Контрольная работа по "Экономике"

 

Затем рассчитывается статистика Дарбина-Уотсона по формуле:

.

По таблице критических  точек распределения Дарбина–Уотсона  для заданного уровня значимости , числа наблюдений и количества объясняющих переменных m можно определить два значения: d_н- нижняя граница и d_в - верхняя граница.

Для совокупности из 16 наблюдений с двумя объясняющими переменными (p=2), нижняя и верхняя границы равны соответственно d_н = 0,98 и d_в = 1,54.

Если расчетное  значение:

• d_в< d <4-d_в, то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отвергается (принимается);
• d_н< d <d_в, или  4-d_в< d <4-d_н, то вопрос об отвержении или принятии гипотезы остается открытым (расчетное значение попадает в зону неопределенности);
• 0< d <d_н, то принимается альтернативная гипотеза о наличии положительной автокорреляции;
• 4-d_н< d <4, то принимается альтернативная гипотеза о наличии отрицательной автокорреляции.

Расчетное значение d-статистики лежит в интервале d_в< d <4-d_в. (т.е. 1,54 < 1,61<2,46). Следовательно, гипотеза об отсутствии автокорреляции не отвергается (принимается);

 

6)  Для проверки на однородность двух совокупностей используется тест Грегори Чоу. В соответствии с данным тестом построим уравнения регрессии и проведем дисперсионный анализ по первым 8-ми наблюдениям (n₁) и последним 8-ми наблюдениям (n₂). Аналогичные действия проводились при проверке остатков модели на гетероскедастичность, здесь предварительного ранжирования данных по какой-либо из независимых переменных не требуется. Все расчеты приведены в файле «Расчетная часть.xls», закладка «Грегори Чоу».

,  ESS₁=298,27

, ESS₂=55,69

Результаты регрессионного и дисперсионного анализа модели, построенной по всем n = n₁ + n₂ = 16 наблюдениям, представлены в файле «Расчетная часть.xls», закладка «Исходные данные+регрессия». (ESS = 775,09).

Проверяемая нулевая  гипотеза имеет вид – H₀: b'=b''; D(ε')= D(ε'')= σ².

Если нулевая  гипотеза верна, то две регрессионные  модели можно объединить в одну объема  n = n₁ + n₂.

Согласно критерию Г.Чоу нулевая гипотеза H₀ отвергается на уровне значимости α, если статистика

где - остаточные суммы квадратов соответственно для объединенной, первой и второй выборок, n = n₁ + n₂.

 

Рассчитаем статистику F по формуле:

^.

Находим табличное значение F_табл= FРАСПОБР(0,05;3;10) = 3,71

Так как, F_расч>F_табл, то справедлива гипотеза , т.е. можно объединить первую и вторую выборки нельзя, т.к. они являются неоднородными.

 

Задача 2

 

Изучается зависимость  объема ВВП (Y, млрд. долл.) от уровня прибыли в экономике (Х_t, млрд. долл.). Получена следующая модель с распределенными лагами:

Y_t = -5 + 1,5∙X_t + 2∙X_t-1 + 4∙X_t-2 + 2,5∙X_t-3 + 2∙X_t-4 + ε_t.

    (2,2) (2,3)  (2,5) (2,3)  (2,4)

В скобках указаны значения t-критерия Стьюдента для коэффициентов регрессии. R² = 0,90.

Задание:

1. Проанализируйте полученные результаты регрессионного анализа.
2. Дайте интерпретацию параметров модели: определите краткосрочный и долгосрочный мультипликаторы.
3. Определите величину среднего лага и медианного лага.

 

1) Исходя из имеющихся  исходных данных, можно предположить, что исследуемая модель адекватна,  т.к. коэффициент детерминации  стремится к единице и означает, что на 90% вариация результативной  переменной (объема ВВП) объясняется  регрессией факторных лаговых  переменных.

Оценить статистическую значимость коэффициентов при лаговых переменных можно с помощью t-критерия Стьюдента (даны по условию). Т.к. все t-статистики при лаговых переменных больше двух, то можно сделать вывод об их существенности, и выбор величины лага  l=4  является оправданным.

 

2) Коэффициент регрессии b_o при переменной Х_t, характеризующий абсолютное изменение Y_t при изменении Х_t на 1 ед. своего измерения в некоторой фиксированный момент времени t, без учета воздействия лаговых значений фактора X, называется краткосрочным мультипликатором. В данном случае он равен 1,5 и показывает, что среднее абсолютное изменение ВВП составит 1,5 млрд. долл. в момент времени t при фиксированных значениях лаговых переменных.

Аналогично в период времени t-1 и неизменных остальных лаговых переменных изменение результативного показателя, т.е. объема ВВП, составит 2 млрд. долл. и т.д.

Как видим из параметров модели при лаговых переменных, наибольшая связь ВВП прослеживается с уровнем  прибыли в экономике в период t-2. Самое незначительное влияние на ВВП отчетного периода оказывает прибыль в экономике того же периода,  при этом изменение ВВП составит всего 1,5 млрд. долл. без учета воздействия остальных лаговых значений фактора Х. 

Долгосрочный мультипликатор определяется как сумма краткосрочного и промежуточных (т.е. коэффициентов  при переменных X_t-2, X_t-3 и X_t-4) мультипликаторов, т.е.:

b = b₀ + b₁ + … + b_l.=1,5 + 2 + 4 + 2,5 + 2 = 12

Полученный мультипликатор показывает, что абсолютное изменение  в долгосрочном периоде t+4 результата Y (объема ВВП) под влиянием изменения на 1 млрд. долл. Прибыли в экономике, составит 12 млрд. долл.

 

3) Средний лаг определяется по формуле средней арифметической взвешенной:

 

где β_j=b_j/b (j = 0,…,l) - относительные коэффициенты модели с распределенным лагом, тогда:

- Относительные коэффициенты  равны: 

   

   

Следовательно, 12,5% общего увеличения ВВП, вызванного ростом прибыли в  экономике, происходит в текущий  момент времени; 16,7% - в момент времени (t+1); 33,3% - в момент времени (t+2) и 37,5% - в моменты времени (t+3) и (t+4).

- Средний лаг равен:

Т.е. средний период, в  течение которого будет происходить  изменение результата под воздействием изменения фактора в момент времени t, составляет 2,125 (месяца, квартала, года и т.д.). Величина среднего лага свидетельствует об относительно медленном реагировании результата на изменение фактора, т.е. эффект от роста прибыли экономики на объем ВВП  проявляется с задержкой в среднем в 2,125 периода.

Медианный лаг (l_Me) – представляет собой период времени, в течение которого буде реализована половина общего воздействия фактора на результат и определяется следующим соотношением:

.

Для нашего случая медианный  лаг будет находится в периоде (t-2), т.е. + + =0,125+0,167+0,333=0,625>0.5. Т.е. половина эффекта (и больше) от изменения прибыли экономики на объем ВВП достигается в периоде (t-2) и составляет 62,5%.

 

Задача 3

Структурная форма макроэкономической модели имеет вид:

где: С_t – расходы на потребление в период  t ,

Y_t – чистый национальный продукт в период  t,

Y_t-1 – чистый национальный продукт в период  t-1,

D_t – чистый национальный доход в период  t,

I_t – инвестиции в период  t,

T_t – косвенные налоги в период  t,

G_t – государственные расходы в период  t.

Задание:

1. Проверьте каждое уравнение модели на идентифицируемость, применив необходимое и достаточное условия идентифицируемости.
2. Запишите приведенную форму модели.
3. Определите метод оценки структурных параметров каждого уравнения.

 

Решение:

1) Исследуемая модель  представляет собой систему одновременных  уравнений, состоящую из двух  уравнений, которые необходимо  проверить на идентифицируемость  для определения способа оценки  параметров, и двух тождеств, параметры  которых известны, поэтому необходимости  в проверке их на идентифицируемость  нет.

Модель включает четыре эндогенные переменные (С_t I_t Y_t D_t) и три экзогенные переменные (Y_t-1 T_t G_t), в том числе одну лаговую переменную Y_t-1).

Проверим уравнения модели на идентифицируемость.

 

1 уравнение.

Проверим выполнение необходимого условия идентифицируемости. Это  уравнение включает в себя только эндогенные переменных (С_t,D_t) и ни одной экзогенной. Таким образом, H = 2; число экзогенных переменных системы, не входящих в это уравнение, равно D = 3. Получаем:  D + 1 > H, следовательно, первое уравнение сверхидентифицируемо.

Теперь проверим достаточное  условие идентифицируемости.

Запишем матрицу коэффициентов  при переменных (эндогенных и экзогенных), не входящих в первое уравнение (R_t, R_t-1, t):

№ уравнения	It	Yt	Yt-1	Tt	Gt
2	-1	b21	b22	0	0
3	0	-1	0	1	0
4	1	0	0	0	1

 

Определитель квадратной подматрицы 2х2 этой матрицы не равен нулю:

,

и достаточное условие  идентифицируемости выполняется.

 

2 уравнение.

Это уравнение включает две  эндогенные переменные (I_t, Y_t) и одну экзогенную переменную (Y_t-1). Таким образом, H = 2; число экзогенных переменных, не входящих в это уравнение, равно одному D = 2. Получаем:  D + 1 > H, и второе уравнение является сверхидентифицируемым.

Теперь проверим достаточное  условие идентифицируемости.

Запишем матрицу коэффициентов  при переменных, не входящих во второе уравнение (C_t  D_t  T_t  G_t):

Номер уравнения	Ct	Dt	Tt	Gt
1	1		0	0
3	0	1	1	0
4	1	-1	0	1

Определитель этой матрицы  не равен нулю, а ее ранг равен 3:

^.

Таким образом, второе уравнение системы сверхидентифицируемо. Следовательно, и вся модель является сверхидентифицируемой.

 

2) Запишем приведенную  форму модели в общем виде:

 

  Здесь ν₁, ν₂, - случайные ошибки.

 

3) Поскольку модель является  сверхидентифицируемой, то для  оценки  
параметров и первого и второго уравнений следует применять двухшаговый метод наименьших квадратов.

 

Литература

 

1. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика. Учебник. М.: ЮНИТИ, 2008.
2. Практикум по эконометрике. Под ред. Елисеевой И.И. М.: Финансы и статистика, 2008.
3. Эконометрика. Учебник. Под ред. Елисеевой И.И.  М.: Финансы и статистика, 2008.
4. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: ЮНИТИ, 1998.
5. Доугерти К. Введение в эконометрику Доугерти К. Инфра-М, 2007.
6. Дубров A.M., Мхитарян B.C., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы. М.: Финансы и статистика, 2000.
7. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. М., Дело, 2005.