Применение методов экономико-математического моделирования для обоснования плановых решений в АПК

По наличию обратных связей системы подразделяются на открытые, закрытые, комбинированные.

Особенности экономических  систем.

Экономическая система является частью более сложной системы – социально-экономической, и представляет собой вероятностную, динамическую, адаптивную систему, охватывающую процессы производства, обмена, распределения и потребления материальных благ, а также предоставления различных сервисных услуг. Как правило, входные параметры экономических систем – это материальные вещественные потоки производственных и природных ресурсов, то есть Х. Входные параметры – это материальные вещественные потоки, оборудование, военная продукция, продукция накопления, возмещения и экспорта, то есть У.

Экономические системы  – многоступенчатые, многоуровневые системы, и любая неопределенность, случайность во входных параметрах в нижних уровнях приводит к неопределенностям  и случайностям в выходных параметрах подсистем более высокого порядка и системы в целом.

Структурная схема простой  экономической системы

ЭММ оптимизации обычной  экономической системы

где p_i – прибыль от реализации единицы продукции;

x_i - объем выпуска продукции;

a_i - расход сырья на единицу продукции;

B - общий запас сырья;

W - область допустимых  ограничений;

 

 

1.3 Балансовые  модели и их математическая  запись 

Балансовые модели предназначены  для анализа и планирования производства и распределения продукции на различных уровнях — от отдельного предприятия до народного хозяйства в целом. Если вспомнить историю народного хозяйства как Советского Союза и России, так и других развитых стран, то можно наблюдать, что в экономики многих государств, в разное время случались экономические кризисы разных крайностей от кризисов перепроизводства (США, середина ХХ века), до дефицита (Россия, конец ХХ века). Все эти экономические кризисы связаны с нарушением баланса между производством и потреблением. Из этих фактов видно, что баланс между произведенной продукцией и потреблением является важными критериями как для макроэкономики, так и для микроэкономики.  
     Экономико-математические модели баланса пытались выстроить многие экономисты и математики с самого начала возникновения проблемы, однако, наиболее полную балансовую модель удалось построить в 1936 г. американским экономистом В. Леонтьевым (который после революции эмигрировал в США и за свою модель получил Нобелевскую премию в области экономики). Эта модель позволяла рассчитать баланс между несколькими взаимодействующими отраслями, хотя ее можно легко обобщить и для организаций микроэкономики, например, для вычисления баланса между несколькими взаимодействующими предприятиями или между подразделениями одного предприятия (например, цехами одного завода). 
     Цель балансового анализа — ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из п отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? При этом каждая отрасль выступает, с одной стороны, как производитель некоторой продукции; а с другой — как потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями.    

 Предположим, что  рассматривается п отраслей промышленно сти, каждая из которых производит свою продукцию. Пусть общий объем произведенной продукции i -й отрасли равен . Полная стоимость продукции произведенной i-й отраслью будем называть валовым продуктом этой отрасли. Теперь рассмотрим, на что тратится продукция, производимая отраслью. Часть про дукции идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и потребление другими отраслями, связанными с этой отраслью. Количество продукции i-й отрасли, предназначенной на для целей конечного потребления (вне сферы материального производства) личного и общественного j-й отраслью обозначим . Оставшаяся часть предназначена для реализацию во внешнюю сферу. Эта часть называется конечным продуктом. Пусть i-ая отрасль производит  конечного продукта. 
     Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, год). Так, как валовой объем продукции любой i-й отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями, и конечного продукта, то уравнение баланса между производством и потреблением будет иметь вид:    

  ,     (i=1,2,…,n)                               (1) 
     Уравнения (1) называются соотношениями баланса.  
     Можно также рассчитать такой показатель, как чистую продукцию , которая равна разности между валовым продуктом и суммарным потреблением данной отраслью:  
     .                                                 (2) 
     Все, ранее рассмотренные показатели, можно записать в основную балансовую таблицу:    

