Общая постановка задачи линейного программирования (ЗЛП)

2. Коэффициенты при переменных  в целевой функции одной задачи  являются свободными членами  системы ограничений другой задачи.

3. В исходной ЗЛП все функциональные ограничения - неравенства вида “≤”, а в задаче, двойственной ей, - неравенства вида “≥”.

4. Коэффициенты при переменных  в системах ограничений взаимно  двойственных задач описываются  матрицами, транспонированными относительно  друг друга.

5. Число неравенств в системе  ограничений одной задачи совпадает  с числом переменных в другой.

6. Условие неотрицательности переменных сохраняется в обеих задачах.

Связь между оптимальными планами взаимно  двойственных задач устанавливают  теоремы двойственности.

Теорема 1. Если одна из двойственных задач имеет конечный оптимум, то другая также имеет конечный оптимум, причем экстремальные значения целевых функций совпадают:

.

(2.6)

Если целевая  функция одной из двойственных задач  не ограничена, то условия другой задачи противоречивы.

 

Теорема 2 (о дополняющей нежесткости). Для того чтобы план   и план   являлись оптимальными решениями, соответственно, задач (2.5) и (2.6) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие соотношения:

	(2.7)

 

Таким образом, если компонент оптимального плана   больше нуля, то при подстановке в соответствующее ограничение двойственной задачи оптимального плана   это ограничение обращается в верное равенство, и наоборот.

Теорема об оценках. Значения переменных   в оптимальном решении двойственной задачи представляют собой оценки влияния свободных членов b_i в системе ограничений прямой задачи на величину целевой функции  :

(2.8)

Компоненты  оптимального решения двойственной задачи   принято называть двойственными оценками. Часто употребляется также термин «объективно обусловленные оценки».

На  свойствах двойственных оценок базируется экономико-математический анализ распределения  ресурсов. В пределах устойчивости двойственных оценок имеют место  свойства, рассмотренные ниже.

Перейдем  к рассмотрению свойств двойственных оценок.

Свойство 1. Оценки как мера дефицитности ресурсов. Двойственные оценки отражают сравнительную дефицитность факторов производства. Чем выше величина оценки  , тем выше дефицитность i-го ресурса. Факторы, получившие нулевые оценки, не являются дефицитными и не ограничивают производство.

В нашем примере нулевую оценку получил третий ресурс (  = 0), поэтому он не является дефицитным, т.е., с точки зрения задачи, фонд рабочего времени на участке С не ограничивает производство. Напротив, первый (участок А) и второй (участок В) ресурсы являются дефицитными, причем ограничивают производство в одинаковой степени (  =   = 1/3).

Последнее утверждение легко подтвердить, подставив   и   в ограничения исходной задачи:

4ּ24 + 6ּ4 = 120,  2ּ24 + 6ּ4 = 72,  4 < 10.

Откуда  видно, что при реализации оптимального плана фонд рабочего времени участка С, действительно, расходуется не полностью.

 

Свойство 2. Оценки как мера влияния ограничений на значение целевой функции. Величина двойственной оценки какого-либо ресурса показывает, насколько возросло бы максимальное значение целевой функции, если бы объем данного ресурса увеличился на единицу. В связи с этим значение объективно обусловленной оценки иногда называют теневой ценой ресурса. Теневая цена - это стоимость единицы ресурса в оптимальном решении.

Однако  нужно учитывать, что двойственные оценки позволяют измерить эффективность  лишь незначительного изменения  объема ресурсов. При значительных изменениях может быть получен новый  оптимальный план и новые двойственные оценки.

Для нашего примера увеличение (уменьшение) фонда времени на участке А или В должно приводить к увеличению (уменьшению) максимальной прибыли на $1/3. Соответственно, например, при увеличении фонда времени участка А на 12 н-часов общая прибыль должна увеличиться на $4 (1/3ּ12).

