Производственная функция

6. — строго квазивогнута;    

7. — вогнута (выпукла вверх).     

 Это более жесткая формулировка  принципа убывающей отдачи последовательных  вложений, из которой, в частности,  следует свойство 4;    

8. — однородна степени , т.е.    

 

          При с увеличением масштабов производства его эффективность растет (растущая отдача или экономия от масштаба), при — падает (падающая отдача или потери от масштаба, при — не меняется. В одних случаях значение оценивается статистически, в других на него накладываются априорные ограничения.

Однако  не все производственные функции  и не при всех значениях входящих в них переменных обладают перечисленными свойствами. Иногда, хотя и редко, применяют производственные функции, для которых не выполняются первые три свойства, хотя они наиболее «естественны». Часто требуется, чтобы производственная функция обладала указанными свойствами не при всех, а лишь при «экономически осмысленных» или реально достижимых значениях переменных. Множество таких значений называют экономической областью.[2]    

Иногда  требуется, чтобы производственная функция, помимо указанных выше свойств, обладала и некоторыми другими. Так, довольно часто, например, используется так называемые асимптотические условия. Состоит оно в том, что значение функции равно нулю при нулевом значении любого из аргументов. .[4]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.4. Основные формы  представлении производственной функции.

В настоящее время математиками-аналитиками  предложено множество конкретных производственных функций.  
                         Чаще всего используются следующие: 
 
1) линейная  ; 
 
2) леонтьевская   
 
3) Кобба-Дугласа  ; 
 
4) с постоянной эластичностью замещения. В простейшем варианте эта функция имеет вид: 
 

Наиболее популярной и  в теоретических, и в прикладных исследованиях 
является функция Кобба-Дугласа: она сочетает простоту математической записи, очевидную экономическую интерпретацию и относительную легкость определения численных значений ее параметров. Особенность этой мультипликативно-степенной формы производственной функции состоит в том, что если один из сомножителей равен нулю, то результат обращается также в нуль.

    Это свойство соответствует тому факту, что в большинстве случаев для производства необходимы все факторы и при отсутствии одного из них выпуск продукции невозможен. Например, даже в самом автоматизированном производстве нельзя обойтись без соответствующего персонала. В самой общей форме (форма называется канонической) мультипликативно-степенная функция записывается в следующем виде: 
 
 или    
 
Коэффициент A 
учитывает размерность, которая, в свою очередь, зависит от выбранной единицы измерений затрат и выпуска. Сомножители от первого до n-го могут иметь различное содержание в зависимости от того, какие факторы оказывают влияние на общий результат (т. е. выпуск продукции).[5]

    Например, в производственной функции, которая применяется для изучения экономики в целом, в качестве результативного показателя можно принять объем конечного продукта, а в качестве сомножителей — основные факторы производства:    

• численность занятого населения ;    

• величину основного и оборотного капитала ;    

• площадь используемой земли ; [15]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.5 Методы определения параметров производственных функций

На практике применяются  три основных метода определения  параметров макроэкономических производственных функций:

1. на основе обработки рядов динамики (временных рядов);
2. на основе данных о структурных элементах агрегатов;
3. на основе данных о распределении национального дохода – распределительный метод.

При построении производственных функций необходимо избавляться      от явлений мультиколлинеарности параметров и автокорреляции – противном случае неизбежны грубые ошибки. 
Рассмотрим наиболее часто встречающиеся аналитические представления производственных функций: 
Линейная производственная функция 
 
, 
где   - оцениваемые параметры модели: здесь факторы производства замещаемы в любых пропорциях. 
 
