Контрольная работа по "Эконометрике"

 

 

Согласно данным столбцов 9, 10 таблицы 9, с ростом средней стоимости собственных оборотных средств возрастает и средний размер балансовой прибыли предприятия. Следовательно, связь между признаками корреляционная прямая.

 

в). Графический метод

На основании  данных таблиц 5 и 9 построим в одних  координатных осях корреляционное поле индивидуальных значений результативного признака и эмпирическую линию регрессии средних значений результативного признака (рис. 1).

При построении эмпирической линии регрессии в  качестве значений, откладываемых по оси абсцисс, примем середины интервалов факторного признака: 65,74; 92,62; 119,5; 146,38; 173,26; 200,15 млн. руб.

 

 

 

Рис. 1. Корреляционное поле зависимости индивидуальных значений балансовой прибыли 
от стоимости СОС предприятия, эмпирическая линия регрессии групповых средних

 

Сгущение точек  корреляционного поля имеет тенденцию к росту от левого нижнего угла в правый верхний. Эмпирическая линия регрессии имеет тенденцию к явному росту на всех отрезках. Следовательно, можно заключить, что между факторами имеется прямая корреляционная зависимость.

г. Дисперсионный анализ

На основании аналитической группировки (табл. 6), положенной в основание корреляционной таблицы 9, рассчитаем все виды дисперсий, оценим тесноту и значимость связи.

1 шаг. Расчет всех видов дисперсий:

- общая дисперсия ( ) характеризует среднеквадратическое отклонение индивидуальных значений балансовой прибыли от среднего арифметического значения ( 85,43 млн. руб.), возникшее за счет влияния всех факторов: как учтенных, так и неучтенных при группировке (стоимость собственных оборотных средств, стоимостной объем проданных товаров, себестоимость продукции и т.д.). Общая дисперсия рассчитывается на основе несгруппированных данных – данных таблицы 3:

 млн. руб. – среднее значение размера балансовой прибыли каждого из 30 предприятий;

 

  млн. руб.² – дисперсия размера балансовой прибыли каждого из 30 предприятий от среднего значения;

- межгрупповая дисперсия ( ) характеризует среднеквадратическое отклонение среднеинтервальных значений балансовой прибыли предприятия ( ) от среднего арифметического значения ( 85,43 млн. руб.), возникшее за счет влияния только того фактора, который положен в основание аналитической группировки – стоимость собственных оборотных средств. Расчет межгрупповой дисперсии выполним на основе данных таблицы 9:

 

 млн. руб.²

- средняя из внутригрупповых ( ) характеризует среднеквадратическое отклонение среднеинтервальных значений балансовой прибыли предприятия ( ) от среднего арифметического значения ( 85,43 млн. руб.), возникшее за счет влияния неучтенных при аналитической группировке факторов (стоимостной объем проданных товаров, себестоимость продукции и т.д.). Для ее расчета необходимо определить шесть внутригрупповых дисперсий на основе данных таблиц 5 и 9:

 млн. руб.²;

Теперь рассчитаем среднюю из внутригрупповых дисперсию:

 

Проверка  правильности расчетов по правилу сложения дисперсий:

(верно).

 

2 шаг. Рассчитаем  показатели, характеризующие силу влияния факторного признака на результирующий: эмпирический коэффициент детерминации (ŋ²) и эмпирическое корреляционное отношение (ŋ ). Первый представляет собой отношение межгрупповой и общей дисперсии:

.

Эмпирический  коэффициент детерминации показывает, что размер балансовой прибыли 30 предприятий на 90,6% зависит от стоимости их собственных оборотных средств, а влияние других, неучтенных при группировке, факторов составляет менее 10% (100 - 90,6 = 9,4%).

Определить  силу связи между факторным и  результативным признаком поможет  и эмпирическое корреляционное отношение (ŋ ):

.

Поскольку ŋ находится в пределах от 0,7 до 0,99, то связь между признаками сильная.