Свойство 3. Оценки как инструмент определения эффективности отдельных хозяйственных решений. С помощью двойственных оценок можно определить выгодность выпуска новых изделий, эффективность новых технологических способов производства. При этом эффективным может считаться тот вариант производства, для которого сумма прибыли, недополученной из-за отвлечения дефицитных ресурсов, будет меньше прибыли получаемой. Разница между этими величинами (Δ_j) вычисляется как:

(2.9)

В том случае, если Δ_j ≤ 0, вариант производства является выгодным, если Δ_j > 0 – вариант невыгоден.

Вернемся  к нашему примеру. Пусть предприятие  планирует к выпуску новый  вид изделий: бейсбольные биты. Для  производства одной биты необходимо затратить 3 часа работы на участке А, 4 часа работы на участке В и 1 час работы на участке С. Прибыль, получаемая от продажи одной биты, составляет $3. Выгодно ли предприятию выпускать новую продукцию?

Для ответа на вопрос рассчитаем Δ_j по формуле (2.9):

Δ_j = 3ּ  + 4ּ  + 1ּ  - 3 = 3ּ1/3 + 4ּ1/3 + 1ּ0 - 3 = -2/3,

Δ_j < 0, значит производить бейсбольные биты выгодно.

Свойство 4. Оценки как мера относительной заменяемости ресурсов с точки зрения конечного эффекта. Например, отношение  / показывает, сколько единиц k-го ресурса может быть высвобождено при увеличении объема i-го ресурса на единицу, для того чтобы максимум целевой функции остался на прежнем уровне; или наоборот, сколько единиц k-го ресурса необходимо дополнительно ввести при уменьшении на единицу объема i-го ресурса, если мы хотим, чтобы значение целевой функции не изменилось.

 

 

 

Задача 2

Решить графическим методом  типовую задачу оптимизации

Продукция двух видов (краска для внутренних (I) и наружных (Е) работ) поступает в оптовую продажу. Для производства красок используются два исходных продукта – А и В. Максимально возможные суточные запасы этих двух продуктов составляют 6 и 8 тонн соответственно. Расходы продуктов А и В на 1 тонну соответствующих красок приведены в таблице.

Исходный продукт	Расход исходных продуктов на тонну  краски, т		Максимально возможный запас, т
	Краска Е	Краска I
А В	1 2	2 1	6 8

Изучение  рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску Е более чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску I никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны 3000 ден. ед. для краски Е и 2000 ден. ед. для краски I. Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к  её элементам и получить решение  графическим методом. Что произойдёт, если решать задачу на минимум, и почему?

 

 

 

 

 

 

Решение:

Вводим  переменные

х₁ – количество краски Е (тонн)

х₂ – количество краски I(тонн)

х₁ - ?; х₂ - ?

Целевая функция

f(x₁, х₂) = 3000x₁ + 2000x₂           max

(3000x₁ + 2000x₂) – общая выручка от реализации всей краски

Составляем  ограничения по ресурсам

1х₁ + 2х₂ ≤ 6 – ограничение по расходу исходного продукта А

2х₁ + 1х₂ ≤ 8 – ограничение по расходу исходного продукта В

х₂ – х₁ ≤ 1 – по условию

х₂ ≤ 2 – по условию

х₁ ≥ 0; х₂ ≥ 0

Строим  область решений системы ограничений

1) 1х₁ + 2х₂ ≤ 6

1х₁ + 2х₂ = 6 – прямая

х1	х2
0	3
6	0

1х₁ + 2х₂ < 6 – полуплоскость

Берём точку О (0;0) и подставляем её в неравенство

1*0 + 2*0 < 6;    0 < 6 (верно),  решением  является полуплоскость, содержащая  взятую точку О, т.е. полуплоскость под прямой.

2) 2х₁ + 1х₂ ≤ 8

2х₁ + 1х₂ = 8 – прямая

х1	х2
0	8
8	0

2х₁ + 1х₂ < 8 – полуплоскость

Подставляем точку О (0; 0)        2*0 + 1*0 < 8;     0 < 8 (верно), решение – полуплоскость, содержащая точку О.

3)  х₂ – х₁ ≤ 1

х₂ – х₁ = 1 – прямая

х1	х2
0	1
4	5

х₂ – х₁ < 1 – полуплоскость

Подставляем точку О (0; 0)     0 – 0 < 1 (верно), решение – полуплоскость, содержащая точку О.

