Современные методы прогнозирования

         В период застоя  в росте  ассигнований, перспектива постоянного  роста расходов на заработную  плату, ставит перед директором  следующие вопросы:

  1 каков  прогноз тенденции финансирования  штатного состава,

  2 что  может быть сделано для прекращения  роста расходов или для снижения.

     Построение  математической модели.

     Модель  будем строить в два этапа:

     На  первом этапе дадим количественное описание системы;

     На  втором этапе введем ряд ограничений  относительно происходящих в ней  изменений.

     Количественные  характеристики задачи - это запасы и потоки

     Запасом будем называть количество людей  в какой либо категории на данный момент времени  , где - количество людей в определенной должности Т- момент времени.

     На  данном этапе моделирование ранжирование класса по старшинству необходимо. Объем запасов могут меняться в любое время, но поведение всей системы опраксимируется по периоду  наибольшего числа.

      Потоки. Размер запасов измеряется из-за наличия  потоков направленных как в систему (принятие) так из системы (увольнение) , а так же за счет перемещения  внутри системы.

      Поток, направленный внутри системы- это количество людей перешедших за один период времени  из категории i и j :

      Потоком направленным за пределы системы (потоком  увольнения)- называется количество людей  уволившихся из данного класса во временной период

, а принятые 

      Соотношение между запасами и потоками в каком либо классе j на момент времени Т+1, будет выражать количество людей в категории j к моменту Т+1.

                      (1)

Выразим количество людей оставшихся в категории  j за период Т

                                     

Тогда (1) примет вид:

                    

(1)* Основное уравнение

(1)* соответствует  системе уравнений, которое позволяет  выявить основные ограничения,  в которых действует система.

Допущения относительно потоков.

      Для начала построим статистическую модель , проведя статистическое исследование данных по запасам и потокам и  получим модель. Рассмотрим потоки, характеризующие повышения должности. Они характеризуются некоторой  совокупностью факторов варьирующихся  от одного к другому виду. Иногда количество повышений прямо связано  с количеством образовавшихся вакансий.

      В других случаях повышения происходят по достижении уровня квалификации. Возьмем  за основу последнюю возможность, которая  выражается пропорциональной зависимостью вида:

Замечание: Здесь не учитывается статистические колебания и такие допущения, что уходит из системы на уровне отдельных лиц становится событием непредсказуемым.

      Реалистическая  модель должна включать в себя элемент  стохастичности. Допустим, что перемещения  происходят независимо и каждый индивидуум в классе I характеризуется величиной - вероятностью перехода его в класс j за период Т+1,  и величиной - это вероятность увольнения из фирмы. Тогда: (2)

При этом допущении число лиц переходящих  из класса i в класс j за год , случайная величина с биномиальным распределением при заданном начальном запасе . Ожидаемый поток при этом будет:

      В организации или фирме с фиксированным  общим числом сотрудников, общее  число вновь набранных будет  равняться числу ушедших.

 R(T+1)- вновь набранные за год.

(3)

Обычно  распределение лиц по классам  определяется потребностями или  политикой фирмы и поэтому  фиксирована.

      Следовательно, можно допустить, что доля общего числа нанимаемых зарезервирована для каждого класса i причем:

Допущения модели будут характеризоваться:

Матрицей  - это матрица вероятностей перехода сотрудников в другие классы или матрица управляющая перемещениями внутри системы.

Вектор  вероятности ухода  ) связанный с матрицей Р соотношения (2)

Вектор  распределения нанимаемых в классы

     4) Ограничением 

Основное  уравнение прогнозирования.

      Перейдем  к построению уравнения модели. Так  как запасы следующего года случайные  величины, то их значения не могут быть точно предсказаны в этих условиях, используются ожидаемые величины случайной  переменной.

      Найдем  математическое ожидание в обеих  частях уравнения (1)

(4)

 

     Тогда уравнение принимает вид 

Если  параметры модели известны, то запас  следующего года Т+1 может быть найден по запасу текущего года Т путем  перемножения матриц ,т.е. система штатного финансирования фирмы может быть спрогнозирована цепью Маркова для которой вектором вероятности состояния системы является вектор ожидаемого распределения сотрудников по классам , а матрицей вероятности перехода системы является матрица Q . Такая цепь Маркова является искомой моделью прогноза.

