Общая постановка задачи линейного программирования (ЗЛП)

Федеральное государственное образовательное

бюджетное учреждение высшего профессионального  образования

 

«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ  РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»

 

ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

 

 

 

Финансово-кредитный  факультет

Кафедра «Экономико-математические методы и аналитические информационные системы»

 

 

Методы  оптимальных решений

 

Контрольная работа 

 

 

 

Вариант 3

 

 

 

 

Выполнил студент:

Факультет: Финансово-кредитный

 

 

 

 

 

 

Уфа 2013

 

 

 

1. Общая  постановка задачи линейного  программирования (ЗЛП).

Линейное  программирование – направление  математики, изучающее методы решения  экстремальных задач, которые характеризуются  линейной зависимостью между переменными  и линейным критерием оптимальности.

Несколько слов о самом термине линейное программирование. Он требует правильного понимания. В данном случае программирование - это, конечно, не составление программ для ЭВМ. Программирование здесь должно интерпретироваться как планирование, формирование планов, разработка программы действий.

К математическим задачам линейного  программирования относят исследования конкретных производственно-хозяйственных  ситуаций, которые в том или  ином виде интерпретируются как задачи об оптимальном использовании ограниченных ресурсов.

Круг  задач, решаемых при помощи методов  линейного программирования достаточно широк. Это, например:

·  задача об оптимальном использовании ресурсов при производственном планировании;

·  задача о смесях (планирование состава продукции);

·  задача о нахождении оптимальной комбинации различных видов продукции для хранения на складах (управление товарно-материальными запасами или "задача о рюкзаке");

·  транспортные задачи (анализ размещения предприятия, перемещение грузов).

Линейное  программирование – наиболее разработанный  и широко применяемый раздел математического  программирования (кроме того, сюда относят: целочисленное, динамическое, нелинейное, параметрическое программирование). Это объясняется следующим:

·  математические модели большого числа экономических задач линейны относительно искомых переменных;

·  данный тип задач в настоящее время наиболее изучен. Для него разработаны специальные методы, с помощью которых эти задачи решаются, и соответствующие программы для ЭВМ;

·  многие задачи линейного программирования, будучи решенными, нашли широкое применение;

·  некоторые задачи, которые в первоначальной формулировке не являются линейными, после ряда дополнительных ограничений и допущений могут стать линейными или могут быть приведены к такой форме, что их можно решать методами линейного программирования.

Экономико-математическая модель любой задачи линейного программирования включает: целевую функцию, оптимальное значение которой (максимум или минимум) требуется отыскать; ограничения в виде системы линейных уравнений или неравенств; требование неотрицательности переменных.

В общем виде модель записывается следующим  образом:

·  целевая функция:

= c1x1 + c2x2 + ... + cnxn → max(min);

(2.1)

·  ограничения:

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn {≤ = ≥} b1,  a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn {≤ = ≥} b2, ...             am1x1 + am2x2 + ... + amnxn {≤ = ≥} bm;

(2.2)

·  требование неотрицательности:

xj ≥ 0,

(2.3)

При этом a_ij, b_i, c_j (     ) - заданные постоянные величины.

Задача  состоит в нахождении оптимального значения функции (2.1) при соблюдении ограничений (2.2) и (2.3).

Систему ограничений (2.2) называют функциональными  ограничениями задачи, а ограничения (2.3) - прямыми.

Вектор  , удовлетворяющий ограничениям (2.2) и (2.3), называется допустимым решением (планом) задачи линейного программирования. План  , при котором функция (2.1) достигает своего максимального (минимального) значения, называетсяоптимальным.

2. Геометрическое  решение ЗЛП.

Если  система ограничений задачи линейного  программирования представлена в виде системы линейных неравенств с двумя переменными, то такая задача может быть решена геометрически. Таким образом, данный метод решения ЗЛП имеет очень узкие рамки применения.

Однако  метод представляет большой интерес  с точки зрения выработки наглядных  представлений о сущности задач  линейного программирования.

Геометрический (или графический) метод предполагает последовательное выполнение ряда шагов. Ниже представлен порядок решения  задачи линейного программирования на основе ее геометрической интерпретации.

1. Сформулировать ЗЛП.

2. Построить на плоскости {х₁, х₂} прямые, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях знаков неравенств на знаки точных равенств.

3. Найти полуплоскости, определяемые  каждым из ограничений задачи.

4. Найти область допустимых решений.

5. Построить прямую c₁x₁ + c₂x₂ = h, где h - любое положительное число, желательно такое, чтобы проведенная прямая проходила через многоугольник решений.

6. Перемещать найденную прямую параллельно самой себе в направлении увеличения (при поиске максимума) или уменьшения (при поиске минимума) целевой функции. В результате, либо отыщется точка, в которой целевая функция принимает максимальное (минимальное) значение, либо будет установлена неограниченность функции на множестве решений.

7. Определить координаты точки  максимума (минимума) функции и  вычислить значение функции в  этой точке.

3. Основные  теоремы линейного программирования.

