Применение методов экономико-математического моделирования для обоснования плановых решений в АПК

Алгоритм  метода потенциалов

1. Строим таблицу для метода потенциалов (см. рис. 5.1).
2. Находим первое опорное решение, при этом число ненулевых х _ij (т.е. занятых клеток таблицы) должно быть равно (n+m-1). Если их больше, то допущена ошибка при расчете. Если их меньше, то имеем дело с вырожденным решением. В случае вырожденности к неотрицательным х _ij дополнительно выбираем несколько х _ij = 0, чтобы их количество стало равным (n+m-1), и при этом было удобно рассчитать потенциалы и .
3. Находим потенциалы   и из условия т.е. для заполненных клеток таблицы. Так как количество равно (n+m-1), а количество потенциалов α_i  и β_j равно (n+m), то α₁ полагаем равно нулю.
4. Для каждой свободной клетки, где , вычисляем .

Если среди чисел нет положительных, то получено оптимальное решение. Если имеются положительные , то переходим к новому опорному решению.

5. Новое опорное решение строим по следующему правилу. Среди положительных чисел выбираем максимальное. Для свободной клетки, которая соответствует максимальному положительному строим цикл пересчёта и производим сдвиг продукции по циклу пересчёта.
6. Полученное опорное решение проверяем на оптимальность, т.е. повторяем все действия с этапа 2.

Пункт потребления		1	2	…	n	Объемы производства
Пункт производства		b1	b2	…	bn
1	a1	C11	C12	…	C1n	a1
2	a2	C21	C22	…	C2n	a2
…	…	…	…	…	…	…
m	am	Cm1	Cm2	…	Cmn	am
Объёмы потребления		b1	b2	…	bn

 

Рис.5.1. Таблица метода потенциалов

 

Правила заполнения первой таблицы метода потенциалов

1. Проставляем номера  пунктов производства и пунктов  потребления.

2. Из условий задачи  в соответствующие клетки таблицы  переносим значения а_i (i=1,2,…,m),b_j  (j=1,2,..,n) и c_ij (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n), причём c_ij записываем в левом верхнем углу клетки.

3. В середину клеток, стоящих на пересечении пунктов  производства и пунктов потребления  записываем ненулевые значения  Х_ij первого опорного решения. Эти клетки будем называть занятыми, а остальные клетки свободными.

4. Рассчитываем значения  потенциалов α_i (i=1,2,…,m) и β_j (j=1,2,…,n), используя условие β_j- α _i=c_ij для заполненных клеток таблицы. Причём α₁ всегда полагаем равным 0.

5. Рассчитываем значение  α_ij и размещаем их в свободных клетках таблицы.

Цикл пересчёта – это ломаная линия, вершины которой расположены в занятых клетках таблицы, а звенья вдоль строк и столбцов, начинается ломаная в пустой клетке пересчёта, соответствующей максимальному положительному α_ij.

Сдвиг по циклу  пересчёта – это процесс перемещения грузов в пределах клеток, связанных циклом пересчёта, который осуществляется по следующим правилам:

- каждой из клеток, находящихся в вершинах цикла,  приписывается определенный знак "+" или "-", причем свободной  клетке приписывается знак "+", а всем остальным поочередно "-", "+" и т.д.;

- в свободную клетку  цикла переносим наименьшее из  чисел Х_ij, стоящих в минусовых клетках. И одновременно это же число прибавляем к значениям Х_ij, стоящим в плюсовых клетках, и вычитаем из Х_ij, стоящих в минусовых клетках цикла.

В результате этих действий мы получаем новый опорный план, для которого строим новую таблицу.

Методы  поиска первого опорного решения

1. Метод северо-западного угла. Распределять грузы начинаем с северо-западной клетки таблицы. Сначала удовлетворяем потребность 1-го потребителя за счёт продукции 1-го производителя. Если её будет недостаточно, тогда оставшуюся потребность удовлетворяем за счёт 2-го производителя и т.д.

Когда потребность 1-го потребителя  будет удовлетворена полностью, то начнём удовлетворять потребность второго потребителя за счёт той продукции, которая осталась у 1-го производителя. Если у него ничего не осталось, то за счёт оставшейся продукции у 2-го производителя и т.д.

2. Метод минимального элемента:

-  из всех С_ij выбираем самое маленькое;

- в эту клетку ставится требуемый j-ым потребителем обьем продукции, или только то количество, которое имеется у i-го производителя;

- выбирается следующее  наименьшее С_ij и в клетку i-ой строки и j-го столбца заносится обьем перевозимой продукции по тому же принципу;

- операцию повторяют  до тех пор, пока весь  груз  не будет распределён.

