Контрольная работа по "Эконометрике"

Дано два временных ряда: X₁ – месячный уровень осадков (в миллиметрах) и X₂ – среднемесячные удои молока (в галлонах), которые Робинзон составил за 55 месяцев непрерывных наблюдений.

 

Годы	I		II		III		IV		V
X мес	X1	X2	X1	X2	X1	X2	X1	X2	X1	X2
1	29,2	11,2	27,7	6,6	28	5,7	27,8	6,8	28,2	6
2	32,6	9,8	33,1	7,5	33,5	7,1	32,5	7,6	32,5	6,8
3	29,9	8,6	30,6	6,6	31,6	6,6	30,3	7,2	30,8	6,5
4	31,3	8,4	31,2	7,2	32,6	6,4	31,8	6,9	32	7
5	31,3	8,1	31,2	6,7	30	12	30,7	6,9	30,7	6,3
6	24,8	6,8	25	5,5	24,7	8,5	24,9	5,6	24,9	5,1
7	23,3	5,9	23,4	5,3	22,1	7,3	24,6	5,6	24,1	4,9
8	32,2	7,7	32,4	7	33	9,2	32,7	7,1
9	31,8	7,6	32,1	6,8	31,8	8,1	31,9	7,1
10	38,7	8,7	38,6	8,1	39,3	9,7	38,8	8,3
11	34,8	7,7	35,1	7,6	35,7	8,7	35,3	7,6
12	26,7	5,8	26,7	5,3	27	6,5	27	5,8

 

Необходимо провести эконометрический анализ заданных временных рядов  с целью прогнозирования их значений.

 

 

1. ГРАФИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

 

Одним из способов анализа временного ряда является графический. На его основе можно делать предположения о наличии в данных временных рядах различных компонент.

Построим график изменения уровня осадков.

Визуальный анализ графика позволяет  утверждать, что во временном ряда тренд отсутствует, зато присутствуют периодически повторяющиеся колебания с периодом, равным двенадцати месяцам.

Проанализируем теперь график изменения удоев молока.

Из графика не следует явное  наличие тренда, хотя возможен незначительный нисходящий тренд. Колебания значений удоев в некоторой степени повторяются. Можно предположить, что период равен году.

 

2. ПЕРВИЧНЫЙ СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

 

Для того чтобы проанализировать эти  данные, найдем средние значения временных  рядов.

=30,445  =7,225

Таким образом, среднее количество осадков за время наблюдения составляет 30,445 мм в месяц, а средние удои 7,225 галлонов.

Для дальнейшего анализа определим меру разброса значений, найдем исправленные выборочные дисперсии и стандартные отклонения.

=16,809  =1,989

=4,1  =1,41

Так мы получили меру отклонений значений уровней относительно его среднего, то есть значения количества осадков допускают варьирование в пределах ±4,1 мм от среднего, значения удоев отклоняются от среднего на 1,41 галлона.

Для определения степени статистической взаимосвязи между элементами каждого  временного ряда вычислим автоковариционную и автокорреляционную функции.

Оценим автоковарицию  по имеющимся значениям временных рядов, используя следующую формулу:

, где 

В результате расчетов для  от 1 до 20 получаем следующие значение автоковариации по двум временным рядам:

 

1	5,433396	0,872537	11	5,033533	-0,363947
2	-4,326201	0,255643	12	16,6772	0,299942
3	-6,878074	0,335214	13	5,384793	-0,194742
4	-7,175064	-0,01184	14	-4,30824	-0,659095
5	0,492175	0,137808	15	-6,99993	-0,414411
6	9,357094	0,451824	16	-7,36845	-0,616788
7	0,3911	0,119065	17	0,71843	-0,48074
8	-7,278553	-0,24444	18	9,584277	-0,031131
9	-7,271254	-0,1128	19	0,294995	-0,239751
10	-4,640015	-0,49518	20	-7,19102	-0,550131

 

Выборочный аналог автокорреляционной функции вычислим по формуле:

В знаменателе дроби записана дисперсия  временного ряда, принимающая значения:

= 16,809  = 1,989

Произведя соответствующие расчеты, получаем такие значения автокорреляционных функций:

 

 

 