   
     В результате, основная балансовая таблица, содержит четыре матрицы: матрица межотраслевых производственных связей

  ,

 

 

 

 

матрицу валовой продукции

  ,

 матрицу конечной  продукции

   

и матрицу чистой продукции

  . 
     Одной из задач балансового анализа является определение валового продукта , если известно распределение конечного . Для этого введем коэффициенты прямых затрат:     

  .                                                 (3) 
     Они получаются в результате деления всех элементов каждого столбца матрицы  на соответствующий элемент матрицы межотраслевых производственных связей Х. Коэффициенты прямых затрат имеют смысл количества потребления продукции j-й отрасли, необходимой для производства единицы продукции i-й отраслью. Из выражения (3) можно получить: . Подставив последнее выражение в соотношение баланса (1), получим:  
     .                                       (4) 
     Если обозначить матрицу коэффициентов прямых затрат как , то соотношение баланса (4) в матричном виде можно записать в виде:    

  .                                         (5) 
     Из последнего выражения можно найти значение конечного продукта при известном значении валового:     

  ,                               (6) 
     где  - единичная матрица того же размера, что и А. 

 

2. Методы решения задач линейного программирования
1. Графический метод

 

Графический метод решения  задачи линейного программирования основан на геометрической интерпретации задачи линейного программирования и применяется в основном при решении задач двумерного пространства и только некоторых задач трёхмерного пространства, так как довольно трудно построить многогранник решений, который образуется в результате пересечения полупространств. Задачу пространства размерности больше трёх изобразить графически вообще невозможно.

Описание метода

Пусть задача линейного программирования задана в двумерном пространстве, то есть ограничения содержат две переменные.

Найти минимальное значение функции

при ограничениях вида

и

 
Допустим, что система (2) при условии (3) совместна. Каждое из неравенств из систем (2) и (3) определяет полуплоскость с граничными прямыми: .

Линейная функция (1) при фиксированных значениях является уравнением прямой линии: .

Пример графического решения задачи линейного программирования с 6 условиями.

Построим многоугольник решений системы ограничений (2) и график линейной функции (1) при . Тогда поставленной задаче линейного программирования можно дать следующую интерпретацию:

Найти точку многоугольника решений, в которой прямая опорная и функция при этом достигает минимума.

Значения  уменьшаются в направлении вектора , поэтому прямую передвигаем параллельно самой себе в направлении вектора .

Если многоугольник решений ограничен (см. рисунок), то прямая дважды становится опорной по отношению к многоугольнику решений (в точках и ), причём минимальное значение принимает в точке . Координаты точки находим, решая систему уравнений прямых и .

Если же многоугольник  решений представляет собой неограниченную многоугольную область, то возможны два случая.

Случай 1. Прямая , передвигаясь в направлении вектора или противоположно ему, постоянно пересекает многоугольник решений и ни в какой точке не является опорной к нему. В этом случае линейная функция не ограничена на многоугольнике решений как сверху, так и снизу.

Случай 2. Прямая, передвигаясь, всё же становится опорной относительно многоугольника решений. Тогда в зависимости от вида области линейная функция может быть ограниченной сверху и неограниченной снизу, ограниченной снизу и неограниченной сверху, либо ограниченной как снизу, так и сверху.

Задача 2.8

f(x) =  x₁-x₂→ max (min)

Решение: чтобы построить первые 3 ограничения на плоскости, сначала построим прямые, объединяющие эти полуплоскости. Уравнения отделяющих прямых получаем из соответствующих прямых, заменяя знак неравенства на знак «=». Отделяющие прямые будем строить по двум точкам, которые являются точками пересечения этих прямых с осями координат (т.е. одна из переменных будет равна 0). Отделяющая прямая разбивает плоскость на 2 полуплоскости. Чтобы выбрать полуплоскость, соответствующую неравенству, необходимо проверить, принадлежит ли точка координат полуплоскости, подставив координаты (0,0) в неравенство. Если неравенство будет справедливым, то штрихуем полуплоскость с началом координат, в противном случае – без начала координат. Так как неравенства записаны в системе, то необходимо найти пересечение полуплоскостей и учесть условия неотрицательности, т.е. выбрать ту часть, которая лежит в первой четверти плоскости. Для построения данной модели я использую программный комплекс Tora.