Анализ.

     Применяя  аппарат цепей Маркова по формуле  можно сделать прогноз ожидаемого числа сотрудников по каждой должности  на любое количество или вперед опираясь на штатное расписание в начале прогноза.

     Возможен  долгосрочный прогноз ожидания распределения  сотрудников для ситуации когда  система приходит в устойчивое положение - стационарное состояние цепи Маркова ; вектор стационарного состояния.

Матрица Q действительно является МВПС цепи Маркова , так как для нее справедливо основное уравнение МВПС:

 

Прогноз возможности сохранения структуры через  уравнения политикой  фирмы 

     С обнаружением роста численности  в более высоких классах с  известной скоростью появляется задача управления ситуацией с помощью  прогноза политики фирмы.

     Предположим, что дирекция желает удержать систему  на определенном уровне.

     Пусть та структура которую желательно сохранить (6)

В  математических терминах задача прогноза управления сводится к нахождению такой матрицы  Q при которой выполняется равенство (6), но Q- это функция от Р, , а эти не все поддаются управлению:

- Естественные  потери не находятся под непосредственным  контролем администратора, а увольнения  стараются избежать, т.е.  не самый удачный вариант для управления.

-  Перевод  в более высокий класс находится  под непосредственным контролем  администратора и вектор приема  так же является  непосредственным  управлению.

1) Для  начала прогноза сделаем допущения  которые часто соответствует  действительности. Допустим, что Р  и  вообще не могут быть изменены и все управление должно быть реализовано через политику найма (через вектор ), который может изменяться по желанию руководства при соблюдении условий ,

(7), так как  , то (6) принимает вид:

     Условие сохранения структуры при управлении. При этом ограничение (7) будет выполняться  если

     Продолжим прогноз предполагая, что руководству  необходимо сохранить без изменения  политику найма и увольнения, и  пытаться сохранить структуру, изменить политику перевода внутри системы , т.е. из класса в класс. 

Из  получаем:

     Таким образом, используя (9) определяется политика перевода сохраняющей структуру  и дается прогноз на будущее.

  3.2 Практическое применение модели Леонтьева

 

  Практическое  применение метода «затраты - выпуск»  достаточно широко. В США после  Второй мировой войны под руководством Леонтьева составлена матричная  таблица включающая 400 отраслей экономики  США. Результаты экономического анализа  были использованы для прогнозирования  занятости населения в послевоенный период. Модели Леонтьева позволили  смягчить топливный кризис 1970 года, продовольственный 1972-74 годов, экологический  конца 70-х начала 80-х годов.

  Леонтьев  экстраполировал методику на группу стран отдельных континентов  и в конечном итоге на мировое  хозяйство. Если Маркс делил экономику  на два сектора производство средств  производства и средств потребления, то Леонтьев увеличил количество отраслей до произвольной величины, для которой  можно собрать данные. Метод наполнил практическим содержанием теорию общего экономического равновесия. Он способствовал  усовершенствованию математического аппарата путем определения новых коэффициентов, пригодных для создания динамических моделей реальной экономики, обеспечил совершенствование системы национальных счетов.

  Первоначальным  моментом применения метода «затраты - выпуск» является изучение структуры, которая представляется в виде вектора  структурных коэффициентов. Его  содержание представляет количественные связи между затратами на производство и результатом работы каждого  конкретного сектора. Связи представляют собой статистические данные экономики  за конкретный период в материально-вещественном выражении. В качестве примера используем приведенный самим Леонтьевым упрощенный трехсекторный баланс, который состоит  из сельского хозяйства, промышленности и домашнего хозяйства. Всю продукцию  сельского хозяйства предлагается привести к зерну, промышленности к  ткани, а домашнее хозяйство человеко-годам  труда.  

     Таблица 2

 

     Оставляется по такому же принципу стоимостной  баланс в денежных единицах. Дополнительной строкой там имеется добавленная  стоимость. Она отражает заработную плату, амортизационные отчисления, налоги и прочие издержки, понесенные каждым предприятием в дополнение к  платежам за ресурсы, поступившие из других отраслей.