4) х₂ ≤ 2

х₂ = 2 – прямая, параллельная оси Ох₁

х₂ < 2 – полуплоскость под прямой

5)  х₁ ≥ 0; х₁ = 0 – прямая – ось Ох₂; х₁ > 0 – правая полуплоскость

6)  х₂ ≥ 0; х₂ = 0 – прямая – ось Ох₁; х₂ > 0 – верхняя полуплоскость

Находим общую часть всех построенных  полуплоскостей. Это пятиугольник ОАВСД.

Нахождение  оптимального решения. Ищем среди угловых  точек ОАВСД.

f(x₁, х₂) = 3000x₁ + 2000x₂  

f(x₁, х₂) = 0   3000x₁ + 2000x₂ = 0 – прямая; 1/100 = 3x₁ + 2x₂ = 0

х1	х2
0	0
2	- 3

 

С = (С₁; С₂);  О (0;0);  С₁ = 3000 (1/100 = 3); С₂ = 2000 (1/100 = 2);      С = (3; 2)

max f(x₁, х₂)  в точке К. Для нахождения координат этой точки решаем систему из двух уравнений прямых:

1х₁ + 2х₂ = 6           *2

2х₁ + 1х₂ = 8

2х₁ + 4х₂ = 12

2х₁ + 1х₂ = 8

3х₂ = 4;   х₂ = 4/3 ≈ 1,333;   х₁ = 10/3   ≈ 3,333

Точка К (3,333; 1,333)

f(x₁, х₂)  = 3000*3,333 + 2000*1,333 = 12665

Ответ: для получения максимальной прибыли (12665 ден. ед.), фабрика должна производить 3,333 тонны краски Е и 1,333 тонны краски I.

 

 

 

 

Задача 3.

Предприятие ежегодно закупает 15000 зеркал размером 4мм*1500мм*2000мм  и использует их для сборки мебели. Затраты на хранение одного  зеркала в течение года составляют 25 руб./шт. Затраты на осуществление  заказа - 1800 руб.  Предприятие работает 300 дней в году. Доставка заказа от поставщиков занимает 4 рабочих дня.

 Определить оптимальный объем заказа, период поставок, точку заказа, затраты на управление запасами за год.

Решение:

Дано:

Т=300 р./д./год

М=15000 шт./год

h=25 руб./шт./год

К=1800 руб./зак

t=4 дня

Найти:

Q_опт?

Период поставок?

Точку заказа?

Затраты на управление запасами за год?

1)Q_опт=√2*К*М/h=√2*1800*15000/25=1470 заказов

2)Период поставок: Q_опт/М=1470/15000=0,10лет или 0,10*300=30 дней

3)Точка заказа: х=t*М/Т=4*1500/300=200 заказов.

4)Затраты на управление запасами  за год: Z=(К*М/Q_опт)+h*Q_опт/2=(1800*15000/1470)+25*1470/2=18385.38 руб.

Задача 4

В бухгалтерии  организации в определенные дни  непосредственно с сотрудниками работают два бухгалтера. Если сотрудник  заходит в бухгалтерию для  оформления документов (доверенностей, авансовых отчетов и пр.), когда  оба бухгалтера заняты обслуживанием  ранее обратившихся работников, то он уходит из бухгалтерии, не ожидая обслуживания. Статистический анализ показал, что  среднее число сотрудников, обращающихся в бухгалтерию в течение часа, равно l; среднее время, которое затрачивает бухгалтер на оформление документа, равно Т_ср мин. (значения l и Т_ср по вариантам даны ниже в таблице).

Оценить основные характеристики работы данной бухгалтерии как СМО  с отказами (указание руководства  не допускать непроизводительных потерь рабочего времени!). Сколько бухгалтеров  должно работать в бухгалтерии в  отведенные дни с сотрудниками, чтобы  вероятность обслуживания сотрудников  была выше 85%?

Решение:

Находим Σ(n) _j=0  a^j / j !  по формуле: B8+a (1,33), далее растягиваем ячейку С8 вниз, для получения результатов во всех ячейках столбца С.