После ввода данных получаем следующий график:

 

 

Как видно из графика, мы получили некую область отмеченную точками, где наша задача имеет множество решений. Максимально допустимое решение достигается в точке с координатами х1=4, х2=3

2. построение двойственных задач

Прежде чем строить  двойственную задачу, предварительно исходную задачу линейного программирования нужно привести к виду, где все ограничения неравенства имеют один тип, а целевая функция - направление, противоположное типу ограничений неравенств.

Правила построения двойственной задачи.

1. Целевая функция в двойственной задаче меняет своё направление на противоположное.
2. Количество двойственных переменных равно количеству основных ограничений исходной задачи.
3. Двойственная переменная, соответствующая ограничению равенству, является неограниченной по знаку, а  соответствующая ограничению неравенству – неотрицательной.
4. Вектор правых частей ограничений исходной задачи является вектором коэффициентов целевой функции в двойственной задаче.
5. Вектор коэффициентов целевой функции исходной задачи является вектором правых частей ограничений в двойственной задаче.
6. Матрица коэффициентов ограничений двойственной задачи – это транспонированная матрица коэффициентов исходной задачи, т.е. строка коэффициентов исходной задачи, является столбцом коэффициентов двойственной задачи.
7. Неотрицательным переменным исходной задачи соответствуют ограничения неравенства в двойственной задаче,  причем тип неравенства меняется на противоположный, по сравнению с исходной задачей. А неограниченной переменной исходной задачи соответствует ограничение равенство в двойственной задаче.

Соотношение двойственности является симметричным, т.е. двойственная  задача по отношению к двойственной совпадает с исходной.

Если исходная задача  линейного программирования записана в стандартном виде:    (с, х)→ max

         (4.1)

то соответствующая  ей двойственная задача записывается следующим образом: 

  (b, y)→min

         (4.2)

Задача:

x₁ – 2x₂ – 4x₃ + 2х₄ + 3х₅→ max

Решение:      для начала необходимо привести задачу к виду, установленному след правилом: (c,x)      max    Ax≤b; x≥0

 Для этого второе и третье ограничения умножаем на «-1», тем самым меняя знак неравенства. Далее, для удобства, строим матрицу А

 

 

 

                                   2 3  -1  4  1

С(1,-2,-4,2,3)    А=   0  2  -3 -1  0

                                  1 -4  0  1  0

 

 

Далее строим транспонированную  А^т матрицу двойственной задачи

       

               2  0  1

                3  2 -4                      18

А^т =        -1 -3  0               b=  -24

                4  -1  1                      -12

                1  0  0

Записываем уравнение  двойственной задачи

18y₁-24y₂-12y₃       min

Записываем систему  ограничений

2y₁ + y₃≥1

3y₁ + 2y₂ - 4y₃≥-2

-y₁ - 3y₂≥-4

4y₁ -y_{2 +} y₃≥2

y₁≥3

 

 

3. Решение транспортной задачи методом потенциалов

 

Рассмотрим следующую  транспортную задачу

    (5.1)

Если объемы производства продукции равны объёмам её потребления, т.е.         (5.2)

то имеем транспортную задачу закрытого типа, в противном случае открытого типа. Перед тем как решать задачу открытого типа её преобразуют к закрытому типу.

Способы преобразования транспортной задачи открытого  типа к закрытому

1. Если то вводят фиктивного (n+1)-го потребителя, у которого потребность в продукции составит , а затраты на перевозку продукции
2. Если то вводят фиктивного (m+1)-го производителя, объём производимой продукции которого равен а затраты на транспортировку продукции