Контрольная работа по "Эконометрике"

4. Надёжность уравнений в целом оцените через F-критерий Фишера для уровня значимости а=0,05.
5. Рассчитайте    прогнозное    значение    результата у,    если прогнозное значение фактора (х) составит 1,031 от среднего уровня (х).

6. Найдите 95%-ный доверительный интервал среднего значения зависимой переменной для суммы кредитов, предоставляемых предприятиям в размере 134 млрд. руб.

7. Найдите 95%-ный доверительный интервал для индивидуального значения зависимой переменной для суммы кредитов, предоставляемых предприятиям в размере 134 млрд. руб.

8. Найдите с надежностью 0,95 интервальные оценки коэффициента регрессии b.
9. Сделайте выводы.

Решение.

I. Построить    линейное   уравнение    парной   регрессии, используя метод наименьших квадратов.

Условие предполагает наличие линейной зависимости. Рассчитаем параметры парной линейной функции у = а + bх, отражающей линейную форму зависимости результата У от фактора X.

Параметр b называется коэффициентом регрессии У по Х и показывает на сколько единиц в среднем изменяется переменная (результат) У при увеличении переменной (фактора) X на одну единицу. Параметр а может не иметь экономического интерпретации, особенно, если а<0. С формальной точки зрения  а - значение У при Х=0, но если фактор X не имеет и не может иметь   нулевого   значения,   то   свободный   член   а   не   имеет экономического смысла. Возможно интерпретировать знак при параметре а.   Если а>0, то относительное изменение результата происходит    медленнее,     чем    изменение    фактора.  Расчёт неизвестных     параметров     уравнения    выполним методом наименьших квадратов (МНК).

 

b = XУ - Х*У                 a =   У – b*Х

                                      Х2 – (Х)2

 

 

Таблица 1.1.

 

           Расчетная таблица.

	У	Х	У * Х	У2	Х2
1	6,2	58,4	362,08	38,44	3410,56
2	11,9	120,5	1433,95	141,61	14520,25
3	8,4	95,3	800,52	70,56	9082,09
4	12,7	110,4	1402,08	161,29	12188,16
5	14,1	176,2	2484,42	198,81	31046,44
6	11,1	85,4	947,94	123,21	7293,16
7	19,2	148,2	2845,44	368,64	21963,24
8	9,5	96,0	912,0	90,25	9216,0
9	11,7	78,1	913,77	136,89	6099,61
10	7,6	92,3	701,48	57,76	8519,29
Итого	112,4	1060,80	12803,68	1387,46	123338,8
Среднее значение	11,24	106,08	1280,368	138,746	12333,88

Подставим полученные значения:

b = 1280,368 – 106,08*11,24 =  1280,368 – 1192,339 = 0,081

           12333,88 – (106,08)2          12333,88 – 11252,966

a = 11,24 – 0,081*106,08 = 2,648

 

 Получаем теоретическое уравнение регрессии следующего вида: 

У = 2,648 + 0,081X

В уравнении коэффициент регрессии b=0,081 означает, что при увеличении суммы кредитов предоставляемых предприятиям на 1 млрд. руб. валовой региональный продукт возрастёт в среднем на 0,081 млрд. руб.

Свободный член уравнения a=2,648 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на валовой региональный продукт. Параметр а>0, означает что относительное изменение валового регионального продукта происходит медленнее, чем изменение кредитов предоставляемых предприятиям.

2. Рассчитать  линейный коэффициент, парной корреляции  и коэффициент детерминации и  оценить тесноту связи с помощью  данных коэффициентов

Уравнение регрессии дополняется показателем тесноты корреляционной зависимости. Для линейной регрессии данный показатель называется коэффициентом корреляции гху и находится в пределах {-1; 1}. Чем ближе коэффициент к единице, тем теснее линейная связь. Коэффициент корреляции не следует    рассматривать     как     строгую     меру     взаимосвязи переменных.     Близость    линейного    коэффициента    парной корреляции   к   нулю   не   означает   отсутствие   связи   между признаками. Зависимость может быть представлена функцией другого вида (степенной, линейно-логарифмической  параболы второго порядка и т.д.).

Корреляционная линейная связь между переменными называется прямой, если г>0 и b>0, т.е. увеличение одной из переменных ведет к увеличению групповой средней другой.

Если г<0 и b<0, то связь является обратной и при увеличении одной переменной ведет к уменьшению групповой средней другой.

  rху =                n*ΣХУ – (ΣХ) * (ΣУ)__    _    ___     

   √n*ΣХ2 – (ΣХ)2       *  √n*ΣУ2 – (ΣУ)2

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

rху =                       10*12803,68 – 112,4 * 1060,80___          _    __     =  

  √ 10*123338,8 – (1060,80)2        *   √10*1387,46 – (112,4)2

=                         128036,80 – 119233,92__          _    __     =

  √1233388 – 1125296,64     * √13874,60 – 12633,76

=   8802,88    =  0,760  ≈  0,8

   11581,358

Оценку качества подбора линейной функции характеризует коэффициент детерминации R2xy, который рассчитывается как квадрат линейного коэффициента корреляции.

Для данного примера:

R2 ху = 0,7602 = 0,578 ≈ 0,6

Коэффициент   детерминации показывает какая часть (доля) зависимой    переменной    У   обусловлена   вариацией объясняющей переменной X.

0≤R2 ≥1

Чем ближе коэффициент детерминации к единице, тем лучше регрессия аппроксимирует эмпирические данные, тем теснее наблюдения примыкают к линии регрессии. Если R2 = 1, точки (Xi;Уi) лежат на линии регрессии и между переменными У и X существует линейная функциональная зависимость. Если R2 = 0,  то вариация зависимой переменной полностью обусловлена воздействием неучтенных в модели переменных, и линия регрессии параллельна оси абсцисс.

