Модели выбора

           В связи со сказанным возникает вопрос: возможна ли, хотя бы теоретически, идеальная («справедливая», приемлемая для всех избирателей) избирательная система? Для ответа нужно, во-первых, явно и недвусмысленно указать необходимые требования к такой системе. Американский математик К. Эрроу (Kenneth J. Arrow) сформулировал такие требования в виде следующих аксиом:

1. Универсальность, universality, unrestricted domain. Для любых кандидатов a, b и любых индивидуальных их ранжировок общественное предпочтение устанавливает либо a >_E b, либо b >_E a, либо a =_E b. (В последнем случае кандидаты одинаково предпочтительны).
2. Единогласие, unanimity, weak Pareto principle. Если все избиратели считают, что a лучше b, то и в общественном предпочтении a выше b.
3. Независимость от посторонних альтернатив, independence of irrelevant alternatives. Положение любых двух кандидатов зависит только от их положения в индивидуальных профилях предпочтений и не зависит от расположения других кандидатов.
4. Отсутствие диктатора, non-dictatorship. Не существует такого избирателя d ∈ E, который мог бы навязать свой выбор всему электорату: x >_d y   ⇒   x >_E y     для любых x,

К. Эрроу доказал (1951г), что эта система аксиом противоречива, когда |C| > 3. Следовательно, идеальная  демократическая избирательная  система невозможна, даже теоретически. Особенно печально для «демократов» выглядит (это будет показано ниже), что отказавшись от четвёртой  аксиомы мы получим логически  непротиворечивую систему требований, что можно трактовать так: демократия — скрытая форма диктатуры.

           Для доказательства теоремы Эрроу достаточно построить специальные профили предпочтений, так как, ввиду аксиомы Универсальности, избирательная система должна «работать» при любых индивидуальных ранжировках. Само доказательство технически не сложно — будем в основном следовать его наиболее простому варианту. Введём определение

Определение 1. Коалицию избирателей D, D ⊆ E, назовём решающей для кандидатов a, b, если ((a >_D b) & (b >_E\D a ))   ⇒   a >_E b.

Другими словами: если избиратели из D считают, что кандидат a лучше b, а все остальные избиратели придерживаются противоположного мнения, то в итоговой ранжировке будет так, как решили члены коалиции D. В  случае, когда соотношение (2) выполняется  для любых кандидатов, коалицию D назовём просто — решающей. Заметим, что решающая коалиция, в силу аксиомы  Единогласия, во-первых, существует (например, таково всё множество E) и, во-вторых, не может быть пустой (если никто  не ставит a выше b, то и общественном предпочтении такого быть не может). Переходя непосредственно к доказательству, обозначим M минимальную по количеству избирателей решающую коалицию и  покажем, что:

1. Минимальная решающая коалиция M состоит из одного избирателя d.
2. {d} — решающая коалиция.
3. Избиратель d — диктатор.

1. Минимальная решающая коалиция M состоит из одного избирателя d. Пусть коалиция M является минимальной решающей относительно кандидатов a и b и избиратель d ∈ M. Покажем, что либо коалиция {d}, либо коалиция M\{d} являются решающими и, значит (ввиду минимальности M), M = {d}. Для этого рассмотрим следующие профили предпочтений

a	>{d}	b	>{d}	c
c	>M\{d}	a	>M\{d}	b
b	>E\M	c	>E\M	a

Тогда в общественном предпочтении a >E b, поскольку так высказались все члены M, а остальные избиратели — наоборот, и расположение кандидата c по аксиоме Независимости никак на это не влияет.

Далее, могут  быть две возможности:

• b >_E c, тогда, в силу a >_E b, выводим (транзитивность), что a >_Ec. Это значит (см. (3)), что коалиция {d} — решающая для a, c;
• c >_E b, тогда коалиция M\{d} — решающая (см. (3)), что противоречит минимальности M.

 

2. {d} — решающая коалиция. Рассмотрим профили

a	>{d}	b	>{d}	x
b	>E\{d}	x	>E\{d}	a

          Так как {d} — решающая коалиция, то a >_E b, и, в соответствии с аксиомой Единогласия b >_E x, следовательно (транзитивность), a >_E x. В силу Независимости полученный результат не зависит от b и, поэтому, справедлив при произвольном x. Не трудно аналогичным образом построить соответствующие профили так, чтобы для произвольного кандидата y было y >E a. Следовательно, если {d} образует решающую коалицию для какой-либо пары, то эта одноэлементная коалиция будет решающей и для любой пары, в которой один из её кандидатов заменён другим. Отсюда уже прямо вытекает, что {d} — решающая коалиция.

           Таким образом, избиратель d может навязать электорату своё мнение, если все остальные избиратели голосуют в точности наоборот. Для доказательства того, что d является диктатором, теперь достаточно показать его независимость от мнения остальных избирателей, т.е., что мнение d относительно ранжировки, скажем, кандидатов a, b всегда будет достаточным для того, чтобы и в коллективном мнении было так же.

