Аффинные преобразования. Лист папоротника

Аффинные  преобразования. Лист папоротника.

Рассмотренные линейные преобразования для построения фрактальных множеств есть частные случаи общего аффинного  преобразования плоскости:

,

,

или

.

Числа и описывают обычную трансляцию, а числа задают произвольное линейное преобразование при неизменном положении начала координат.

Неподвижной точкой аффинного преобразования называется точка, которая остается на месте под воздействием данного преобразования. Она называется притягивающей, если, начав с произвольной точки на плоскости, мы в процессе итераций будем все время к ней приближаться.

Если длина произвольного  отрезка при аффинном преобразовании уменьшается, то оно называется сжимающим. Именно в этом случае СИФ имеют своим аттрактором фрактальное множество.

Одним из наиболее ярких  примеров СИФ является система из 4 сжимающих преобразований, аттрактором  для которой является множество  точек, напоминающих лист папоротника.

Эту СИФ проще представить  в виде таблицы:

0	0	0	0,16	0	1,6	0,01
0,85	0,04	-0,04	0,85	0	1,6	0,85
0,2	-0,26	0,23	0,22	0	1,6	0,07
-0,15	0,28	0,26	0,24	0	0,44	0,07

 

 

В последнем столбце - это вероятность, в соответствии с которой выбирается то или иное преобразование, причем  . Вот как выглядит получаемое множество:

Из рисунка видно, что  множество бесконечное самоподобное: каждый лист папоротника подобен целому.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию аффинного коллажа  из таблицы на примере его действия на квадрат.

Первое преобразование соответствует  сжатию этого квадрата в вертикальный отрезок прямой, длина которого составляет от диагонали квадрата. Он обозначен на рисунке цифрой 1. Как мы убедимся ниже, это будущий "стебель" всех листьев папоротника.

 

Второе преобразование превращает квадрат  в квадрат , который имеет размер в от оригинала, повернут по часовой стрелке относительно вершины на угол в и смещен по вертикали вверх на расстояние в 1,6.

Третье аффинное преобразование переводит квадрат  в параллелограмм . Для этого сторона квадрата сжимается в 3,07 раза и поворачивается вокруг точки на угол в против часовой стрелки. Сторона же квадрата этим преобразованием сжимается примерно в 3,12 раза и поворачивается в том же направлении на угол в . После чего образовавшийся (близкий к ромбу) параллелограмм сдвигается вертикально вверх на 1,6.

На конец, четвертое преобразование трансформирует исходный квадрат в параллелограмм . Для этого сторона сжимается в 3,29 раза и поворачивается по часовой стрелке вокруг начала координат на угол примерно в . Сторона же сжимается в 2,74 раза и поворачивается на угол в , но против часовой стрелки. Затем получившийся параллелограмм смещается на 0,44 по вертикали вверх.

Теперь можно увидеть  геометрический смысл СИФ для листа папоротника.

1-ое и 2-ое преобразование  отвечают за формирование стебля  у всех листьев. Если исключить поворот во 2-ом преобразовании, то получим прямой стебель.

 

А система функций будет  иметь вид:

0	0	0	0,16	0	1,6	0,01
0,85	0	0	0,85	0	1,6	0,85
0,2	-0,26	0,23	0,22	0	1,6	0,07
-0,15	0,28	0,26	0,24	0	0,44	0,07

 

Если трансляцию в 4-ом преобразовании сделать такой же, как в 3-ем‚  то мы увидим, что она задает относительное положение листьев папоротника по обе стороны от стебля.

В 4-ом преобразовании отражение  приводит к правильному изгибу листьев  справа от стебля.

Система без отражения  выглядит вот так:

0	0	0	0,16	0	1,6	0,01
0,85	0,04	-0, 04	0,85	0	1,6	0,85
0,1667	-0,2887	0,2887	0,1667	0	1,6	0,07
-0,1667	0,2887	-0,2887	0,1667	0	0,44	0,07

 

А сам лист примет вид:

Меняя параметры аффинных преобразований, входящих в СИФ, можно  получить различные модификации. Например, система

0,1	0	0	0,16	0	1,6	0,01
0,85	0	0	0,85	0	1,6	0,85
0,1667	-0,2887	0,2887	-0,1667	0	1,6	0,07
-0,1667	0,2887	-0,2887	-0,1667	0	0,44	0,07

 

соответствует изображению:

 

Изменим величины вероятностей:

0,1	0	0	0,16	0	0	0,01
0,85	0	0	0,85	0	1,6	0,73
-0,2357	-0,2357	0,2357	-0,2357	0	1,6	0,13
-0,2357	0,2357	-0,2357	-0,2357	0	1,6	0,13

 

и получим следующее: