Модели межотраслевого баланса

Выражение (4) принято называть балансом распределения продукции. Его можно использовать для анализа и планирования структуры экономики. Если известны коэффициенты прямых материальных затрат, то, задав конечный продукт по каждой отрасли, можно определить необходимые валовые выпуски отраслей. В этом заложена основная идея использования матричных моделей для планирования производства.

Преобразуем выражение (5):

                                                                ,    

                                                               ,    

                                                           

, (6)

где E - единичная матрица.

До начала планирования следует  выяснить, существует ли матрица, обратная матрице (E-A), и не будут ли получены отрицательные значения выпуска по отраслям.

Установим некоторые свойства коэффициентов  прямых материальных затрат.

1. Неотрицательность, т.е.

Это утверждение следует из неотрицательности  величин  и положительности валовых выпусков .

2. Сумма элементов матрицы A по  любому из столбцов меньше  единицы, т.е.

Доказать это утверждение несложно.

Для любой отрасли условно чистая продукция есть величина положительная, поскольку включает в себя заработную плату, амортизацию, прибыль и т.д., т.е. . Поэтому, используя соотношение (2), можно записать:

                                                            

 (7)

из соотношения (3):

                                                           

 (8)

откуда безусловно следует:

                                                                

 (9)

таким образом, утверждение доказано.

Можно показать, что при выполнении этих двух условий матрица

  существует и если ее элементы неотрицательны. Говорят, что в этом случае матрица прямых затрат А является продуктивной.

Перепишем формулу (6): X = BY,      

Матрица В носит название матрицы  полных материальных затрат, а ее элементы называют коэффициентами полных материальных затрат. Коэффициент показывает, каков должен быть валовый выпуск i-й отрасли для того, чтобы обеспечить выпуск единицы конечного продукта j-й отрасли.

Можно показать, что B = E + A + A2 + A3 + ... (10)

Умножим обе части на (E - A): B(E - A) = (E + A + A2 + A3 + ...)(E - A),  

B(E - A) = E + A + A2 + A3 + ..- A - A2 - A3 - ...,  

B(E - A) = E,  

            

Доказано.

Из соотношения (10) следует ≥ ,  таким образом, коэффициент полных материальных затрат , описывающий потребность в выпуске продукции i-й отрасли в расчете на единицу конечного продукта j-й отрасли, не меньше коэффициента прямых материальных затрат , рассчитываемого на единицу валового выпуска.

Кроме того, из соотношения (10) для диагональных элементов матрицы B следует: ≥ 1, 

Полные затраты электроэнергии для нашего примера складываются из прямых затрат и косвенных затрат всех уровней. Косвенные затраты высоких уровней являются незначительными и при практических расчетах ими можно пренебречь.

 

                     2.2 Динамическая модель экономики типа "затраты - выпуск"

 

В процессе совершенствования и  усложнения модели «затраты—выпуск» был создан динамический вариант  системы, учитывавший технический  прогресс, перестройку промышленности, изменения ценовых пропорций. Модель была переведена на гибкие коэффициенты. Эта работа оказалась весьма успешной еще и потому, что параллельно с научным поиском совершенствовалось компьютерное обеспечение.

В отличие от статистических динамическая модель призвана отразить не состояние, а процесс развития экономики, установить непосредственную  взаимосвязь между предыдущими и последующими этапами развития и тем самым приблизить анализ на основе экономико-математической модели к реальным условиям развития экономической системы.

В рассматриваемой ниже динамической модели  (которая является развитием статической межотраслевой модели) производственные капитальные вложения выделяются из состава конечной продукции, исследуется их структура и влияние на рост объёма производства. В основе построения модели в виде динамической системы уравнений лежит математическая зависимость между величиной капитальных вложений и приростом продукции. Решение системы, как и в случае статической модели приводит к определению уровней производства, но в динамическом варианте в отличие от статистического эти искомые уровни зависят от объёмов производства в предшествующих периодах.

Ниже приведена схема первых двух квадрантов динамического межотраслевого баланса.

Таблица 2. Динамическая модель МОБ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Производ отрасли	Потребляющие отрасли
	Межотраслевые потоки текущих затрат			Межотраслевые потоки капитальных вложений				Конечный продукт		Валовый продукт
	1	2	…    n	1	2	…	n	Y	X
1                                …    ∆     ∆ …     ∆                       2                            …       ∆ ∆ …     ∆                     …                          n                            …     ∆   ∆ …      ∆

 

Модель содержит две матрицы  межотраслевых потоков. Матрица  текущих производственных затрат с элементами совпадает с соответствующей матрицей статистического баланса. Элементы второй матрицы ∆ показывают, какое количество продукции i-той отрасли направлено в текущем периоде в j-ую отрасль в качестве производственных капитальных вложений в её основные фонды. Материально это выражается в приросте в потребляющих отраслях производственного оборудования, сооружений, производственных площадей, транспортных средств и др.