Функция Кобба-Дугласа может быть выведена из гипотезы о том, что все эластичности выпуска по ресурсам постоянны, или о том, что эластичности замещения между всеми факторами равны единице. В общем виде функция Кобба-Дугласа имеет вид: 
 
 
где   - национальный доход; 
 
 - коэффициент размерности; 
 
 и   - соответственно объемы приложенного труда и капитала; 
 
 - коэффициенты эластичности производства по труду   и капиталу  . 
Функция - однородная степени  , следовательно, увеличение   и   в одинаковое число   раз увеличивает доход в   раз. Если сумма  равна единице – функция линейно-однородная, а, если больше или меньше единицы, имеет место эффект масштаба (соответственно положительный или отрицательный).[7] 
 
Функция Кобба-Дугласа основывается на предположении о понижающейся предельной отдаче ресурсов¹, постоянстве коэффициентов эластичности производств по затратам ресурсов. Предельный эффект затрат связан с дополнительным экономическим эффектом (доход, прибыль), вызываемый дополнительной затратой единицы одного ресурса при неизменной величине остальных, т.е. это предел соотношения прироста результата и затрат, которые его вызвали, т.е. частная производная результирующей функции по данному аргументу: 
 
, 
 
где   - предельный эффект использования ресурса  ; 
 
 - функция полезности (под функцией полезности можно понимать функцию эффективности); 
 
 объем использования ресурса  . 
 
Эластичность замещения ресурсов в любой точке кривой Куба-Дугласа равна единице. Хотя данную функцию нельзя отнести к      линейным,       значения параметров   можно оценить с помощью линейного       регрессионного анализа по методу наименьших квадратов. Для этого ее приводят  линейному виду, прологарифмировав обе части уравнения (обычно используются натуральные логарифмы): 
 
. 
 
Модификация функции, учитывающей технический прогресс, достигается введением дополнительного сомножителя  , где   - темп технического прогресса (константа). 
 
Из гипотезы о том, что эластичности замещения между всеми факторами постоянны, выводятся  -функция 
 
, 
 
в этом случае эластичность замещения ресурсов не зависит ни от  , ни от   и, следовательно, постоянна 
 
. 
 
Отсюда и происходит название функции. Функция CES, как и функция Кобба-Дугласа, исходит из допущения о постоянном убывании предельной нормы замещения используемых ресурсов. Между тем эластичность замещения капитала трудом и, наоборот, замены труда капиталом в функции Кобба-Дугласа, равная единице, здесь может принимать различные значения, не равные единице, хотя и является постоянной. Наконец, в отличие от функции Кобба-Дугласа логарифмирование функции CES не приводит ее к линейному виду, что вынуждает использовать для оценки параметров более сложные методы нелинейного регрессионного анализа.[15] 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.6  Производственная  функция Коба-Дуглас

         Как уже  говорилось производственная функция  - это зависимость между набором  факторов производства и максимально  возможным объемом продукта, производимым  с помощью данного набора факторов. Производственная функция всегда  конкретна, т.е. предназначается  для данной технологии. Новая  технология - новая производительная  функция. С помощью производственной  функции определяется минимальное  количество затрат, необходимых  для производства данного объема  продукта.[1]

Производственные функции, независимо от того, какой вид производства ими выражается, обладают следующими общими свойствами:

1) Увеличение объема производства за счет роста затрат только по одному ресурсу имеет предел (нельзя нанимать много рабочих в одно помещение - не у всех будут места).

2) Факторы производства могут быть взаимодополняемы (рабочие и инструменты) и взаимозаменяемы (автоматизация производства).

Наиболее простой является двухфакторная  модель производственной функции Кобба - Дугласа, с помощью которой раскрывается взаимосвязь труда (L) и капитала (К). Эти факторы взаимозаменяемы и взаимодополняемы. Еще в 1928 году американские ученые -- экономист П. Дуглас и математик Ч. Кобб -- создали макроэкономическую модель, позволяющую оценить вклад различных факторов производства в увеличении объема производства или национального дохода. Эта функция имеет следующий вид:

                                

  где      – объем выпущенной продукции;

– объем основного капитала (основные фонды);

– затраты труда (численность занятых);

– числовые параметры;  ,  .[12]

При построении производственной функции Кобба–Дугласа параметры   можно оценить с помощью линейного регрессионного анализа по методу наименьших квадратов (МНК):

1)   Производственную функцию Кобба–Дугласа (1) приводят к линейному виду путем логарифмирования

      

2)   При применении МНК цель заключается в минимизации суммы квадратичных отклонений (SSD) между наблюдаемыми величинами  , ( ;   – количество наблюдений) и соответствующими оценками  .