В данном примере R2 = 0,578, следовательно, уравнение регрессии объясняет 57,8% дисперсии результативного признака, а на долю прочих факторов приходится 42,2% дисперсии (100% - 57,8%). Коэффициент R2 имеет смысл рассматривать только при наличии свободного члена.

Таблица 1.2 
Оценки тесноты корреляционной зависимости.

Значение коэффициента корреляции (rху)	Оценка тесноты выявленной зависимости	Значения коэффициента детерминации,   % (rху)
До   0,3	Слабая	До 10
0,3 - 0,5	Умеренная	10-25
0,5 - 0,7	Средняя	25-50
0,7 - 0,9	Тесная	50-80
0,9 и более	Очень тесная	80 и более

 

Величина линейного коэффициента корреляции составила 0,760 а  коэффициента  детерминации   0,578 что   говорит   о тесной  степени        тесноты  выявленной линейной корреляционной зависимости. 

При получении величины коэффициентов корреляции и детерминации достаточно близких к единице можно говорить о тесноте линейной связи и высоком качестве подбора линейной  функции.

3. Построить корреляционное поле

 

На   графике   ставим   точки   с   координатами   (Xi;Уi)   по заданным данным. Подставляя данные существующего диапазона X в полученное уравнение регрессии строим расчетную прямую.

Например:

Рассчитанное уравнение регрессии У = 2,648 +  0,081 X.

Х=30; У = 2,648 + 0,081*30 = 5,078

Х=120; У= 2,648 + 0,081*120 = 12,368

По   двум   точкам   строим  рассчитанную  прямую  линейной регрессии.

Рисунок 1.

Корреляционное поле регрессии.

4. Надёжность   уравнений,   в   целом   оцените   через   F-критерий Фишера для уровня значимости а=0,05

Оценка значимости уравнения регрессии в целом дается с помощью F-критерия Фишера. Проверить значимость уравнения регрессии - значит, установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальными данными и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных для описания зависимой переменной. При этом выдвигается нулевая гипотеза Но, что коэффициент регрессии равен нулю (b=0), следовательно, фактор X не оказывает влияние на результат У.

Для оценки статистической надёжности выявленной зависимости оборота розничной торговли от суммы доходов населения рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера-Снедекора — Fфакт. и сравним его с табличным значением -Fтабл. Табличное значения критерия - это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости.

В случае, если Fфакт.>Fтабл. нулевая гипотеза об отсутствии связи признаков отклоняется с вероятностью допустить ошибку, которая не превысит 5% (или с уровнем значимости а=0,05).

Если фактическая величина критерия меньше табличной, то вероятность нулевой гипотезы выше заданного уровня и не может быть отклонена без серьезного риска сделать неправильный вывод о наличии связи. Нулевая гипотеза Но не отклоняется и уравнение регрессии считается статистически незначимым.

                           R2___

Fфакт. =           1 - R2       * (n-2) 

n - количество наблюдений (в данном примере 10)

Для данного примера:

 

 

                                     0,578                                 0,578

Fфакт. =         1 – 0,578       * (10-2)  =    0,422      * 8 = 10,960

Сравним полученный результат с табличным значением критерия Fтабл. Значения Fтабл. представлены в таблице значений F-критерия Фишера-Снедекора (Приложение 1).

ki - число факторов в уравнении. В нашем случае ki = l

k2 - число изучаемых объектов (число наблюдений)

k2 = n – к1 - 1

Для данного примера k2 = 10-1-1 =8.

Табличное значение F-критерия F0,05;1;8 = 5,32.

Так как F факт.=10,960 > F табл. = 5,32 при 5% уровне значимости, то можно сделать вывод о значимости уравнения регрессии.

 

5. Рассчитайте прогнозное значение результата у, если прогнозное значение фактора (х) составит 1,031 от среднего уровня (х)

Среднее значение X = 106,08.

Прогнозное значение X = 24,08 * 1,031 = 109,368

Рассчитаем прогнозное значение результата

 У = 2,648+0,081*109,368=11,507

 

6. Найдите 95%-ный доверительный интервал среднего значения зависимой переменной для суммы кредитов, предоставляемых предприятиям в размере 134 млрд. руб.

Кроме получения точечной оценки неизвестного параметра актуальна проблема выявления такой области, в которой параметр попадает с заданной вероятностью или с заданным уровнем доверия.

Оценим  условное  математическое   ожидание   Мх=134(У).   Выборочной оценкой Мх=134(У) является групповая средняя ŷх=134 которую найдем по уравнению регрессии:

ух=134 = 2,648+0,081*134=13,502

Для построения доверительного интервала для Мх=134(У) необходимо знать его оценки. т.е. s2ху=22. Составим вспомогательную таблицу. Из таблицы 1.1 среднее значение х=106,08.

Таблица 1.3.

 Расчетная таблица для расчета  доверительного интервала.

 

 

N п/п	хi	(хi - хср.) 2	ŷi =2,648+0,081хi	е2i =( ŷi - уi) 2
1	58,4	2273,382	7,378	1,388
2	120,5	207,936	12,409	0,259
3	95,3	116,208	10,367	3,869
4	110,4	18,662	11,590	1,232
5	176,2	4916,814	16,920	7,952
6	85,4	427,662	9,565	2,356
7	148,2	1774,094	14,652	20,684
8	96,0	101,606	10,424	0,854
9	78,1	782,880	8,974	7,431
10	92,3	189,888	10,124	6,371
	1060,80	10809,132	112,403	52,396