Парная регрессия и корреляция

Парная регрессия и корреляция

Таблица 1

 

Район	Потребительские расходы в расчете на душу населения, тыс. руб., у	Средняя заработная плата и выплаты социального характера, тыс. руб., х
Волго-Вятский
Респ. Марий Эл	302	554
Респ. Мордовия	360	560
Чувашская Респ.	310	545
Кировская обл.	415	672
Нижегородская обл.	452	796
Центрально-Черноземный
Белгородская обл.	502	777
Воронежская обл.	355	632
Курская обл.	416	688
Липецкая обл.	501	833
Тамбовская обл.	403	577
Поволжский
Респ. Калмыкия	208	584
Респ. Татарстан	462	949
Астраханская обл.	368	888
Волгоградская обл.	399	831
Пензенская обл.	342	562
Саратовская обл.	354	665
Ульяновская обл.	558	705

Задание:

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.
2. Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной парной регрессии.
3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
5. Оцените качество уравнений с помощью средней ошибки аппроксимации.
6. Оцените статическую надежность результатов регрессионного моделирования с помощью F-критерии Фишера. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4,5 и данном пункте, выберите лучше уравнение регрессии и дайте его обоснование.
7. Оцените полученные результаты; вывод оформите в аналитической записке.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

 

1. Построим поле корреляции:

В данном случае можно сформулировать гипотезу о наличии связи между расходами и заработной платы, носящей, скорее всего гиперболический характер.

 

2. Рассчитайте параметры уравнение линейной и степенной парной регрессии.

 

а) Линейное уравнение парной регрессии имеет вид:

a, b — эмпирические коэффициенты регрессии, подлежащие определению.

При этом:

Расчёты произведём в таблице (см. табл. 2).

Таблица №2

	у	х	ух	х2
	302	554	167308	306916
	360	560	201600	313600
	310	545	168950	297025
	415	672	278880	451584
	452	796	359792	633616
	502	777	390054	603729
	355	632	224360	399424
	416	688	286208	473344
	501	833	417333	693889
	403	577	232531	332929
	208	584	121472	341056
	462	949	438438	900601
	368	888	326784	788544
	399	831	331569	690561
	342	562	192204	315844
	354	665	235410	442225
	558	705	393390	497025
ср.знач	394,5294	695,1765	280369,6	498936

 

 

 

 

б) Степенное уравнение парной регрессии имеет вид:

Прологарифмируем данное уравнение, чтобы привести его к линейному виду:

Приведём данное уравнение к линейному виду:

где Y = ;

C = ;

X = lg x

Расчёт коэффициентов b и C произведём в таблице (см. табл. 3). Используем формулы:

 

Таблица №3

	у	х	Y=lgy	X=lgx	XY	X2
	302	554	2,48	2,74	6,80	7,53
	360	560	2,56	2,75	7,03	7,55
	310	545	2,49	2,74	6,82	7,49
	415	672	2,62	2,83	7,40	7,99
	452	796	2,66	2,90	7,70	8,42
	502	777	2,70	2,89	7,81	8,35
	355	632	2,55	2,80	7,14	7,84
	416	688	2,62	2,84	7,43	8,05
	501	833	2,70	2,92	7,89	8,53
	403	577	2,61	2,76	7,19	7,62
	208	584	2,32	2,77	6,41	7,65
	462	949	2,66	2,98	7,93	8,86
	368	888	2,57	2,95	7,57	8,69
	399	831	2,60	2,92	7,59	8,52
	342	562	2,53	2,75	6,97	7,56
	354	665	2,55	2,82	7,20	7,97
	558	705	2,75	2,85	7,82	8,11
ср.знач	394,5294	695,1765	2,59	2,84	7,33	8,04

 

Получаем:

 

а = 10с = 102,59 = 389,04

 

Тогда степенное уравнение парной регрессии получит вид:

у=389,04х-0.86

 

Задание 3. Оценить тесноту связей с помощью показателей корреляции и детерминации.

Линейная модель

            Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции, который определяется по формуле:

где:

Расчёты произведены в таблице 6.

Таблица 6 – Расчёт коэффициента корреляции для линейной связи

	у	х	y2	x2
	302	554	91204	306916
	360	560	129600	313600
	310	545	96100	297025
	415	672	172225	451584
	452	796	204304	633616
	502	777	252004	603729
	355	632	126025	399424
	416	688	173056	473344
	501	833	251001	693889
	403	577	162409	332929
	208	584	43264	341056
	462	949	213444	900601
	368	888	135424	788544
	399	831	159201	690561
	342	562	116964	315844
	354	665	125316	442225
	558	705	311364	497025
ср.знач	394,5294	695,1765	162523,82	498936,00

 

 

 

 

Определённое значение коэффициента корреляции по линейной связи

(rxy=-0,9) свидетельствует о том, что связь очень сильная. Сильная связь имеет место, если коэффициент корреляции приближается к 1 или -1.

Коэффициент детерминации равен: rxy2=-0,92=0,81

Это означает, что 81% вариации результативного признака (Средняя заработная плата и выплаты социального характера) объясняется вариацией фактора x – Прожиточный минимум в среднем на душу населения.

Степенная модель

Тесноту нелинейной связи оценит индекс корреляции:

где   - величина ошибки, то есть отклонение фактических значений зависимой переменной от рассчитанных по уравнению регрессии.

Индекс корреляции есть неотрицательная величина, не превосходящая единицу:

Связь тем сильнее, чем ближе индекс корреляции к единице.

Необходимые расчёты представлены в таблице 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В данном случае можно сформулировать гипотезу о наличии связи между расходами и заработной платы, носящей, скорее всего гиперболический характер.

Построить линейную модель.

Определим линейный коэффициент парной корреляции по следующей формуле, используя данные таблицы.

 

 

Расчеты в таблице №2

 

 

	y	x	Y	X
	302	554	-86,6	-141,2
	360	560	-28,6	-135,2
	310	545	-78,6	-150,2
	415	672	26,4	-23,2
	452	796	63,4	100,8
	502	777	113,4	81,8
	355	632	-33,6	-63,2
	416	688	27,4	-7,2
	501	833	112,4	137,8
	403	577	14,4	-118,2
	208	584	-180,6	-111,2
	462	949	73,4	253,8
	368	888	-20,6	192,8
	399	831	10,4	135,8
	342	562	-46,6	-133,2
	254	665	-134,6	-30,2
	558	705	169,4	9,8
Cр.знач	388,6471	695,1765