2	25	-7	55	2,16
6	21,462	21,465	9	0,15	19	-10	101	5,30
7	21,465	21,467	20	0,09	11	9	73	6,43
8	21,467	21,469	8	0,04	5	3	9	1,68
			127	0,9597	127			16,26