Для обоснования методов решения  задач линейного программирования сформулируем ряд важнейших теорем, опуская их аналитические доказательства. Уяснить смысл каждой из теорем поможет  понятие о геометрической интерпретации  решения ЗЛП, данное в предыдущем подразделе.

Однако  сначала напомним о некоторых  понятиях, важных с точки зрения дальнейшего разговора.

Любые m переменных системы m линейных уравнений  с n переменными (m < n) называются основными, если определитель матрицы коэффициентов при них отличен от нуля. Тогда остальные m-n переменных называются неосновными (или свободными).

Базисным  решением системы m линейных уравнений c n переменными (m < n) называется всякое ее решение, в котором все неосновные переменные имеют нулевые значения.

Теорема 1. Множество всех допустимых решений системы ограничений задачи линейного программирования является выпуклым.

В частном случае, когда в систему  ограничений входят только две переменные x₁ и x₂, это множество можно изобразить на плоскости. Так как речь идет о допустимых решениях (x₁, x₂ ≥ 0), то соответствующее множество будет располагаться в первой четверти декартовой системы координат. Это множество может быть замкнутым (многоугольник), незамкнутым (неограниченная многогранная область), состоять из единственной точки и, наконец, система ограничений-неравенств может быть противоречивой.

Теорема 2. Если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то оно совпадает с одной (двумя) из угловых точек множества допустимых решений.

Из  теоремы 2 можно сделать вывод  о том, что единственность оптимального решения может нарушаться, причем, если решение не единственное, то таких  оптимальных решений будет бесчисленное множество (все точки отрезка, соединяющего соответствующие угловые точки).

 

Теорема 3. Каждому допустимому базисному решению задачи линейного программирования соответствует угловая точка области допустимых решений, и наоборот.

Следствием  из теорем 2 и 3 является утверждение  о том, что оптимальное решение (оптимальные решения) задачи линейного программирования, заданной (или приведенной) ограничениями-уравнениями, совпадает с допустимым базисным решением (допустимыми базисными решениями) системы ограничений.Таким образом, оптимальное решение ЗЛП следует искать среди конечного числа допустимых базисных решений.

4. Симплексный  метод решения ЗЛП.

Симплекс-метод  был разработан и впервые применен для решения задач в 1947 г. американским математиком Дж. Данцигом.

Симплексный метод в отличие от геометрического универсален. С его помощью можно решить любую задачу линейного программирования.

В основу симплексного метода положена идея последовательного улучшения  получаемого решения.

Геометрический  смысл симплексного метода состоит  в последовательном переходе от одной  вершины многогранника ограничений  к соседней, в которой целевая  функция принимает лучшее (или, по крайней мере, не худшее) значение до тех пор, пока не будет найдено  оптимальное решение - вершина, где  достигается оптимальное значение функции цели (если задача имеет  конечный оптимум).

Таким образом, имея систему ограничений, приведенную к канонической форме (все функциональные ограничения имеют вид равенств), находят любое базисное решение этой системы, заботясь только о том, чтобы найти его как можно проще. Если первое же найденное базисное решение оказалось допустимым, то проверяют его на оптимальность. Если оно не оптимально, то осуществляется переход к другому, обязательно допустимому базисному решению. Симплексный метод гарантирует, что при этом новом решении целевая функция, если и не достигнет оптимума, то приблизится к нему (или, по крайней мере, не удалится от него). С новым допустимым базисным решением поступают так же, пока не отыщется решение, которое является оптимальным.

Процесс применения симплексного метода предполагает реализацию трех его основных элементов:

1) способ определения какого-либо  первоначального допустимого базисного  решения задачи;

2) правило перехода к лучшему  (точнее, не худшему) решению;

3) критерий проверки оптимальности  найденного решения.

Симплексный метод включает в себя ряд этапов и может быть сформулирован в  виде четкого алгоритма (четкого  предписания о выполнении последовательных операций). Это позволяет успешно  программировать и реализовывать  его на ЭВМ. Задачи с небольшим  числом переменных и ограничений  могут быть решены симплексным методом  вручную.

5. Двойственность в линейном программировании.

Теория  математического линейного программирования позволяет не только получать оптимальные  планы с помощью эффективных  вычислительных процедур, но и делать ряд экономически содержательных выводов, основанных на свойствах задачи, которая  является двойственной по отношению  к исходной ЗЛП.

Пусть в качестве исходной дана задача:

= c1x1 + c2x2 + ... + cnxn → max;
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1,  a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2, ...             am1x1 + am2x2 + ... + amnxn≤ bm;	(2.4)
xj ≥ 0,

 

Задача  линейного программирования, двойственная задаче (2.4), будет иметь вид:

= b1y1 + b2y2 + ... + bmym → min;
a11y1 + a21y2 + ... + am1ym≥ c1,  a12y1 + a22y2 + ... + am2ym ≥ c2, ...             a1ny1 + a2ny2 + ... + amnym≥ cn;	(2.5)
yi ≥ 0,    .

Можно сформулировать правила получения двойственной задачи из задачи исходной.

1. Если в исходной задаче ищется  максимум целевой функции, то  в двойственной ей - минимум.