Если имеется несколько  С_ij с одинаковыми значениями, то последовательно заполняем клетки, соответствующие этим значениям.

Задача:

Потребители	1	2	3	4	Объём производства
Производители
1	4	3	2	7	46
2	1	1	6	4	34
3	3	5	9	4	40
Объём потребления	40	35	30	45

Для решения задачи строим таблицу, внеся дополнительного  производителя для уравновешивания  задачи, так как объем производства = 120, а объем потребления 150, далее заполняем таблицу отталкиваясь от наименьших затрат.

Потребители		1	2	3	4	Объем производства
Производители		B1	B2	B3	B4
1	A1	4	16            3	30           2	7	46
2	A2	15                  1	19           1	6	4	34
3	A3	25                  3	5	9	15        4	40
4	A4				30	30
Объем потребления		40	35	30	45

Количество заполненных  ячеек должно равняться n+m-1, т.е. 4+4-1=7. Далее необходимо заполнить пустые ячейки, если все они получатся отрицательными, значит мы имеем единственно правильное решене.

 

 

3. Применение экономико-математических методов для обоснования плановых и прогнозных решений в АПК.
1. Модель оптимального соотношения сельскохозяйственных культур.

Задача: совхоз занимается выращиванием картофеля ранних, средних и поздних сортов. Под запланированный урожай выделено 1000 га пашни, 6000 ц действующего вещества минеральных удобрений, 210 000 чел.-час. Трудовых ресурсов. Площадь под ранним картофелем должна составлять не менее 200 га. Требуется определить, на каком сорте картофеля выгодно специализироваться хозяйству, чтобы общая прибыль была максимальной.

Данные для задачи

Наименование показателя	Сорта картофеля
	Ранний	Средний	Поздний
Урожайность, ц/га	150	180	200
Внесение удобрений, ц  д.в./га	4	6	6
Трудовые ресурсы, чел.-ч/га	300	320	360
Себестоимость, руб./ц	8	6	5
Цена реализации, руб/ц	22,0	10,0	8,2

Решение:

Для начала записываем целевую  функцию

150*(22-8)*x₁+180*(10-6)*x₂+200*(8.2-5)*x₃=2100*x₁+720*x₂+640*x₃      max

Далее записываем ограничения:

1. По площади

x₁+x₂+x₃≤1000

x₁≥200

2. По минеральным удобрениям

4x₁+6x₂+6x₃≤6000

3. По затратам труда

300x₁+320x₂+360x₃≤210000

После того как мы установили все ограничения решаем задачу используя  программный комплекс Tora. После ввода данных получаем следующий результат:

 

Выгоднее всего хозяйству  заниматься только ранним картофелем, при данном варианте максимальная прибыль  достигнет размера 1 470 000 рублей. При отведении площади пашни под средний картофель прибыль с каждым гектаром, занятым им, будет уменьшаться на 1520 рублей. Каждый гектар, занятый поздним картофелем, приведет к уменьшению прибыли на 1880 рублей.

 

2. Моделирование грузоперевозок

Задача:

Распределить сельскохозяйственные работы по маркам тракторов таким  образом, чтобы общие затраты  были минимальными. Исходные данные приведены ниже в таблице.

Вид работ	Себестоимость 1 га работ,  руб.				Объем работ, усл. га
	C-80	ДТ 54	«Беларусь»	КПД-35
Культивация	0,80	1,00	0,90	0,85	1500
Пахота	2,40	3,00	3,40	3,20	2000
Сев	-	-	1,00	0,95	800
Боронование	0,20	0,27	0,25	0,27	700
Сезонная норма работ, усл. га	1000	1600	1550	600

Как видно из первоначальных данных общий объем работ равен 5000 усл. га, а по норме только 4750. Поэтому  для решения данной задачи вводим дополнительный трактор, который будет  выполнять оставшийся объем работ равный 250 усл. га.

После этого составляем целевую функцию, но дополнительно  введенные переменные в ней не учитываем.

0,8x₁₁+x₁₂+0,9x₁₃+0,85х₁₄+2,4х₂₁+3х₂₂+3,4х₂₃+3,2х₂₄+х₃₃+0,95х₃₄+ +0,2х₄₁+0,27х₄₂+0,25х₄₃+0,27х₄₄              min

Теперь записываем ограничения:

х11+х12+х13х+х14+х15=1500

х21+х22+х23+х24+х25=2000

х33+х34+х35=800

х41+х42+х43+х44+х45=700