 

3 шаг. Существенность выявленной связи может подтвердить или опровергнуть критерий Фишера:

.

Критическое значение критерия Фишера для 30 наблюдений и уровня значимости составляет 2,62

Поскольку F_расч >> F_кр, то с достоверностью 95% и вероятностью совершения ошибки a=5% можно утверждать, что связь между стоимостью собственных оборотных средств и размером балансовой прибыли предприятия существенна (неслучайна).

Вывод: корреляционный анализ показал, что между факторным и результативным признаком существует прямая тесная неслучайная связь. Осталось только определить форму и уравнение связи, т.е. выполнить регрессионный анализ.

2. Регрессионный анализ (поиск формы и уравнения связи)

 

1 этап. Выбор формы связи между признаками

На  основании рисунка 1 предположим, что  связь между стоимостью собственных оборотных средств и средним размером активов описывается линейным уравнением регрессии .

2 этап. Построение уравнения связи

Для расчета коэффициентов a₀, a₁ линейного уравнения регрессии построим таблицу вспомогательных расчетов 10.

Составим систему  нормальных уравнений для линейной формы связи между факторным признаком и результативным признаком :

 

Таблица 10

Таблица вспомогательных  расчетов для построения уравнения  регрессии

№ предприятия	№ предприятия п/п	Стоимость   СОС,   млн. руб.	Размер   балансовой   прибыли,   млн. руб.	Вспомогательные расчеты
						Выровненные значения  по уравнению прямой
	i	( )	( )	xi ∙ yi
1	2	3	4	5	6	7
33	1	52,3	61,5	3216,45	2735,29	45,3203
63	2	62	50	3100	3844	50,665
45	3	94,7	59,5	5634,65	8968,09	68,6827
25	4	94,9	79	7497,1	9006,01	68,7929
47	5	101,5	66	6699	10302,25	72,4295
43	6	104,9	59	6189,1	11004,01	74,3029
51	7	105,1	71	7462,1	11046,01	74,4131
67	8	105,1	71	7462,1	11046,01	74,4131
29	9	107,9	81	8739,9	11642,41	75,9559
35	10	108,3	92	9963,6	11728,89	76,1763
55	11	116,3	82,5	9594,75	13525,69	80,5843
75	12	116,5	82,5	9611,25	13572,25	80,6945
65	13	116,9	76	8884,4	13665,61	80,9149
49	14	116,9	78,5	9176,65	13665,61	80,9149
87	15	118,1	76	8975,6	13947,61	81,5761
79	16	119,3	76	9066,8	14232,49	82,2373
59	17	119,3	83,5	9961,55	14232,49	82,2373
53	18	127,2	82,5	10494	16179,84	86,5902
69	19	127,2	85	10812	16179,84	86,5902
57	20	127,6	85	10846	16281,76	86,8106
21	21	128,1	89	11400,9	16409,61	87,0861
77	22	137,6	89,5	12315,2	18933,76	92,3206
81	23	138,6	89,5	12404,7	19209,96	92,8716
71	24	146,3	95,5	13971,7	21403,69	97,1143
83	25	163	101,5	16544,5	26569	106,316
61	26	163	106	17278	26569	106,316
23	27	163,2	126,5	20644,8	26634,24	106,4262
85	28	173	110	19030	29929	111,826
37	29	184,2	119,5	22011,9	33929,64	117,9972
39	30	213,6	138,5	29583,6	45624,96	134,1966
Сумма		3752,6	2563,0	338572	502019,02	2562,7726

 

На основании  данных таблицы 10 систему нормальных уравнений для выявления связи между факторным признаком – стоимость собственных оборотных средств предприятия – и результативным признаком – размер балансовой прибыли предприятия – можно записать в следующем виде:

Решив систему  уравнений, получаем значения параметров:

=16,503  ; =0,551.

