Решение оптимизационных задач средствами EXCEL

g   =300000 Y₁₊18000000 Y₂ -> mах

1 Y₁+120Y₂ £  83

1 Y₁+  80Y₂  £  89

1 Y₁+  50Y₂ £  95

1 Y₁+  40Y₂  £  98

 

2) для определения оптимального плана двойственной задачи воспользуемся соотношениями второй теоремы двойственности.  Если какое-либо ограничение исходной задачи выполняется как строгое неравенство, то соответствующая двойственная оценка равна нулю

( ).

0+100000+200000+0 = 300000

120´0+80´100000+50´200000+4´0  =  18000000    

Если какая-либо переменная исходной задачи входит в оптимальный план,  то соответствующее ограничение двойственной задачи выполняется как строгое равенство

).

В нашей задаче Х2=100000>0 и Х3=200000>0, поэтому второе и третье ограничения двойственной задачи обращаются в уравнения, решая которые найдем Y1и  Y2   .

   1 Y₁+  50Y₂ =  95       Y₁=    105 - средняя цена изделия

      1 Y₁+  80Y₂   =  89       Y₂   =  - 0.2 - двойственная оценка капитальных вложений.

 

105 =95 +50 ´0.2 = 105

105 =89+ 80´0.2 = 105

На втором и третьем филиалах выпускать новые изделия целесообразно так как  затраты на его освоение и выпуск не превышают цену изделия.

Проверим  выполнение первой теоремы двойственности.

g   =300000 Y₁+18000000 Y₂ = 300000 ´105₊18000000´(–0.2)  = 279 000 000

= 83X₁+89X₂+95X₃+98X₄ =83´0+89´100000+95´200000+98´0  = 279 000 000.

Полученные оптимальные планы  говорят о том, что в первом и четвертом филиалах размещать  заказы по выпуску новых изделий  невыгодно (Х1=0 и Х4=0),  так как  затраты на производство единицы изделия в этих филиалах больше цены изделия.

1 ´Y₁+  120´Y₂ =  83       Y₁=    105       105+  120´(-0.2) <  95     105< 95+24 = 119

1 ´Y₁+    40´Y₂   =  98        Y₂   =  - 0.2     105+    40´(-0.2)   <  89       105<98+8 = 106.

 

Задания к контрольной  работе

Номер Вашего варианта соответствует  последней цифре  зачетной книжки.

       ЗАДАЧА 1.

1. Решить графическим и симплексным методом задачу линейного программирования.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план, используя теоремы двойственности.

 

  Вариант 1

                 Max  f ( x ) = 3X₁ + 2X₂

                                           X₁ + 2X₂     ≤ 11

                                             2X₁  -   X₂   ≥  5

                                              X₁ + 3X₂   ≥ 14

                                      X₁ , X₂   ≥ 0

Вариант 2

            Max  f ( x ) = 3X1 + 2X2

                      X1 + 2X2     ≤ 12

                     2X1  -   X2   ≥  7

                       X1 + 3X2   ≥ 14

                       X1 , X2   ≥ 0

 

Вариант 3

Max  f ( x ) = 3X1 + 2X2

                   X1 + 2X2     ≥ 10

                 2X1  -   X2   ≤  18

                   X1 + 3X2   ≤ 13

                     X1 , X2   ≥ 0

Вариант 4

            Min  f ( x ) = 3X1 + 2X2

                       X1 + 2X2     ≥10

                      2X1  -   X2   ≥ 10

                        X1 + 3X2   ≤ 13

                         X1 , X2   ≥ 0

Вариант 5

Max  f ( x ) = 4х1+ 3х2 

  х1 + 2х2   £ 10

  х1 + 2х2  ³ 2

2х1 +  х2  £ 10

 х1 ³ 0,  х2 ³ 0

Вариант 6

           Min  f ( x ) = 3X1 + 2X2

            X1 + 2X2     ≥12

          2X1  -   X2   ≥ 12

             X1 + 3X2   ≤ 14

              X1 , X2   ≥ 0

Вариант 7

Max  f ( x )  = 3х1+ 5х2 

 х1 + х2   £ 5

3х1   + 2 х2  £ 8

х1 ³ 0,  х2 ³ 0

 

Вариант 8

         Min  f ( x ) = 3X1 + 2X2

         X1 + 2X2     ≤ 11

       2X1  -   X2   ≥ 5

          X1 + 3X2   ≥ 14

          X1 , X2   ≥ 0

 

Вариант 9

Max  f ( x )    =  3х1+ х2 

2х1 + 3х2 ³ 12

-х1 + х2 £ 2

2х1 - х2 £ 2

х1 ³ 0,  х2 ³ 0

 

Вариант 10

Max  f ( x )    =  3х1+ х2

х1 + х2 £ 5

0.5х1 + х2 ³ 3

х1 - х2 ³ 1

 

ЗАДАЧА 2.

