Первичный эконометрический анализ. Основные свойства выборки

Министерство образования  и науки РФ

Новосибирский государственный  технический университет

 

Кафедра теории рынка

 

 

 

 

 

 

Задание по эконометрике №1

Первичный эконометрический анализ.

Основные свойства выборки.

Вариант 26

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнили:

Вахрушева Н., Гордиенко А.

Группа: ФБ-72

Проверил:

Щеколдин В.Ю.

 

 

 

 

Новосибирск

2009

Цель: закрепить знания по теории вероятности и математической статистике, касающиеся первичной обработки экспериментальных данных.

Ситуация: “Робинзон на охоте”. Каждый раз, отправляясь охотиться на уток, Робинзон берёт с собой флягу пива собственного приготовления, так как в условиях субтропиков ему постоянно хочется пить. При этом он отмечает, среднюю температуру в день охоты (в градусах Цельсия, Х₃), количество убитых уток (в штуках, Х₂) и сколько при этом было выпито пива (в процентах от объёма фляги, Х₁).

 

Исходные данные:

N	X1	X2	X3
1	73	3	36
2	82	3	38
3	19	7	28
4	80	4	34
5	91	2	36
6	16	8	28
7	2	9	29
8	6	8	29
9	23	6	30
10	25	6	31
11	24	9	30
12	45	6	34
13	16	7	30
14	0	10	27
15	22	6	28
16	51	4	33
17	82	2	34
18	63	6	33
19	9	7	30
20	29	8	31
21	82	4	34
22	9	9	29
23	91	3	37
24	35	5	29
25	84	3	38

 

Порядок выполнения задания:

1. По имеющимся результатам наблюдений для каждого показателя определить основные статистические характеристики (среднее, смещённую и несмещённую дисперсии, коэффициент вариации, центральные и начальные моменты до четвёртого порядка включительно, коэффициенты асимметрии и эксцесса), сделать предварительные выводы о свойствах выборки.
2. Определить, присутствуют ли в выборке аномальные наблюдения. В случае обнаружения указать их номера и значения.
3. Провести разбиение выборки на классы, построить кумулятивную линию эмпирического распределения, гистограмму и полигон частот выборки.
4. Сформулировать и проверить гипотезу о нормальном распределении выборочных данных на основе критериев коэффициентов асимметрии и эксцесса и хи-квадрат Пирсона.
5. По результатам проведенного первичного эконометрического анализа сделать выводы и предложить рекомендации Робинзону.

 

1. Среднее значение наблюдаемого признака можно определить по формуле:

  .

=42,36; =5,8; =31,84.

Среднее значение для Х₁ говорит о том, что в среднем Робинзон выпивает 42,36% пива от объема фляги, значит, для того чтобы Робинзон не носил лишний груз на охоту, ему следует брать флягу меньших размеров, либо наполнять флягу пивом не полностью. Среднее значение для Х₂ говорит о том, что в среднем в день он убивает 5 уток. А среднее значение температуры (Х₃) колеблется около .

Рассчитаем отклонение i-ого наблюдения d_i от среднего значения по формуле:

, .

d1	d2	d3
30,64	-2,8	4,16
39,64	-2,8	6,16
-23,36	1,2	-3,84
37,64	-1,8	2,16
48,64	-3,8	4,16
-26,36	2,2	-3,84
-40,36	3,2	-2,84
-36,36	2,2	-2,84
-19,36	0,2	-1,84
-17,36	0,2	-0,84
-18,36	3,2	-1,84
2,64	0,2	2,16
-26,36	1,2	-1,84
-42,36	4,2	-4,84
-20,36	0,2	-3,84
8,64	-1,8	1,16
39,64	-3,8	2,16
20,64	0,2	1,16
-33,36	1,2	-1,84
-13,36	2,2	-0,84
39,64	-1,8	2,16
-33,36	3,2	-2,84
48,64	-2,8	5,16
-7,36	-0,8	-2,84
41,64	-2,8	6,16

 

Смещённую дисперсию можно определить по формуле:

(Х₁)= 984,3904; (Х₂)= 5,52; (Х₃)= 10,9344.

Несмещённая оценка для дисперсии:

(Х₁)= 1025,407; (Х₂)= 5,75; (Х₃)= 11,39.

Выборочное значение коэффициента вариации υ – мера относительной  изменчивости наблюдаемой случайной  величины. Коэффициент вариации может  быть вычислен в процентах:

, где

- выборочное среднеквадратическое  отклонение.

(Х₁)= 32,02197; (Х₂)= 2,397916; (Х₃)= 3,374907.

υ= 75,6%, υ= 41,3%, υ= 10,6%.