Таким образом, линейное уравнение связи принимает  вид: . Подставляя в него поочередно все значения стоимости СОС x_i, получаем теоретические значения размера балансовой прибыли (столбец 7 таблицы 10). Правильность произведенных расчетов подтверждает тот факт, что сумма теоретических уровней ряда равна сумме фактических уровней:

 2563 млн. руб.

 

Параметр  – коэффициент регрессии – показывает, что при увеличении стоимости собственных оборотных средств на 1 млн. руб. средний размер балансовой прибыли увеличивается на 0,551 млн. руб. (551 тыс. руб.) и, наоборот, при снижении стоимости собственных оборотных средств на 1 млн. руб. средний размер балансовой прибыли уменьшается на 551 тыс. руб.

Коэффициент эластичности показывает, что при увеличении стоимости оборотных средств на 1% размер балансовой прибыли увеличивается на 0,80,6%, и наоборот.

 

Оценим среднюю  квадратическую ошибку уравнения регрессии ( ):

где   – число параметров уравнения регрессии (для уравнения прямой =2).

Поскольку <s_у  (s_у= млн. руб.), то использование линейного уравнения регрессии является целесообразным.

Отдельно оценим средние квадратические ошибки параметров уравнения регрессии по формулам:

 млн. руб.;   ,

где

Нанесем фактические  и теоретические значения активов, а также линию среднего размера балансовой прибыли на график (рис. 2).

Как видно из рисунка 2, переменная средняя (линия  теоретических значений) сильно отличается от постоянной средней, что говорит  о значительном влиянии фактора х (стоимости СОС) на результативный признак y (размер балансовой прибыли). Однако несовпадение линии теоретических и фактических значений размера балансовой прибыли говорит о том, что связь между стоимостью СОС и размером балансовой прибыли не функциональная (не полная).

 

Рис. 2. Эмпирические линии регрессии фактических  и теоретических значений балансовой прибыли в зависимости от стоимости  СОС, постоянная средняя линия

 

 

Измерим степень  близости связи к функциональной.

 

3 этап. Измерение  тесноты связи между признаками

Рассчитаем  все виды дисперсий:

- общая дисперсия, измеряющая общую вариацию результативного признака за счет действия всех факторов:

 

(общая дисперсия  также была рассчитана раньше);

- факторная (теоретическая) дисперсия, измеряющая вариацию результативного признака у за счет действия только факторного признака х:

 

- остаточная дисперсия, характеризующая вариацию признака у за счет всех факторов, кроме х:

 

Проверим, выполняется  ли правило сложения дисперсий: 

  330 + 54,4 = 384,4 (верно).

 

Оценим тесноту  связи численно с помощью ряда показателей:

1. Коэффициент детерминации:

- удельный вес вариации результативного  признака, линейно связанной с вариацией факторного признака, составляет 85,9%.

 

2. Индекс корреляции (теоретическое корреляционное отношение) составляет:

- поскольку численное  значение индекса корреляции близко к единице, то линейная связь между стоимостью собственных оборотных средств и балансовой прибыли сильная (тесная).

 

3. Линейный коэффициент корреляции:

,

где  ; 

 (млн. руб.);  млн. руб.;

s_у= млн. руб.;

.

Поскольку линейный коэффициент вариации положителен, то связь между признаками прямая, т.к. он близок к единице – связь тесная.

 

4 этап. Проверка  существенности связи с использованием  критерия Фишера:

где   – число параметров уравнения регрессии (у прямой два параметра).

Критическое значение критерия Фишера для v₁=1 и v₂=28 составляет: F_кр =4,2 (прил. 2). Поскольку полученное значение F_расч > F_кр ,  то существенность линейной связи между стоимостью собственных оборотных средств и размером балансовой прибыли предприятия подтверждается.

 

 

Вывод: Используя два метода анализа, корреляционный анализ и регрессионный анализ мы подтвердили, что между факторным и результативным признаком существует прямая тесная неслучайная связь.

¹ Напомним, что значения признака, попадающие на границу интервала (например, 100 млн. руб.) всегда включаются в следующий интервал