1	0,32325	0,438644	11	0,299461	-0,182964
2	-0,257379	0,128517	12	0,992179	0,150787
3	-0,409198	0,16852	13	0,320358	-0,097901
4	-0,426867	-0,00595	14	-0,25631	-0,331342
5	0,029281	0,069279	15	-0,41645	-0,208334
6	0,556683	0,227142	16	-0,43837	-0,310073
7	0,023268	0,059856	17	0,042742	-0,241678
8	-0,433024	-0,12288	18	0,570199	-0,01565
9	-0,43259	-0,05671	19	0,01755	-0,120528
10	-0,276049	-0,24894	20	-0,42782	-0,276563

 

Построим график автокорреляционной функции. Для временного ряда осадков  коррелограмма имеет следующий  вид:

 

Из графика видно, что наибольшая зависимость наблюдается между  элементами в момент времени  t и t+12, то есть явно следует, что период колебаний временного ряда равен 12 месяцам.

Коррелограмма временного ряда удоев  выглядит следующим образом:

 

Анализируя график, можно прийти к выводу, что наиболее зависимы соседние уровни временного ряда удоев, так как наибольший коэффициент корреляции имеет первый порядок.

 

3. ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

 

3.1. НАЛИЧИЕ НЕСЛУЧАЙНЫХ КОМПОНЕНТ  ВО ВРЕМЕННЫХ РЯДАХ

 

Для выявления факта присутствия  неслучайной составляющей во временных  рядах проверим гипотезу:

Проверим данную гипотезу, используя критерий серий.

Вычислим выборочные медианы исходных данных:

Ме (Х₁) = 31,2 мм. Ме (Х₂) = 7 галлонов

Вместо исходных элементов временного ряда Х(t) сформируем последовательность знаков: +, если Х(t) > Me,

−, если Х(t) < Me.

Полученные результаты для временного ряда осадков оформим в виде таблицы:

 

t	X1		t	X1		t	X1		t	X1
1	29,2	-	15	30,6	-	29	30	-	43	24,6	-
2	32,6	+	16	31,2	-	30	24,7	-	44	32,7	+
3	29,9	-	17	31,2	-	31	22,1	-	45	31,9	+
4	31,3	+	18	25	-	32	33	+	46	38,8	+
5	31,3	+	19	23,4	-	33	31,8	+	47	35,3	+
6	24,8	-	20	32,4	+	34	39,3	+	48	27	-
7	23,3	-	21	32,1	+	35	35,7	+	49	28,2	-
8	32,2	+	22	38,6	+	36	27	-	50	32,5	+
9	31,8	+	23	35,1	+	37	27,8	-	51	30,8	-
10	38,7	+	24	26,7	-	38	32,5	+	52	32	+
11	34,8	+	25	28	-	39	30,3	-	53	30,7	-
12	26,7	-	26	33,5	+	40	31,8	+	54	24,9	-
13	27,7	-	27	31,6	+	41	30,7	-	55	24,1	-
14	33,1	+	28	32,6	+	42	24,9	-	56

 

Для временного ряда удоев результаты следующие:

 

t	X2		t	X2		t	X2		t	X2
1	11,2	+	15	6,6	-	29	12	+	43	5,6	-
2	9,8	+	16	7,2	+	30	8,5	+	44	7,1	+
3	8,6	+	17	6,7	-	31	7,3	+	45	7,1	+
4	8,4	+	18	5,5	-	32	9,2	+	46	8,3	+
5	8,1	+	19	5,3	-	33	8,1	+	47	7,6	+
6	6,8	-	20	7	-	34	9,7	+	48	5,8	-
7	5,9	-	21	6,8	-	35	8,7	+	49	6	-
8	7,7	+	22	8,1	+	36	6,5	-	50	6,8	-
9	7,6	+	23	7,6	+	37	6,8	-	51	6,5	-
10	8,7	+	24	5,3	-	38	7,6	+	52	7	-
11	7,7	+	25	5,7	-	39	7,2	+	53	6,3	-
12	5,8	-	26	7,1	+	40	6,9	-	54	5,1	-
13	6,6	-	27	6,6	-	41	6,9	-	55	4,9	-
14	7,5	+	28	6,4	-	42	5,6	-	56