Для сравнения, в статистическом балансе потоки капиталовложений не дифференцируются по отраслям-потребителям и отражаются общей величиной в составе конечной продукции каждой i-той отрасли. В динамической схеме конечный продукт включает продукцию i-той отрасли, идущую в личное и общественное потребление, накопление непроизводственной сферы, прирост оборотных фондов, незавершённого строительства, на экспорт. Таким образом, сумма потоков капиталовложений и конечного продукта динамической модели равна конечной продукции статистического баланса:

                                                     ∑∆

+ ’=  (11)

Поэтому уравнение распределения продукции вида (1) преобразуется в динамическом балансе в следующее:

=∑ +∑∆ +  ’   i=1…n  (12)

Межотраслевые потоки текущих затрат выражают как и в статической  модели через валовую продукцию отраслей с помощью коэффициентов прямых материальных затрат:

=  (13)

Полагая, что прирост продукции пропорционален приросту производственных фондов, можно записать:

∆ = ∆   i,j =1…n  (14)

 – коэффициенты пропорциональности, экономический смысл их заключается  в том, что они показывают, какое  количество продукции i-той отрасли  должно быть вложено в j-тую отрасль для увеличения производственной мощности j-той отрасли на единицу продукции.

Предполагается, что производственные мощности используются полностью и  прирост продукции равен приросту мощности. Коэффициенты называются коэффициентами вложений, или коэффициентами приростной фондоёмкости.

Они образуют квадратную матрицу n-го порядка:

Эта матрица коэффициентов приростной фондоёмкости даёт значительный материал для экономического анализа и  планирования капитальных вложений.

Далее, с помощью коэффициентов  прямых материальных затрат и коэффициентов  вложений систему уравнений  (12) можно представить в следующем виде:

∆ ’   i=1…n (15)

Учитывая, что все объёмы валовой и конечной продукции относятся к некоторому периоду t, а прирост валовой продукции определён в сравнении с (t-1)-м периодом:

’

Отсюда можно записать следующие  соотношения:

’ ,    i=1…n (16)

Пусть нам известны уровни валовой  продукции всех отраслей в предыдущем периоде  (величины  (t-1) и конечный продукт отраслей в t-м периоде. Тогда соотношения представляют собой систему n линейных уравнений  с n неизвестными уровнями производства t-го периода.

Таким образом, решение динамической системы линейных уравнений позволяет  определить выпуск продукции в последующем периоде в зависимости от уровня, достигнутого в предыдущем периоде. Связь между периодами устанавливается через коэффициенты вложений , характеризующие фондоёмкость единицы прироста продукции.

Эти более сложные по своему экономическому содержанию выводы   из анализа  динамической модели В. Леонтьева  были  опубликованы в форме дифференциальных уравнений в СССР в 1958 г. книге  «Исследование структуры американской экономики». 
                               3 ПРИМЕР РАСЧЁТА МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА

 

3.1 Построение межотраслевого баланса   производства и распределения продукции

 

Для трёхотраслевой экономической  системы заданы матрица коэффициентов  прямых материальных затрат и вектор конечной продукции:

                                                           

            

 

Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат с помощью формул обращения невырожденных матриц

- находим матрицу (E-A):

-вычисляем определитель этой  матрицы:

 

           

- транспонируем матрицу  (E-A) :

 

Находим алгебраическое дополнение для элементов матрицы  (E-A)`:

 

         

Таким образом, присоединённая к матрице (E-A) матрица имеет вид:

Чтобы найти матрицу коэффициентов  полных  материальных затрат, воспользуемся  формулой матричной алгебры:

B= (E-A)  =  (E-A)\ |E-A|

Получим: При этом проблема создания рациональной и высокоэффективной межотраслевой экономики чрезвычайно важна  для всех стран.

Найдём величины валовой продукции трёх отраслей (вектор Х):

 

Итак, теперь определим квадранты материального межотраслевого баланса. Для получения первого столбца первого квадранта нужно элементы первого столбца заданной матрицы А умножить на величину = 775.3; элементы второго столбца матрицы А умножить на = 510.1; элементы третьего столбца матрицы А умножить на =729.6.

Составляющие третьего квадранта (условно чистая продукция) находятся  как разность между объёмами валовой  продукции и суммами элементов  соответствующих столбцов найденного первого квадранта.

Наконец, четвертый квадрант в данном примере  состоит из одного показателя и служит также для контроля правильности расчёта: сумма элементов второго квадранта должна в стоимостном материальном балансе совпадать с суммой элементов третьего квадранта. Результаты расчёта представлены в табл.3:

Таблица 3.Межотраслевой баланс производства и распределения продукции. 

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли
	1	2	3	Конечная продукция	Валовая продукция
1 2 3	232.6 155.1 232.6	51.0 255.0 51.0	291.8 0.0 145.9	200.0 100.0 300.0	77.3 510.1 729.6
Условно чистая продукция	155.0	153.1	291.9	600.0
Валовая продукция	775.3	510.1	729.6		2015.0