Коэффициент вариации для показателя Х₁ достаточно велик, значит, его трудно прогнозировать. Значение коэффициента вариации для показателя Х₂ большое, но в отличие от показателя Х₁ его легче прогнозировать. Мы видим, что коэффициент вариации для показателя Х₃ меньше значений коэффициентов вариации для показателей Х_1, Х_2. Значит, температура является достаточно стабильной и ее можно прогнозировать.

Рассчитаем центральные  и начальные моменты до четвертого порядка включительно.

Формула для центральных моментов:

	Х1	Х2	Х3
	0	1,42*10-16	0
	984,3904	5,52	10,9344
	9496,212	-0,24	15,65261
	1463872	55,8816	231,4575

 

Начальные моменты могут  быть вычислены по формуле:

	Х1	Х2	Х3
	42,36	5,8	31,84
	2778,76	39,16	1024,72
	210602	290,92	33339,04
	16890834	2296,12	1096497

 

Коэффициент асимметрии определяется по формуле:

Для показателя Х₁ коэффициент асимметрии равен 0,307, он положителен, значит плотность распределения сдвигается влево, а объем выпитого пива больше, чем вероятный. Для показателя X₃ коэффициент асимметрии равен 0,432, он так же положителен, следовательно, средняя температура больше, чем вероятная. Для показателя X₂ коэффициент асимметрии равен -0,018, отрицателен, значит, плотность распределения сдвигается вправо, следовательно, среднее количество убитых уток меньше, чем наиболее вероятное.

Коэффициент эксцесса равен:

Так как коэффициент эксцесса для  всех показателей отрицательный, то плотность распределения приближается к равномерному распределению. Следовательно, достаточно сложно прогнозировать значение температуры, сколько выпито пива и убито уток. Самым сложным является прогнозирование количество выпитого пива, так как значение коэффициента эксцесса самое большое по модулю. Что касается температуры, то ее легче прогнозировать относительно количества убитых уток.

 

2. Для  выделения аномального значения в выборке вычислим статистику:

, где

max , .

Аномальных наблюдений нет.

; ; .

(Х₁)=1,52; (Х₂)=1,75; (Х₃)=1,83.

Рассчитаем критические  значения:

, где

t(α,N-2) – критическое значение из таблицы квантилей распределения Стьюдента.

.

1,94; 3,03.

(Х₁)=1,52; (Х₂)=1,75; (Х₃)=1,83 попадают в первую группу (1,52<1,94<3,03 и 1,75<1,94<3,03 и 1,83<1,94<3,03), значит наблюдения нельзя считать аномальными.

 

3. Определяем число классов по правилу Штюргеса:

.

К=5.

Каждому классу соответствует интервал выборочных значений, ширина которого (одинаковая для всех интервалов) определяется следующим образом:

 где

- размах варьированного фактора x.

Границы интервалов определяются соотношением

, где

i – номер интервала, i = 1,…,K.

В последний интервал включаются значения, равные .

Ниже представлены графики плотности  нормального распределения (а) и функции распределения (б).

 

 

 

 

 

 

 

 

Выборка №1.

Размах  .

Длина интервалов: b = 91/5 = 18,2

Δ₁= [0; 18,2); Δ₂= [18,2;36,4); Δ₃= [36,4;54,6); Δ₄= [54,6;72,8); Δ₅= [72,8;91].

 

Границы интервала	Наблюдаемая частота Bi	Bi/N
[0; 18,2)	7	0,28	7
[18,2;36,4)	7	0,28	14
[36,4;54,6)	2	0,08	16
[54,6;72,8)	1	0,04	17
[72,8;91]	8	0,32	25

 

 

 

Кумулятивная линия эмпирического  распределения

Анализируя форму кумулятивной линии, можно сказать, что распределение  не является нормальным: линия не похожа на графическое изображение нормального распределения.

 

Гистограмма

 

 

 

 

 

 

Полигон частот выборки

Сравнивая вид полученной кривой с  графиком плотности нормального  распределения, можно сказать, что  количество выпитого пива не является выборкой из нормального распределения.

 

Выборка №2.

Размах  .

Длина интервалов: b = 8/5 = 1,6

Δ₁= [2; 3,6); Δ₂= [3,6;5,2); Δ₃= [5,2;6,8); Δ₄= [6,8;8,4); Δ₅= [8,4;10].

 

Границы интервала	Наблюдаемая частота Bi	Bi/N
[2; 3,6)	6	0,24	6
[3,6;5,2)	4	0,16	10
[5,2;6,8)	5	0,2	15
[6,8;8,4)	6	0,24	21
[8,4;10]	4	0,16	25