Используя Поиск решения, решить задачу оптимального использования ресурсов на максимум общей стоимости. Ресурсы сырья, норма его расхода на единицу продукции и цена продукции заданы в соответствующей таблице.

В каждой задаче требуется:

1. Определить план выпуска продукции из условия максимизации его стоимости.
2. Определите ценность каждого ресурса (двойственные оценки) и его приоритет при решении задачи увеличения запаса ресурсов.
3. Определите суммарную стоимостную оценку ресурсов, используемых при производстве единицы каждого изделия. Выпуск какой продукции нерентабелен?
4. На сколько уменьшится стоимость выпускаемой продукции при принудительном выпуске единицы нерентабельной продукции?

         Кроме того, в каждом варианте  необходимо выполнить еще два  пункта задания.

Вариант 1

         Для изготовления четырех видов  продукции  используют  три   вида сырья. Запасы  сырья,  нормы  его  расхода и прибыль от реализации   каждого продукта приведены в таблице.

 

Тип	Нормы расхода сырья на одно изделие				Запасы
сырья	А	Б	В	Г	сырья
I	1	2	1	0	18
II	1	1	2	1	30
III	1	3	3	2	40
Цена изделия	12	7	18	10

5. Определить, как изменятся общая стоимость продукции и  план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и II вида на 4 и 3 единицы соответственно  и уменьшении на  3 единицы сырья III вида.
6. Определить целесообразность включения в план изделия «Д» ценой 10 ед., на изготовление, которого расходуется по две единицы каждого вида сырья  ед.

Вариант 2

Для изготовления четырех видов  продукции  используют  три  вида  сырья. Запасы  сырья,  нормы  его  расхода и прибыль от реализации  каждого продукта приведены в таблице.

 

Тип	Нормы расхода сырья на одно изделие				Запасы
сырья	А	Б	В	Г	сырья
I	1	0	2	1	180
II	0	1	3	2	210
III	4	2	0	4	800
Цена изделия	9	6	4	7

 

5. Определить, как изменятся общая стоимость продукции и план выпуска  при увеличении запасов сырья II и III вида на 120 и 160 ед. соответственно и одновременном уменьшении на 60 ед. запасов сырья I вида;
6. Определить целесообразность включения в план изделия «Д» ценой  12 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Вариант 3

Для изготовления трех видов продукции  используют  три  вида сырья. Запасы  сырья,  нормы  его  расхода и прибыль от реализации каждого продукта приведены в таблице.

Тип	Нормы расхода сырья на одно изделие			Запасы
Сырья	А	Б	В	сырья
I	4	2	1	180
II	3	1	3	210
III	1	2	5	244
Цена	10	14	12

 

5. Определить, как изменится общая прибыль продукции и план выпуска при увеличении запасов сырья I и III вида на 4 ед. каждого;
6. Определить целесообразность включения в план изделия «Г», на изготовление которого расходуется соответственно 1, 3 и 2 ед. каждого   вида сырья  ценой 13 ед. и изделия «Д» на изготовление    которого расходуется по две единицы каждого вида сырья ценой 12 ед.

Вариант 4

Для изготовления четырех видов  продукции  используют  три  вида  сырья. Запасы  сырья,  нормы  его  расхода и прибыль от реализации  каждого продукта приведены в таблице.

Тип	Нормы расхода сырья на одно изделие				Запасы
Сырья	А	Б	В	Г	сырья
I	2	1	3	2	200
II	1	2	4	8	160
III	2	4	1	1	170
Цена изделия	5	7	3	8

5.  Определить, как изменится общая стоимость продукции и план выпуска  при увеличении запасов сырья I и II вида на 8 и 10 ед. соответственно и одновременном уменьшении на 5 ед. запасов сырья III вида;
6. Определить целесообразность включения в план изделия  «Д» на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья и ожидается прибыль 10 ед.

  Вариант 5

На основании информации приведенной в таблице была решена задача оптимального использования ресурсов на максимум общей стоимости.

Ресурсы	Нормы затрат ресурсов на единицу продукции			Запасы
	I вид	II вид	III вид
Труд	1	4	3	200
Сырье	1	1	2	80
Оборудование	1	1	2	140
Цена	40	60	80

5. Определить, как изменится общая стоимость продукции и план выпуска  при увеличении запасов сырья на 18 единиц;.
6. Определить целесообразность включения в план изделия четвертого вида на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов  ценой 70 ед.

Вариант 6

На предприятии выпускается  три вида изделий, используется при  этом три вида сырья:

Сырье	Нормы затрат ресурсов на единицу продукции			Запасы
	А	Б	В	сырья
I	18	15	12	360
II	6	4	8	192
III	5	3	3	180
Цена	9	10	16