3)   Введем векторы

                                                      

                            

и матрицу        

Тогда критерий (3) можно записать в виде

                       

Дифференцируя SSD по вектору  Х и приравнивая производную  к нулю систему уравнений МНК

     или                 

4)   Для оценки критерия значимости выборочных коэффициентов регрессии оценивают дисперсию выборочных коэффициентов            

                                                      

где   – элементы главной диагонали матрицы   

– дисперсия погрешности измерений. 

Оценка   определяется по формуле 

                                                                                                  

Рассчитывается значение   – параметра                                                                                                                                       

 

Если полученное значение   больше, чем табличное   при  степеней свободы, тогда   существенно отлично от нуля при уровне  .

 

Доверительные границы для   определяются по формуле

                       

Тогда вероятность того, что величина   действительно находится в этих пределах, составит  .

5)   Для оценки адекватности регрессивной модели наблюдаемым величинам объема выпуска   рассчитывается коэффициент множественной детерминации:

,где                                                     

При малом объеме выборки  используется скорректированный коэффициент множественной детерминации     

                                                                                            

Чем меньше отличается   от единицы, тем более обосновано решение о том, что выборочные коэффициенты регрессии могут быть полезны для изучения производственного процесса.[12]

 

 

 

 

 

2. Практическое применение производственной функции.

      Фирма «ASUS» определяла перспективные уровни выпуска своей продукции — установок радиолокационного обнаружения — без специальной подготовки.. В настоящее время эта компания планирует открыть свой филиал по всей Европе, и поэтому ей необходимо проанализировать взаимосвязь между вводимыми факторами производства и уровнем выпускаемой продукции.

 

Год	Выпуск	Капитал	Труд
1993	114043	182113	8310
1994	120410	193749	8529
1995	129187	205192	8738
1996	134705	215130	8952
1997	139960	225021	9171
1998	150511	237026	9569
1999	157897	248897	9527
2000	165286	260661	9662
2001	178491	275466	10334
2002	199457	295378	10981
2003	212323	315715	11746
2004	226977	337642	11521
2005	241194	363599	11540
2006	260881	391847	12066
2007	277498	422382	12297
2008	296530	455049	12955
2009	306712	484677	13338
2010	329030	520553	13738
2011	354057	561531	15924
2012	374977	609825	14154

 

Преобразуя исходные данные в соответствии с линейной функцией путем

логарифмирования получим  следующие исходные данные:

Анализируем исходные данные с помощью линейного регрессионного анализа Microsoft Excel 2003, который заключается в подборе графика для набора наблюдений с помощью метода наименьших квадратов. Регрессия используется для анализа воздействия на отдельную зависимую переменную значений одной или более независимых переменных. В результате получаем следующие показатели:

Данные показатели определяются следующим образом.

R-квадрат характеризует  долю вариации зависимой переменной, обусловленной регрессией или изменчивостью объясняющих переменных.

                                                                           

    

где

     Q_R – сумма квадратов (SS), обусловленная регрессией;

     Q – общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней.

В нашем случае R-квадрат (0,99508) близок к 1, что говорит о  высоком качестве подгонки данной модели, то есть регрессия хорошо описывает зависимость между объясняющими и зависимой переменной.

Нормированный R-квадрат  учитывает количество объясняющих  переменных p:

                                                                           

    

    

где

     N – число наблюдений (20),

     P – число объясняющих переменных (2).

Число степеней свободы (df) определяется следующим образом:

для регрессии df=M–1=3–1=2,

для остатка df=N–M=20–3=17,

итоговый df=N–M=20–1=19,

где M – число оцениваемых параметров регрессии, N – число наблюдений.

Сумма квадратов отклонений определяется следующим образом.

Сумма квадратов, обусловленная  регрессией (RSS):

          ,         

где – условная (групповая) средняя переменной y

Остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов (ESS):

          .         

Общая сумма квадратов  отклонений зависимой переменной от средней (TSS):

          .         

Средние квадраты (MS) представляют собой несмещенные оценки дисперсий