3. Избиратель d — диктатор. Пусть избиратели, голосующие так же (относительно предпочтения a по сравнению с b), как d, образуют множество P, все несогласные — множество Q. Множества P, Q могут быть пустыми. Рассмотрим профили предпочтений

a	>{d}	c	>{d}	b
c	>P	a	>P	b
c	>Q	b	>Q	a

          Тогда в коллективном предпочтении a >_E c в силу того, что {d} — решающая коалиция, и c >_E b (Единогласие). Поэтому (транзитивность) a >_E b — именно так, как высказался d. Следовательно, d — диктатор и, таким образом, теорема Эрроу полностью доказана.

5.1 Аксиомы Эрроу 

• Первая  аксиома Эрроу.

 

 

     Универсальность требует, чтобы конституция отражала каждую возможную конфигурацию предпочтений голосующих. Эрроу утверждал, что, поскольку  нельзя предсказать все разновидности  конфликта, который может возникнуть в ходе действия правила голосования, общество не должно принимать конституции, которая окажется несостоятельной  хотя бы при некоторых структурах предпочтений голосующих. Поэтому, как  подчеркивал Эрроу, общество должно настаивать на такой конституции, которая  была бы достаточно общей, чтобы разрешить  все возможные споры.  

      

• Вторая аксиома Эрроу.

 

 

     Это аксиома единогласия. Управляет  действием конституции, когда нет  согласия между избирателями. Она  устанавливает, что для конфигурации предпочтений, при которой каждый индивидуум предпочитает альтернативу А альтернативе Б, коллективное упорядочение должно быть таким же. Если придерживаться точки зрения, при которой считается, что общественное упорядочение должно отражать предпочтения членов этого  общества, то трудно спорить с условием единогласия, которое разрешает  проблему в случае, который безусловно является простейшим при объединении предпочтений.  

      

• Третья аксиома Эрроу.

 

 

     Независимость требует, чтобы коллективное упорядочение любой пары альтернатив зависело лишь от индивидуальных упорядочений этих двух альтернатив. Как бы не менялись индивидуальные предпочтения других альтернатив, если каждое из индивидуальных упорядочений А и Б остается неизменным, коллективное упорядочение А и Б так же не меняется.

     Конституция, удовлетворяющая условию независимости, ограничивает информацию об индивидуальных упорядочениях, требующуюся для  определения коллективного упорядочения пары альтернатив. В частности, информация об индивидуальных предпочтениях не представленных альтернатив для  коллективного упорядочения рассматриваемых  альтернатив; это является большим  преимуществом, когда сложно или  дорого выявлять индивидуальные упорядочения предпочтений. Без условия независимости  конституция должна была бы определять, какие другие альтернативы являются существенными для определения  коллективного упорядочения А и  Б и как индивидуальные предпочтения для этих альтернатив отражаются на коллективном упорядочении А и  Б.

     Одна  распространенная процедура, упорядочение судейских голосов, нарушает условия  независимости. (Эта система обычно используется спортивными отделами газет для определения мест, занятых  спортивными командами колледжей, и передачи информации комментаторами по телефону.)

     Когда имеются три альтернативы, это  правило коллективного выбора приписывает  каждому кандидату три балла, если он оказался первым в списке некоторого голосующего, два балла, если он оказался вторым, и один балл, если третьим. Коллективное упорядочение определяется суммированием баллов каждого кандидата и расположением их в порядке суммарных баллов. В комитете, состоящем из трех членов, каждый кандидат получает шесть баллов, и, таким образом, комитет безразличен по отношению к этим трем кандидатам.

     Предположим, что свое упорядочение кандидатов Том  изменяет с А, Б, С на А, С, Б. Хотя ни один из членов комитета не изменил  своего упорядочения А и Б, описываемая  процедура теперь коллективное упорядочение А по отношению к Б, поскольку  А по-прежнему получает шесть баллов, а Б получает пять баллов.

     Следовательно, при таком голосовании коллективное упорядочение А и Б зависит  не только от того, как индивидуумы  их упорядочивают, но также и от относительных  позиций других альтернатив, таких  как С.   

     Четвертую и пятую аксиомы лучше рассмотреть, введя некоторые обозначения.

     Р - строгое коллективное предпочтение (аналогичное отношению «больше» между парой действительных чисел).

     М - коллективное безразличие (аналогичное  равенству).

     Н - отношение слабого коллективного  предпочтения (аналогичное отношению  «больше или равно»).

     Таким образом, выражение АнБ означает «А коллективно по меньшей мере так  же хорошо, как Б», т.е. либо АрБ, либо АмБ.   

• Четвертая аксиома Эрроу.

 

 

     Аксиома полноты: для каждой пары альтернатив  А и Б должно выполняться АнБ, либо БнА (либо оба вместе; в этом случае А и Б безразличны). Согласно этой аксиоме, для процедуры объединения  требуется упорядочить каждую пару альтернатив. Коль скоро конституция  имеет возможность объявить любую  пару альтернатив безразличной, полнота  является, по-видимому, относительно безобидным требованием.   

• Пятая аксиома  Эрроу (н-транзитивность).